Operaciones con fracciones

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1 Uidd. Númeos eles lsmtemtics.eu Pedo Csto Oteg mteiles de mtemátics Opecioes co fccioes Mtemátics I - º Bchilleto Opeció Sum c d c d d Rest (difeeci) c d c d d ) ) Ejemplo OJO! Osev como e este ejemplo el deomido comú o es el poducto de los deomidoes sio el M.C.M. de y. De est me ls opecioes seá mucho más secills OJO! El esultdo siempe hy que simplificlo. P ello se divide el umedo y el deomido ete el M.C.D. de mos. E este cso hemos dividido ete y que M.C.D.(, ) =. Poducto (multiplicció) c c d d Cociete (divisió) c d d :, o ie d d c c c d c Osevció: l fcció d/c se llm ives de c/d (l multiplicls el esultdo es ). Pues ie, p dividi dos fccioes, se multiplic l pime po l ives de l segud. Poteci (de epoete eteo positivo o ceo) ( veces)... ; 0 Poteci (de epoete eteo egtivo) ; ; ; Osevció: p hce u poteci de epoete egtivo se cmi l se po su fcció ives (e este cso / po /) y el epoete egtivo se cmi positivo. Así pues el esultdo es l poteci de se l fcció ives elevd l epoete peo positivo. Es impotte ecod que l jequí ete ls opecioes es l siguiete: Pimeo: cochetes y pétesis. Segudo: poductos (icluids ls potecis) y divisioes, de izquied deech. Teceo: sums y ests, de izquied deech. Así o cometeemos eoes l ho de efectu opecioes más etess. Po ejemplo: :, o lo que es lo mismo, etemos medios OBSERVA!: El esultdo oteido (8/) es l fcció ives del esultdo oteido teiomete (/8), que e l mism poteci peo de epoete positivo : : : Númeos eles Pági

2 Uidd. Númeos eles lsmtemtics.eu Pedo Csto Oteg mteiles de mtemátics Mtemátics I - º Bchilleto El cojuto de los u meos eles Cojutos uméicos El cojuto de los úmeos tules:,,,, 5,... El cojuto de los úmeos eteos:...,,,, 0,,,,,... p El cojuto de los úmeos cioles: (fccioes) : p, q co q 0 q Popiedd: todo úmeo ciol es eteo, deciml ecto o deciml peiódico (puo o mito) Impotte: dees ecod de cusos teioes cómo se epes u deciml ecto, peiódico puo o peiódico mito e fom de fcció. Po ejemplo: ,5 ; 5, El cojuto de los úmeos icioles: I. Está fomdo po todos quellos úmeos eles que o so cioles. Tiee ifiits cifs decimles peo o fom peíodo. Repesetció de los úmeos eles: 0 5 (eteo);,5 (deciml ecto); 8,555...,5 (deciml peiódico puo); 9 9,58...,58 (deciml peiódico mito), ,..., I Itevlo ieto:, : Itevlos y semiects Númeos que está compedidos ete y Itevlo cedo:, :, : Itevlos semiietos Semiects Númeos compedidos ete y, icluidos éstos Númeos myoes que y meoes o igules que, : Númeos myoes o igules que y meoes que, : Númeos meoes que, : Númeos meoes que, icluido el popio, : Númeos myoes que, : Númeos myoes que, icluido el popio Númeos eles Pági

3 Uidd. Númeos eles lsmtemtics.eu Pedo Csto Oteg mteiles de mtemátics Mtemátics I - º Bchilleto Popieddes de ls potecis. Igulddes otles Popieddes de ls potecis Poducto de potecis de l mism se es igul l se elevd l sum de los epoetes: m m Cociete de potecis de l mism se es igul l se elevd l difeeci de los epoetes: m m Poteci de u poducto es igul l poducto de ls potecis: Poteci de u cociete es igul l cociete de ls potecis: Poteci de u poteci es igul l se elevd l poducto de los epoetes: m m Igulddes otles Cuddo de u sum es igul l cuddo del pimeo más dos veces el pimeo po el segudo, más el cuddo del segudo: OJO! No cofudi l iguldd teio co est ot, que es eóe: y z yz y yz z 5 5 y z yzp y z p 8 y z p 7 y y y 8 y z ) 8 z z ) 5 0 Cuddo de u difeeci es igul l cuddo del pimeo meos dos veces el pimeo po el segudo, más el cuddo del segudo OJO! No cofudi l iguldd teio co est ot, que es eóe: Sum po difeeci es igul difeeci de cuddos: ) ) y y y y Recued! Cudo el sigo de l se de u poteci es egtivo, etoces: Si el epoete es p el esultdo es positivo. Si el epoete es imp el esultdo es egtivo. Númeos eles Pági

4 Uidd. Númeos eles lsmtemtics.eu Pedo Csto Oteg mteiles de mtemátics Rdicles Mtemátics I - º Bchilleto es el dicl, el dicdo y el ídice de l íz. Fom epoecil: ; m m Si 0, eiste culquie que se. Si 0, solo eiste p vloes impes de. Popieddes de los dicles, y que Rdicles equivletes: m p m p Reduci ídice comú y : 8 ; Poteci de u dicl: p p Ríz de u íz: m m 9 9 Ríz de u poducto: 9 5 (e este ejemplo l popiedd se h utilizdo dos veces) Ríz de u cociete: Sum de dicles: dos epesioes co dicles se dice semejtes si l íz que pece e ms tiee el mismo ídice y el mismo dicdo (po ejemplo 5 y so dicles semejtes). Solmete se puede sum (o est) epesioes co dicles que se semejtes. 9 () 9 ( ) ( ) 7 7 (osev cómo se h utilizdo e este ejemplo vis de ls popieddes teioes p simplific) Rciolizció de deomidoes ( 5) 0 0 Co u íz cudd e el deomido: se multiplic i y jo po l mism íz. Co u íz de ídice e el deomido: se multiplic i y jo po ot íz de ídice de tl me que se complete el dicdo co u poteci de epoete. Co u sum o difeeci de íces cudds e el deomido: se multiplic i y jo po l epesió cojugd del deomido ( ) ( ) ( )( ) Númeos eles Pági

5 Uidd. Númeos eles lsmtemtics.eu Pedo Csto Oteg mteiles de mtemátics Vlo soluto Mtemátics I - º Bchilleto Defiició si 0 si 0,,,5,5, , y que 7 0 Itepetció geométic del vlo soluto El vlo soluto de u úmeo el es l distci de ese úmeo l úmeo 0, oige de l ect el. L distci de 8 l 0, oige de l ect el, es , y que 5 Popieddes del vlo soluto 0 L distci de u úmeo l oige es siempe o ceo o positiv. 0 0 Deci que l distci de u úmeo l oige es ceo es equivlete deci que ese úmeo es el popio 0. L distci de u úmeo l oige es siempe myo o igul que ese úmeo. L distci de u úmeo l oige es igul que l distci del opuesto de ese úmeo l oige. ; L distci del poducto (o cociete) de dos úmeos l oige es igul que el poducto (o cociete) de ls distcis de esos dos úmeos l oige. Al úmeo, que segú est popiedd es igul que, se le llm distci ete y. Osevcioes y ejemplos Esto es cosecueci de l popi defiició: Si 0, etoces 0. Si 0, etoces 0 (y que 0 ). Est popiedd es evidete e sí mism. Lo que viee deci es que el úico úmeo cuyo vlo soluto es ceo es el popio úmeo 0. (si el úmeo es positivo se d l iguldd). (si el úmeo es egtivo se d l desiguldd estict). 5 5, y que 5 5 y , y que , y que. Est popiedd es fácil de demost. Po l popiedd teemos que: 7 8 Desiguldd tigul: 9 Es muy útil p esolve ciets iecucioes: Númeos eles Pági 5

6 Uidd. Númeos eles lsmtemtics.eu Pedo Csto Oteg mteiles de mtemátics Notcio cietí fic Mtemátics I - º Bchilleto U úmeo está epesdo e otció cietífic si se escie como el poducto de u úmeo myo o igul que y meo estictmete que 0, y u poteci de 0. Si u úmeo está epesdo e otció cietífic l epoete eteo l que está elevdo l poteci de 0 se le llm ode de mgitud. P sum y est úmeos epesdos e otció cietífic es ecesio que todos esté epesdos co el mismo ode de mgitud. Es hitul esciilos e el myo de los ódees de mgitud que pezc e dichs sums o ests. P multiplic y dividi úmeos epesdos e otció cietífic se ope co ls potecis de 0 po u ldo (plicdo ls popieddes de ls potecis), y el esto de l epesió po el oto. Defiició 0, , , , 9, Sum y est e otció cietífic 5, 0 0 5, 0 0, 0 5, 0, , 0 0 0, ,8 0, Poducto y divisió e otció cietífic, , , , 0 : 5 0, :5 0 :0 0, 0,0 Recie el ome de cif sigifictiv todo dígito (eceptudo el ceo cudo se utiliz p situ el puto deciml) cuyo vlo se cooce co seguidd. El úmeo,50 tiee cuto cifs sigifictivs. El úmeo 0,000 tiee tes cifs sigifictivs; los tes pimeos ceos o so cifs sigifictivs y que simplemete sitú el puto deciml. E otció cietífic este último úmeo se escie,0 0. Uso de l clculdo cietífic Cifs sigifictivs Po ejemplo, epesemos el esultdo de l opeció 7,0 9 5,0 sigifictivs: e otció cietífic co tes cifs 8 7,0 7, 0 7, ,0 5,0 5,0 8 7, , 0 7,00 9 5, L tecl EXP o ie l tecl 0, yud epes úmeos e otció cietífic. Además, l clculdo posee u modo de ctució (MODE SCI) específico p est otció. El modo SCI hce que l clculdo tje siempe e otció cietífic y, demás, co l ctidd de cifs sigifictivs que pevimete le hymos idicdo. Depediedo de l clculdo que tegs se ccedeá l modo SCI de u fom o de ot. Apede hcelo co l tuy. U vez lo seps, itoduce el úmeo de cifs sigifictivs, po ejemplo. E este cso si elizs l opeció: 789, 0 5, u vez que pulses el igul el esultdo seá Como puedes osev, este esultdo tiee cifs sigifictivs:,., 0. Númeos eles Pági

7 Uidd. Númeos eles lsmtemtics.eu Pedo Csto Oteg mteiles de mtemátics Apoimcioes y eoes Mtemátics I - º Bchilleto Ode de poimció Se dice que de u úmeo el tommos u poimció de ode cudo se tt de u úmeo ciol co cifs decimles. Po defecto o tucmieto: se elimi ls cifs decimles pti del ode cosidedo. Po eceso: se elimi ls cifs decimles hst el ode cosidedo y se ñde u cif Redodeo: se elimi tods ls cifs decimles pti del ode idicdo y, si l cif siguiete l ode cosidedo es myo o igul que 5, se ñde u uidd l últim cif Eo soluto ( E ) de u medid poimd es el vlo soluto de l difeeci ete el vlo el V ) y el vlo poimdo V : ( E V V El vlo el o ecto es, e l myoí de los csos, descoocido. Po tto, tmié se descooce el eo soluto. Lo impotte es pode cotlo, diciedo que el eo soluto es meo que U cot del eo soluto se otiee pti de l últim cif sigifictiv utilizd. Eo eltivo ( E ) es el cociete ete el eo soluto y el vlo el: E E V El eo eltivo es tto meo cuts más cifs sigifictivs se us. 5,7 (Apoimció de ode ). 5,77 (Apoimció de ode ). Métodos de poimció Apoim 5,588 hst el ode (milésims). O lo que es lo mismo, poim 5,588 co cuto cifs sigifictivs. Tucmieto: 5,5 Po eceso: 5, Redodeo: 5, Eo soluto. Cot del eo soluto El eo soluto que se comete l edode 5,588 ls milésims es: E V V 5, 588 5, 0,0005 Si u pisci tiee u cpcidd de 79 m, l últim cif sigifictiv (el 9 ) desig uiddes de m. El eo soluto es meo que medio meto cúico: E 0,5 m Eo eltivo. Cot del eo eltivo Vemos u p de ejemplos sdos e los dos ejemplos teioes. El eo eltivo que se comete l edode 5,588 ls milésims es: E E 0, , V 5, 588 Al tom como cpcidd de l pisci eltivo que se comete es meo que: 0,5 E 0, m, el eo Númeos eles Pági 7

8 Uidd. Númeos eles lsmtemtics.eu Pedo Csto Oteg mteiles de mtemátics Logitmos Defiició Mtemátics I - º Bchilleto Si 0 y, se llm logitmo e se de l epoete l que hy que elev l se p otee log log 8 poque log8 poque U osevció de iteés Los úmeos que so potecis ects de l se tiee logitmos eteos (ejemplos teioes). Si o es sí el logitmo es u úmeo deciml. Popieddes del vlo soluto Númeos distitos tiee logitmos distitos. O se: Además: Si y c log log c c, etoces log log c. Si 0 y c, etoces log log c. El logitmo de e se de es igul : log El logitmo de es 0, se quie se l se: log log 8 poque. 8 log es u úmeo deciml situdo ete y 5 poque y 5. Osevcioes y ejemplos De lo teio se deduce que el logitmo de se myo que es ceciete ( úmeos myoes logitmos myoes), y que el logitmo de se u úmeo compedido ete 0 y es dececiete ( úmeos myoes logitmos meoes). Est popiedd es evidete y que. 0 Est popiedd tmié es cl pues El logitmo de u poducto es igul l sum de los logitmos: log c log log c El logitmo de u cociete es igul l difeeci de los logitmos: log log log c c El logitmo de u poteci es igul l epoete po el logitmo de l se: log log El logitmo de u íz es igul l logitmo del dicdo dividido po el ídice: log log Cmio de se. El logitmo e se de u úmeo se puede otee pti de logitmos e ot se: logk log log k Si log, y log s,7, clcul s log y log. s log s log log s log log slog,,7 0, log log log log s s / log log s log log s,, 7,5 5,,95 Númeos eles Pági 8

9 Uidd. Númeos eles Logitmos decimles lsmtemtics.eu Pedo Csto Oteg mteiles de mtemátics Mtemátics I - º Bchilleto Los logitmos e se 0 se llm logitmos decimles y, e lug de desigse medite log 0 se desig simplemete co log. Es deci: log0 log L tecl log de l clculdo sive p clcul logitmos decimles. Po l popiedd 8 teio, se puede otee, co l yud de l clculdo, el logitmo de u úmeo e culquie se. Po ejemplo: El úmeo e log 5 log 5, 975 log El úmeo e es muy especil e mtemátics. Se defie como el úmeo l que tiede l fució cudo tiede. De est fució podemos hll sucesivmete Po ejemplo: f , , f f, f,, 00 Númeos eles Pági 9 f f 000, f,, , Es posile demost (uque esto equiee de mtemátics supeioes), que cudo, etoces tiede u úmeo iciol l que llmemos úmeo e. Simólicmete: Logitmos epeios f e, Se llm sí los logitmos cuy se es el úmeo e, y se desig medite l evitu l. De este modo el logitmo epeio de u úmeo es: l log e Su ome poviee de Joh Npie, u mtemático escocés, ecoocido po se el pimeo e defii los logitmos. L tecl l de l clculdo sive p clcul logitmos epeios. Estos logitmos, demás de su iteés históico, so eomemete impottes e mtemátics supeioes. Ejemplos. Solmete utilizdo l defiició de logitmo podemos clcul log log log9 log. Osev: / log log log9 log log log log log log log log log. Utilizdo l defiició de logitmo tmié podemos esolve ecucioes dode l icógit es l se del logitmo. Po ejemplo log Podemos epes como u solo logitmo ciets epesioes, po ejemplo log log c log d. Bst plic ls popieddes l ives: log log c log d log log c log d log c log d log c. d. Co l clculdo y utilizdo el cmio de se se puede hll logitmos de se culquie úmeo. log 98 l7 log7 98,57 ; log/ 7,97 log 7 l /