PROPORCIONALIDAD NUMÉRICA Y SUCESIONES

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1 º EO PROPORCONALA NUMÉRCA Y UCEONE EPARTAMENTO E MATEMÁTCA. AGRAO CORAZÓN COPRRA_Julio Cés Abd Mtíez-Los ARNEO (LA ROJA) PROPORCONALA NUMÉRCA Y UCEONE.- MAGNTUE RÉCTAMENTE PROPORCONALE Mgitud: todo quello que se puede cutific o medi. efiició: e dice que dos mgitudes so diectmete popocioles si te umetos de u de ells se poduce umetos de l ot o si te dismiucioes de u de ells se poduce dismiucioes de l ot. e cumple que el cociete de dos ctiddes coespodietes de mbs mgitudes es u costte k que se llm RAZÓN o costte de popociolidd. L elció ete ctiddes coespodietes de mbs mgitudes viee dd po l ecució de popociolidd: y = k, dode : so ls ctiddes de l pime mgitud y : so ls ctiddes de l segud mgitud k : costte de popociolidd EJEMPLO_ L siguiete tbl idic l elció ete ls mgitudes logitud y peímeto de u cuddo: A : logitud del ldo de u cuddo. B : peímeto de dicho cuddo. Podemos coclui: A 7 B 0. A y B so mgitudes diectmete popocioles.. L zó de popociolidd seá: = = = k=.- e cumple y = { REGLA E TRE MPLE RECTA: e utiliz p esolve poblems e los que iteviee dos mgitudes diectmete popocioles. U vez detectd l popociolidd diect, debemos idiclo clmete colocdo u e el espcio ete ls mgitudes, se poe los dtos, se hce el poducto cuzdo y se despej l. EJEMPLO_ Cuáto cuest de leche si cuest,? euos,, 0, NOTA: Estos ejecicios se puede esolve co l e culquie de los cuto luges, siempe se debe evit mezcl ctiddes de distit mgitud, y se há el poducto de ls ctiddes cuzds que o icluy l dividido po l ctidd que esté cuzd co l. euos,, 0,.- MAGNTUE NVERAMENTE PROPORCONALE euos,, 0, efiició: e dice que dos mgitudes so ivesmete popocioles si te umetos de u de ells se poduce dismiucioes de l ot o si te dismiucioes de u de ells se poduce umetos de l ot. e cumple que el poducto de dos ctiddes coespodietes de mbs mgitudes es costte. L elció ete ctiddes coespodietes de mbs mgitudes viee dd po l ecució: y = k. EJEMPLO_ Est tbl muest l velocidd (e km/h) y el tiempo (e hos) empledos po u te e eliz u tyecto de 00 km. : Velocidd y: Tiempo Podemos coclui:. Velocidd y tiempo so mgitudes ivesmete popocioles.. El poducto de l velocidd po el tiempo es siempe costte e igul 00: 00 = 0 = = 0 = 0. L elció ete mbs mgitudes se epes po l ecució: y = 00.

2 º EO PROPORCONALA NUMÉRCA Y UCEONE EPARTAMENTO E MATEMÁTCA. AGRAO CORAZÓN COPRRA_Julio Cés Abd Mtíez-Los ARNEO (LA ROJA) REGLA E TRE MPLE NVERA: e utiliz p esolve poblems e los que iteviee dos mgitudes ivesmete popocioles. U vez detectd l popociolidd ives, debemos idiclo clmete, se tt de multiplic los dos vloes de ib (siempe que l esté bjo) y se divide del tece vlo que está l izquied o deech de l segú l hymos dispuesto. Hy ot posibilidd de esolve l egl de tes simple ives, se le d l vuelt los dos vloes coocidos de u de ls mgitudes y se pocede como e u diect. EJEMPLO_ Co el gu de u depósito se lle 0 botells de. Cuáts botells de se puede lle? Ates de comez, tsfommos úmeo deciml l fcció: = 0,7 botells 0 0, botells 0,7 Tmbié se puede cmbi los dos vloes que o fect l mgitud de, ( e este ejemplo) y temil como si fue u diect: botells 0 0,7 botells 0 0, botells 0,7 NOTA: gul que e l egl de tes diect, l puede pece e culquie de los cuto luges, seí iteeste que l lee el poblem, lo hgmos de tl fom que l quede l deech y bjo y sí siempe debeímos hce lo mismo p solucio estos ejecicios. botells 0 0, botells 0,7.- PROPORCONALA COMPUETA 0,7 botells botells 0,7 L popociolidd compuest tt de estudi quellos csos e los que iteviee más de dos mgitudes, siedo u de ells diectmete o ivesmete popociol l esto. Tedemos tes posibles csos:. REGLA E TRE COMPUETA RECTA Tods ls mgitudes so diectmete popocioles u de ells. EJEMPLO_ E u fábic de efescos máquis embotelldos lle e hos 7.00 evses. Cuátos evses lleá e hos 7 máquis embotelldos? Aplicmos el método del pez, p ello debemos coloc el vlo descoocido de l mgitud evses, bjo l deech. P sbe si ls mgitudes máquis y hos, so diect o ivesmete popocioles, se debe comp cd u de ells co l mgitud de l que se descooce el vlo, evses e este ejemplo, dejdo fij l ot mgitud, sí, l mgitud máquis y l mgitud evses so diectmete popocioles pues l umet el úmeo de máquis umet el úmeo de evses, supoiedo ls hos fijs. U vez detemids ls popocioliddes, diects o ivess, se plic el método del pez, cosiste e dibuj u pez co l col e l y se hce el poducto siguiedo su fom: máquis 7 hos evses evses co 7 máquis e hos 0 Ls egls de tes compuests se puede esolve como dos egls de tes simples, detemido pevimete de qué tipo so, y lizdo l iflueci que sobe los evses, e este cso, tiee ls máquis y ls hos po sepdo, idepedietemete del ode e que se hg.

3 º EO PROPORCONALA NUMÉRCA Y UCEONE EPARTAMENTO E MATEMÁTCA. AGRAO CORAZÓN COPRRA_Julio Cés Abd Mtíez-Los ARNEO (LA ROJA).- EFECTO MÁQUNA HORA: Vemos el efecto de l vició de ls máquis sobe los evses, mteids ls hos costtes: máquis 7 evses evses co7 máquis e hos Aho vemos el efecto de ls hos sobe los evses y modificdos po el efecto de ls máquis: hos evses EFECTO MÁQUNA HORA: evses co7 máquis e hos Vemos el efecto de l vició de ls hos sobe los evses, mteids ls máquis costtes: hos evses evses co máquis e hos Aho vemos el efecto de ls máquis sobe los evses y modificdos po el efecto de ls hos: máquis 7 evses REGLA E TRE COMPUETA NVERA Tods ls mgitudes so ivesmete popocioles u de ells evses co7 máquis e hos EJEMPLO_ U pueblo de.00 hbittes tiee gu p 00 dís zó de 0 po hb./dí. Cuál seá el gsto po hb./dí si quiee que el gu due dís y demás se bstezc u vill cec de 00 hbittes? hbittes hbittes dís 00 dís mos l vuelt ls dos ivess y l esolvemos como doble diect l. po hb./díp dís y.000 hb NOTA: Al igul que e l egl de tes compuest diect-diect, se puede esolve estos ejecicios lizdo el efecto po sepdo de cd mgitud, e este ejemplo, de los hbittes e los y de los dís e los. Vemos el efecto de l vició de los hbittes sobe los, mteidos los dís costtes: hbittes l. po hb./díp 00 dís y.000 hb..000 Aho vemos el efecto de los dís sobe los y modificdos po el efecto de los hbittes: dís l. po hb./díp dís y.000 hb.

4 º EO PROPORCONALA NUMÉRCA Y UCEONE EPARTAMENTO E MATEMÁTCA. AGRAO CORAZÓN COPRRA_Julio Cés Abd Mtíez-Los ARNEO (LA ROJA). REGLA E TRE COMPUETA RECTA NVERA U mgitud es diectmete popociol us e ivesmete popociol ots. EJEMPLO_ E u cmpñ publiciti pesos epte octvills e dís. Cuátos dís tdí pesos e epti.000 octvills? pesos pesos octvills octvills dís dís mos l vuelt l ives y lo esolvemos como doble diect dís td pe. eepti.000 oct. NOTA: E todos los csos hemos elizdo ls opecioes si simplific los esultdos, peo ddo que veces los úmeos so muy gdes p ope co ellos es ACONEJABLE simplific pevimete todo lo que se pued. () () () Quitmos u y tes ceos e elumedo y deomido ividimos po ib implific mos ete. 0. REPARTO PROPORCONALE 9 ( ) () (). REPARTO RECTAMENTE PROPORCONALE 9 dís td pe. eepti.000 oct. y bjo, ete qued 9 e elumedo y 0 ete qued e el deomido e tt de epti u ctidd e ptes diectmete popocioles cietos úmeos ddos, de tl fom que l úmeo myo le coespod l ctidd myo y ete tods sume el totl eptido. EJEMPOLO_ Tes migos comp u décimo de loteí, el pimeo jueg 0, el segudo y el teceo. El décimo sle pemido co Cuáto le coespode cd uo? ebemos sum l ctidd que puest e totl: = 0 y hce el epto e bse est ctidd. jugdos 0 0 pemidos y z (*) (*) (*) p el migo que puso 0.00 p el migo que puso.00 p el migo que puso (*) Apovechdo que e ls tes opecioes pece 0.000, hcemos est divisió que d.00 y se 0 multiplic po 0, po y po, espectivmete, sí hcemos u divisió y tes poductos, de ot me se hce tes poductos y tes divisioes. Además se puede compob que: = y que el migo que más dieo poe es el que más se llev e el epto y de fom diectmete popociol.. REPARTO NVERAMENTE PROPORCONALE e tt de epti u ctidd e ptes ivesmete popocioles cietos úmeos ddos, de tl fom que l úmeo myo le coespod l ctidd meo y ete tods sume el totl eptido. EJEMPLO_ Repti el úmeo.97 de fom ivesmete popociol los úmeos, y 9. E u epto ivesmete popociol debemos pocede de l siguiete fom, se clcul los ivesos de los úmeos y se hce su sum, el epto se há de fom diectmete popociol los úmeos obteidos e los umedoes de cd iveso (fcció) después de hce comú deomido y sumlos.

5 º EO PROPORCONALA NUMÉRCA Y UCEONE EPARTAMENTO E MATEMÁTCA. AGRAO CORAZÓN COPRRA_Julio Cés Abd Mtíez-Los ARNEO (LA ROJA) Tommos los ivesos,, y los summos 9 9 se há sobe, y, o sobe los úmeos oigiles, y 9., de est me el epto.97 y z (*) (*) (*) coespode l vlo oigil. coespode l vlo oigil. 7. coespode l vlo oigil (*) Apovechdo que e ls tes opecioes pece, hcemos est divisió que d.7 y se multiplic po, po y po, espectivmete, sí hcemos u divisió y tes poductos, de ot me se hce tes poductos y tes divisioes. Además se puede compob que: =.97 y que el myo úmeo ecibe l meo ctidd de fom ivesmete popociol, sí el úmeo que es el doble del ecibe. que es l mitd de.90 y el úmeo 9 que es el tiple del, ecibe 7. que es l tece pte de.90.. APLCACONE E LA PROPORCONALA NUMÉRCA. PORCENTAJE Los pocetjes o ttos po cie epes l zó ete dos mgitudes diectmete popocioles e idic l ctidd de u de ells que coespode 00 de l ot. Tmbié se utiliz el tto po uo y el tto po mil. EJEMPLO_ Obsev ls siguietes foms de epes popocioes: PROPORCONALA RAZÓN TANTO POR TANTO POR 00 TANTO POR.000 de cd 00 0, % 0 de cd 0 0,0 0 % 00 de cd 0,0 0 % 00 de cd.000 0,, % EJEMPLO_ P u bibliotec se compó u eciclopedi po.97, cudo su pecio de vet e de.. Qué descueto se plicó sobe el pecio de vet?.- PRMERA FORMA_ Restmos p obtee el descueto plicdo:..97 =. Aho hcemos u egl de tes p clcul el pocetje que supoe este descueto:.- EGUNA FORMA_ % %. Clculmos qué pocetje supoe l ctidd pgd sobe el pecio de l eciclopedi, y luego estmos del 00 %: % % 00 % - % %..

6 º EO PROPORCONALA NUMÉRCA Y UCEONE EPARTAMENTO E MATEMÁTCA. AGRAO CORAZÓN COPRRA_Julio Cés Abd Mtíez-Los ARNEO (LA ROJA) EJEMPLO_ Cl pgó po u biciclet 07,0 icluido VA del % sobe el pecio de l biciclet. Cuál es el pecio de l biciclet si VA? do que el pecio pgdo llev el VA icopodo l egl de tes se debe hce cosidedo que los 07,0 supoe el %, miets que l ctidd si VA supoe el 00 %.. NTERÉ MPLE % 00 07, ,0 e: C 0: Cpitl_ Ctidd iicil de dieo ivetid. : teés_ Ctidd de dieo diciol que os devuelve : Rédito_ teés que poduce 00 dute u ño, tipo de iteés o tto po cieto de iteés. t: Tiempo_ Puede i epesdo e ños, meses o dís. Teemos l siguiete popociolidd compuest diect - diect: C 00 C 00 C tiempo ño t ños tiempo meses t meses tiempo.000 dís t dís C C 0 0 t 00 t.00 C 0 t.000 co el tiempo e ños. co el tiempo emeses. co el tiempo edís. EJEMPLO_ A deposit.00. e u bco u édito del,%. Qué iteés le poduciá A su dieo e u ño? y e 9 meses? y e 7 dís? Aplicdo ls epesioes teioes:.00, ECALA.00, , L escl es l popoció ete u logitud e u mp, plo, mquet, y su coespodiete e l elidd, es po tto u popociolidd diect y se esuelve co u egl de tes simple diect. Aplicemos l epesió ECALA MAPA REALA, dode se cooceá dos dtos y os solicitá el teceo. L escl uméic se epes :.000 que sigific que u uidd (mm, cm, dm...) e el mp so.000 (mm, cm, dm ) e l elidd. EJEMPLO_ L distci ete dos pueblos e u mp escl :0.000 es de cm. dic l distci e l elidd epesd e kilómetos. ECALA MAPA REALA cm, km L escl es dimesiol, sigific que o tiee uiddes, po tto si tommos cm. el esultdo sle e cm. y seemos osotos los que debemos coveti el esultdo l uidd solicitd, km. e este cso.

7 º EO PROPORCONALA NUMÉRCA Y UCEONE EPARTAMENTO E MATEMÁTCA. AGRAO CORAZÓN COPRRA_Julio Cés Abd Mtíez-Los ARNEO (LA ROJA). UCEONE U sucesió es u cojuto de úmeos (se llm témios de l sucesió) dode cd uo de ellos se gee medite u fómul o epesió (se deomi témio geel). EJEMPLO_ L sucesió que oigi el temio geel = +, está fomd po los úmeos:,,, 0, Estos úmeos se obtiee ddo vloes, desde =, =,, hst el úmeo que se desee. Así, cudo =, dode poe se debe sustitui po y obteemos: = + = + =, dode se llm pime témio de l sucesió y su vlo es. Así, cudo =, dode poe se debe sustitui po y obteemos: = + = + =, dode se llm segudo témio de l sucesió y su vlo es. Así, cudo =, dode poe se debe sustitui po y obteemos: = + = 9 + =, dode se llm tece témio de l sucesió y su vlo es. Así, cudo =, dode poe se debe sustitui po y obteemos: = +, dode (l fómul que gee l sucesió o témio geel) se llm témio -ésimo de l sucesió y su vlo es +. Ls sucesioes so similes ls fucioes peo hy dos difeecis impottes, e pime lug ls sucesioes o se epeset gáficmete y e segudo lug, los vloes de debe se úmeos tules (hce efeeci l pime témio =, segudo témio =, témio -ésimo = ) miets que e ls fucioes los vloes de puede se culquie tipo de úmeo (R), sí l fució f() = + se puede clcul p =, siedo f(,) =, + =, + =, lgo que e sucesioes es imposible de eliz. Eiste multitud de tipos de sucesioes de ls cules osotos vmos liz dos modelos, so ls pogesioes itmétics y ls pogesioes geométics. P clcul el témio geel de quells sucesioes que o sig estos modelos debeemos cudi l setido comú, es deci, ls clculemos ojo, uque p otos modelos eiste sus popios mecismos, osotos o los vmos estudi. EJEMPLO_ Clcul el témio geel de ls siguietes sucesioes: ) 0,,,,, El témio geel de est sucesió es =. b),,,,,... est sucesió es difícil de itui, quizás escit sí,,,,,, si simplific, podemos se cpces de ve cuál es su témio geel, se obsev que el umedo se v duplicdo y espode l epesió, miets que el deomido so los cubos sí el témio geel seá:. 7. PROGREONE ARTMÉTCA U pogesió itmétic es quell sucesió e l que cd témio se obtiee sumdo u ctidd fij (llmd difeeci d ) l teio. iempe que estemos dos témios cosecutivos se obtedá l difeeci d. 7. TÉRMNO GENERAL E UNA PROGREÓN ARTMÉTCA El témio geel de u pogesió itmétic se obtiee medite l epesió: = + ( ) d Ptiedo de l defiició de pogesió itmétic se tiee: = + d () = + d = + d = () + d + d = + d () = + d = + d = () + d + d = + d () = + d = + d = () + d + d = + d () = + d = - + d = + ( )d + d = + d d + d = + d d = + ( ) d = + ( ) d Est epesió del témio geel depede del coocimieto del pime témio, peo hbitulmete el que se cooce es oto témio culquie k, po lo que l epesió se puede d: = k + ( k) d EJEMPLO_ Clcul el témio geel de l sucesió:, 7, 0,,, e tt de u pogesió itmétic de difeeci d=, se obsev pti de: = 7 = = 0 7 = = 0 = = = El témio geel seá: = + ( ) d = + ( ) = + = + = + e puede compob que: = + = + = o = + = + = 7

8 º EO PROPORCONALA NUMÉRCA Y UCEONE EPARTAMENTO E MATEMÁTCA. AGRAO CORAZÓN COPRRA_Julio Cés Abd Mtíez-Los ARNEO (LA ROJA) EJEMPLO_ Clcul el témio geel de l sucesió cuyo octvo témio vle ( =) y l difeeci es d=. e tt de u sucesió de l que coocemos: umdo deechs del y estdo izquieds del se puede cooce los témios de l sucesió: ( ) 7 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (+) (+) Est fom de pocede se puede utiliz cudo ls sucesioes so secills de clcul y los témios solicitdos so eltivmete cecos l iicio de l pogesió, peo e geel debeemos hce uso de ls fómuls. U vez coseguid l sucesió co su pime témio y l difeeci se pocede como e el ejemplo teio: e tt de u pogesió itmétic de difeeci d= y = 7 y se tiee como témio geel: = + ( ) d = 7 + ( ) = 7 + = = e puede compob que: = = 0 = Aplicdo ls fómuls desde el picipio se debe pocede:.ª FORMA: Utilizdo l epesió = + ( ) d Como o coocemos l pime misió seá clcul este pime témio coocido el octvo = ( = ): = + ( ) d = + ( ) = + 7 = + = = 7 U vez obteido el pime témio = 7, se clcul el témio geel: = + ( ) d = 7 + ( ) = 7 + = = e puede compob que: = = 0 =.ª FORMA: Utilizdo l epesió = k + ( k) d Como o coocemos utilizmos est epesió dode k = = (k = ): = + ( ) d = + ( ) = + 0 = e puede compob que: = = 0 = Este último pocedimieto (.ª FORMA) suele se más coto que el teio (.ª FORMA). EJEMPLO_ Clcul el témio geel de l sucesió de l que coocemos = y 9 = 9. e tt de u sucesió de l que coocemos: Aplicdo ls fómuls se debe pocede:.ª FORMA: Utilizdo l epesió = + ( ) d Como o coocemos i d i l pime misió seá clcul estos pámetos coocidos = y 9 = 7: 9 = + (9 ) d 7 = + d = + ( ) d = + d Hemos obteido u sistem que se puede esolve po sustitució o po educció, lo esolvemos po mbos métodos:.- Po sustitució: espejmos e l pime: = 7 d ustituimos e l segud: = 7 d + d espejmos d: d = 7 = d = 9 Clculmos e u de ls ecucioes: = 7 d = 7 9 = 7 7 =.- Po educció: Restmos mbs ecucioes y qued: = d espejmos d: d = d = 9 Clculmos e u de ls ecucioes: = d = 9 = = U vez obteido el pime témio =, se clcul el témio geel: = + ( ) d = + ( ) 9 = = 9 e puede compob que: = 9 = = y que: 9 = 9 9 = = 7

9 º EO PROPORCONALA NUMÉRCA Y UCEONE EPARTAMENTO E MATEMÁTCA. AGRAO CORAZÓN COPRRA_Julio Cés Abd Mtíez-Los ARNEO (LA ROJA).ª FORMA: Utilizdo l epesió = k + ( k) d Po est ví o ecesitmos cooce, bst co clcul d y lo hcemos sustituyedo y 9 e l epesió: = k + ( k) d 9 = + (9 ) d 7 = + d d = d = 9 Aho se sustituye e u de ls dos epesioes: = k + ( k) d = 9 + ( 9) 9 = = 9 = k + ( k) d = + ( ) 9 = + 9 = 9 e puede compob que: = 9 = = y que: 9 = 9 9 = = 7 L sucesió que os está pidiedo tiee los siguietes témios: UMA E LO TÉRMNO E UNA PROGREÓN ARTMÉTCA Cudo teemos u seie de úmeos, se u sucesió o o, muchs veces os vemos e l ecesidd de tee que clcul su sum. E el cso de ls pogesioes itmétics, dd su ptó de fomció, es muy secillo el cálculo de est sum de u me ituitiv. EJEMPLO_ Clcul l sum de los 00 pimeos úmeos tules: i teemos e cuet que + 00 = + 99 = = = 9 + = 0 + = 0, se puede hce el siguiete cálculo: 0 (es l sum de cd pej) 0 (es el úmeo de pejs que se puede fom co los 00 pimeos úmeos tules) =.00 que es el vlo de l sum. Como decimos e el cso de ls pogesioes itmétics l fómul que pemite clcul l sum de los pimeos úmeos de l sucesió es: EJEMPLO_ Clcul l sum de los 00 pimeos úmeos tules. Cosidemos l sucesió:,,,, 99, 00, dode = y d =. P plic l fómul ecesitmos cooce, y. bemos que = y que = 00, clculmos : = + ( ) d = + ( ) = + = = y po tto 00 = Aplicdo l fómul: EJEMPLO_ Ju quiee compse u biciclet de motñ de. ecide ho 0 el pime mes y cd más que el teio. Cuátos meses tdá e ho l ctidd ecesi p comp l bici? Cosidemos ls ctiddes de hoo como u sucesió itmétic co = 0, d = y =. escoocemos = + ( ) d = 0 + ( ) = 0 + = + = +. Aplicdo l fómul: po tto debemos esolve l ecució de segudo gdo (u vez simplificd): = (0) í 7 7 L solució po tto es =, esto es, meses tdá e ho los que ecesit. No 9

10 º EO PROPORCONALA NUMÉRCA Y UCEONE EPARTAMENTO E MATEMÁTCA. AGRAO CORAZÓN COPRRA_Julio Cés Abd Mtíez-Los ARNEO (LA ROJA) iedo : = + ( ) = 0 + = = 90 = 90. e puede compob que: Tmbié de u me mecáic: Mes Mes Mes Mes Mes Mes Mes7 Mes Mes9 Mes0 Mes Mes Mes Mes Mes Totl PROGREONE GEOMÉTRCA U pogesió geométic es quell sucesió e l que cd témio se obtiee multiplicdo po u ctidd fij (llmd zó ) l teio. i dividimos dos témios cosecutivos se obtedá l zó.. TÉRMNO GENERAL E UNA PROGREÓN GEOMÉTRCA El témio geel de u pogesió geométic se obtiee medite l epesió: = Ptiedo de l defiició de pogesió geométic se tiee: = () = = = () = () = = = () = () = = = () = () = = - = = = Est epesió del témio geel depede del coocimieto del pime témio, peo hbitulmete el que se cooce es oto témio culquie k, po lo que l epesió se puede d: = k k EJEMPLO_ Clcul el témio geel de l sucesió:,,, 0,, e tt de u pogesió geométic de zó =, se obsev pti de: 0 0 El témio geel seá: = = = e puede compob que: = = 0 = = o = = = = EJEMPLO_ Clcul el témio geel de l sucesió cuyo cuto témio vle ( =) y l zó es =. e tt de u sucesió de l que coocemos: Multiplicdo po deechs del y dividiedo po izquieds del se puede cooce los témios de l sucesió: Est fom de pocede se puede utiliz cudo ls sucesioes so secills de clcul y los témios solicitdos so eltivmete cecos l iicio de l pogesió, peo (:) (:) (:) ( ) ( ) e geel debeemos hce uso de ls fómuls. U vez coseguid l sucesió co su pime témio y l zó se pocede como e el ejemplo teio: e tt de u pogesió geométic de zó = y = y se tiee como témio geel: = = = E ocsioes se puede ope sobe l epesió y escibi el témio geel de ot me que o hg efeeci diectmete l pime témio, e este cso se podí ope: = = 7 - = 7 = 7 e puede compob que: = = = = o = 7 = 7 = Aplicdo ls fómuls desde el picipio se debe pocede:.ª FORMA: Utilizdo l epesió = Como o coocemos l pime misió seá clcul este pime témio coocido el cuto = ( = ): = = = 0

11 º EO PROPORCONALA NUMÉRCA Y UCEONE EPARTAMENTO E MATEMÁTCA. AGRAO CORAZÓN COPRRA_Julio Cés Abd Mtíez-Los ARNEO (LA ROJA) U vez obteido el pime témio =, se clcul el témio geel: = = = que tmbié se puede epes: = = 7 - = 7 = 7 e puede compob que: = = = = o = 7 = 7 =.ª FORMA: Utilizdo l epesió = k k Como o coocemos utilizmos est epesió dode k = = (k = ): = = que tmbié se puede epes: = 7 = 7 = 7 = 7 e puede compob que: = = 0 = = o = 7 = 7 = Este último pocedimieto (.ª FORMA) suele se más coto que el teio (.ª FORMA). Además podemos ve que l fom de epes el témio geel o es úic, pues e este cso se h ddo hst tes difeetes. EJEMPLO_ Clcul el témio geel de l sucesió de l que coocemos = 7 y = 9.7. e tt de u sucesió de l que coocemos: Aplicdo ls fómuls se debe pocede:.ª FORMA: Utilizdo l epesió = Como o coocemos i i l pime misió seá clcul estos pámetos coocidos = 7 y = 9.7: = 9.7 = = 7 = Hemos obteido u sistem que se esolvemos po sustitució: espejmos e l pime: 9.7 ustituimos e l segud: espejmos : Clculmos e u de ls ecucioes: 9.7 = U vez obteido el pime témio =, se clcul el témio geel: = = = e puede compob que: = = = = 7 y que: = = =. = 9.7.ª FORMA: Utilizdo l epesió = k k Po est ví o ecesitmos cooce, bst co clcul y lo hcemos sustituyedo y e l epesió: = k k = 9.7 = Aho se sustituye e u de ls dos epesioes: = k k = = 9.7 =. = = = k k = = 7 = = = e puede compob que: = = = = 7 y que: = = =. = 9.7 L sucesió que os está pidiedo tiee los siguietes témios:

12 º EO PROPORCONALA NUMÉRCA Y UCEONE EPARTAMENTO E MATEMÁTCA. AGRAO CORAZÓN COPRRA_Julio Cés Abd Mtíez-Los ARNEO (LA ROJA). UMA E LO TÉRMNO E UNA PROGREÓN GEOMÉTRCA E el cso de ls pogesioes geométics l deducció de l fómul que pemite clcul l sum de los témios de dich sucesió o es t secill como e l itmétic, sí que diectmete vemos l fómul que tiee dos vesioes:.ª VERÓN: Cudo coocemos el pime témio y el último sum y tmbié se cooce l zó..ª VERÓN: Cudo coocemos el pime témio y l zó. EJEMPLO_ d l pogesió geométic,, 9, 7,, Clcul l sum de los diez pimeos témios: L zó es = : Aplicdo ls fómuls:.ª VERÓN: No coocemos 0, debemos clcullo, = 0 = 0 = 9 = 9. y ho: ª VERÓN: Teemos l ifomció suficiete y po tto: Tmbié de u me mecáic: TOTAL UMA E LO NFNTO TÉRMNO E UNA PROGREÓN GEOMÉTRCA ECRECENTE E el cso de ls pogesioes geométics dececietes < (co >0, cudo <0 ls sucesioes so ltemete positivs egtivs y csi o ls estudimos), se puede coside l sum de todos los témios, pues pti de u mometo de l sucesió, los témios so t pequeños que o pot d l mism. L fómul que pemite clcul est sum es: EJEMPLO_ d l pogesió geométic 000, 00, 0,, Clcul l sum de todos sus témios. e tt de u pogesió geométic dececiete de zó: Po tto plicdo l fómul: TOTAL ,,, 7,,90,9.000

13 º EO PROPORCONALA NUMÉRCA Y UCEONE EPARTAMENTO E MATEMÁTCA. AGRAO CORAZÓN COPRRA_Julio Cés Abd Mtíez-Los ARNEO (LA ROJA) NOTA_ PROPORCONALA y UCEONE * ÍMBOLO: _ mplic o quiee deci o supoe que, l elció es ciet de izquied deech. _ mplic o quiee deci o supoe que, l elció es ciet de deech izquied. _ oble implic, l elció es ciet e mbos setidos. _ istito _ fiito _ Apoimdo _ Peteece _ No peteece / _ Tl que Π _ Tl que _ Eiste _ No eiste α _ Alf β _ Bet _ Gmm