TEMA 16. Discusión Y Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales. Teorema de Rouche. Regla de Cramer. Método de Gauss-Jordan

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1 TEMA 6. Discusió y Resolució de Ecucioes Lieles TEMA 6. Discusió Y Resolució de Sistems de Ecucioes Lieles. Teoem de Rouche. Regl de Cme. Método de Guss-Jod. Itoducció Ls ecucioes os pemite plte y esolve sistemáticmete umeosos polems que, po pocedimietos memete itméticos, esultí muy loiosos. U vez tducido el polem u sistem de ecucioes, l esolució de éste se educe l esolució de este siedo u pocedimieto mecáico. Eiste divesos métodos que os pemite esolve de me sistemátic u sistem de ecucioes. L plicció de uo u oto depede ásicmete de l compleidd del sistem e cuto l úmeo de ecucioes y de icógits. Así, p esolve sistems de dos o tes ecucioes lieles co dos o tes icógits espectivmete, se utilizá los métodos clásicos: sustitució, igulció y educció. Si emgo, estos métodos so poco decudos medid que umet el úmeo de ecucioes y de icógits. Ls técics de esolució de sistems de ecucioes lieles fueo descuiets e los siglos XVIII y XIX, hst est époc solo se coside esolules los sistems co igul úmeo de ecucioes que de icógits, y si lgu ecució o lielmete idepediete se decí que el polem est ml pltedo. El vce e l esolució de ecucioes lieles vio co el uso del detemites Cme) y más tde el de MtizHmilto). Otos mtemáticos impottes e estos dos siglos p l esolució de sistems fueo D Alemet, Guss, Jod, Jcoi ete otos.. Sistems e ecucioes lieles. Geeliddes... Defiicioes. U ecució liel o ecució lgeic de pime gdo) co icógits es e geel u iguldd del tipo dode,,,, so elemetos de u cuepo comuttivo K e geel supodemos KR). lets,,, se deomi coeficietes y el témio idepediete. Ls, so ls icógits. Ls solucioes de u ecució liel co icógits Los elemetos,, so los vectoes de dimesió α, α,, α N) que cumple stisfce l ecució, es deci α + α + + α Se deomi sistem de m ecucioes co icógits y coeficietes e K u couto de m ecucioes lieles co ls misms icógits y coeficietes e el citdo cuepo K: m m m m [ ] dode i deot el coeficiete de l icógit el l i-ésim ecució, i K, K. Jose Luis Loete pepdo oposicioes secudi

2 TEMA 6. Discusió y Resolució de Ecucioes Lieles U solució o íz) del sistem de ecucioes lieles es todo vecto de dimesió α, α,., α N) tl que veifique tods y cd u de ls ecucioes, es deci, tl que: α + α + + α α + m m α + α + + α α + + m α m SS S. S co S i solució ecució i-esim. Atediedo l couto de sus solucioes u sistem liel puedes se: Icomptile: si o tiee solució. Comptile: si tiee solució. E este cso puede ocui que o ie el sistem teg u úic solució detemido) o ie teg ifiits solucioes idetemido)... Notcioes Aevids A) Si e el sistem teio [ ] cosidemos los vectoes-colum de coeficietes y el vecto-colum de témios idepedietes: m,,, m dicho sistem se epes e fom vectoil: B) Si fommos u mtiz m tomdo ls colums tedemos l mtiz de coeficietes del sistem: A m m m ) i i,,, m),,, ) K m, ) Tomdo l mtiz colum de los témios idepedietes y ot mtiz colum de icógits el sistem puede epesse e fom mticil: A. A seá deomid mtiz de coeficietes y l mtiz que se otiee ñdiedo el vecto, es deci, A,,, ) es l mtiz mplid del sistem de m m m ecucioes. Jose Luis Loete pepdo oposicioes secudi

3 TEMA 6. Discusió y Resolució de Ecucioes Lieles Eemplo: Se el siguiete sistem, su epesetció mticil es: A dode A K 3 3,) 5 K Sistems de Ecucioes lieles Homogéeos y o Homogéeos. Se u sistem de ecucioes lieles A segú otció mticil evid), se dice que dicho sistem es homogéeo si se veific. E cso cotio ) se dice que el sistem es o homogéeo. Popieddes: Ls demostcioes so tiviles dd l lielidd del sistem A) Todo sistem liel homogéeo es comptile pues dmite l meos l solució tivil,,,). B) Si α, α,, α ) es u solució p u sistem homogéeo, etoces kα, kα,, kα ) tmié lo es p todo k K cuepo). C) Si α, α,, α ) y β, β,, β ) so solucioes de u sistem homogéeo, tmié kα kβ, kα + kβ,, kα + kβ lo es + ). D) Se u sistem o homogéeo A co s h α, α,, α ) solució l sistem homogéeo equivlete A y s p µ, µ,,µ ) u solució del sistem o homegéeo solució pticul) etoces culquie vecto de l fom ss p +λ s h co λ K es solució del sistem o homogéeo. 3. Equivlecis ete sistems 3.. Defiició de sistems equivletes Dos sistems de ecucioes lieles co el mismo úmeo de icógits,,, se dice que so equivletes si tiees ls misms solucioes. De est fom se los sistems de ecucioes lieles m m m m [ ] c + c + + c d c c c d c c c d [ ] se dice que los sistems [ ] y [ ] so equivletes si se veific que α, α,, α ) es solució de [ ] si y sólo si es solució de [ ]. Evidetemete, los sistems equivletes h de tee el mismo úmeo de icógits, uque o ecesimete el mismo úmeo de ecucioes puede se m ). Jose Luis Loete pepdo oposicioes secudi 3

4 TEMA 6. Discusió y Resolució de Ecucioes Lieles 3.. Fomció de sistems equivletes. Se u sistem de ecucioes lieles, podá se tsfomdo e oto equivlete él. El siguiete teoem muest vios métodos de costucció de sistems equivletes: Teoem: Ddo u sistem de ecucioes lieles se tiee: A) Si multiplicmos u ecució po u úmeo el distito de ceo, se otiee oto sistem equivlete l ddo. B) Si sustituimos u ecució po u comició liel fomd po dich ecució si ul y u úmeo itio de ls esttes ecucioes del sistem, etoces oteemos oto sistem equivlete l ddo. C) Si u ecució es comició liel de ots ecucioes del sistem, etoces el sistem que oteemos l supimi o ñdi) dich ecució es equivlete l ddo. Demostció: Si teemos u ecució liel se compot como u vecto. Si u ecució l multiplicmos po u costte, l igul que u vecto, est sigue siedo equivlete. Si l sustituimos po u comició liel de ots ecucioes que tiee mism solució el esultdo mism solució. Si quitmos o ñdimos ecucioes comicioes lieles de ots est ecució, l igul que u vecto, o gee distits solucioes pues es depediete de ls ots. Eemplo: Los siguietes sistems so equivletes: ) ) + 9 Como cosecueci del teio teoem se otiee ls siguietes coclusioes: Coolio: p esolve u sistem de ecucioes lieles st esolve u sistem equivlete e el que igu ecució se comició liel de ls esttes. 4. Rgo de u Mtiz. 4.. Defiicioes Se A u mtiz de ode m, culquie mtiz que se oteg de ell supimiedo ciets fils y ciets colums se llm sumtiz de l mtiz dd. Deomimos meo de ode de l mtiz A l detemite de tod sumtiz cudd que puede etese de A tomdo los elemetos situdos e fils y colums. Decimos que el go o ccteístic de l mtiz A es y se deot ga), si se cumple ls dos codicioes siguietes: ) De A puede etese u meo de ode o ulo deomido meo picipl) y ) So ulos todos los meoes de A de ode supeio Not: Es suficiete co que se ulos todos los meoes de ode + p que los se culquie meo de ode supeio. E efecto, si puede etese u meo de ode +, l desoll éste quedí epesdo pti de los dutos de es líe que so slvo po el sigo meoes de ode +. Si todos ellos so ulos, lo seá e cosecueci el de ode +. Jose Luis Loete pepdo oposicioes secudi 4

5 TEMA 6. Discusió y Resolució de Ecucioes Lieles Eemplo: Clcul el go de l mtiz siguiete: A 3 A luego o es de go 4) Vemos que todos los meoes de ode 3 so ceo: , etc. 3 Si emgo, 6, es u meo de ode distito de ceo, luego es u meo 3 picipl de ode. Luego RgA) Cosecuecis:. Si e u mtiz A se itecmi ete sí dos fils o colums), se otiee ot mtiz B de igul go que l pime.. Si u fil o colum) de l mtiz A está fomd po ceos, el go de A es igul l de l mtiz B, que se otiee pti de A supimiedo es fil o colum). 3. El go de l mtiz ul es, y es l úic cuyo go es. 4. P tod mtiz de ode m se tiee: g A) mi m, ). 5. Se l mtiz A y su tspuest A, se tiee: ga) ga ). 6. P tod mtiz de ode, se tiee que deta) g A). Poposició: el go de u mtiz A coicide co el úmeo de fils o colums lielmete idepedietes. 5. Sistems lieles cuddos co solució úic. U sistem liel co el mismo úmeo de ecucioes que de icógits u sistem liel ) es u sistem liel cuddo. L mtiz de coeficietes, A, es, e este cso, u mtiz cudd. Si dich mtiz es egul A ) el sistem se deomi sistem de Cme. Teoem : Todo sistem de Cme es comptile detemido. Demostció: Como l mtiz A es egul, etoces es ivesile. Siedo el sistem e fom mticil solució úic del sistem A, etoces multiplicdo po l izquied po A. A otedímos l Jose Luis Loete pepdo oposicioes secudi 5

6 TEMA 6. Discusió y Resolució de Ecucioes Lieles Teoem : Si u sistem liel cuddo tiee u solució úic etoces es u sistem de Cme Demostció: Se α, α,, α ) l úic solució del sistem que puesto e fom vectoil es + + +, etoces α + α + + α. Si fuese β, β,, β ) solució del homogéeo β β + + β tedímos: α + β) + α + β ) + + α + β ) +. + Luego α + β, α + β,, α + β ) seí ot solució del sistem. Peo como es úic h de se α + β α, α + β α,, α + β α, es deci, β β β. Hemos podo que los vectoes colum de A so lielmete idepedietes y po tto A Regl de Cme: L solució úic de u sistem de Cme viee dd po:,,, siedo A. Demostció: Supogmos el sistem epesdo e fom vectoil dode los i so los vectoes colum de l mtiz A det,,,,, ) det,,, + +,, ) det,,,,, )++ det,,,,, ) ++ det,,,,, det,,,,, ) A. ) L demostció sd e ls popieddes de los detemites: ) l lielidd especto l -ésim colum y ) e que u detemite co dos colums igules es ulo. Como A, despedo otedemos l solució úic del sistem det,,,, ) A A A Jose Luis Loete pepdo oposicioes secudi 6,,,. L utilizció páctic de l egl de Cme puede esult lgo loios soe todo p vloes gdes de, pues se tiee que clcul + detemites de ode. Igulmete, puede esult lgo idecud p sistems e los cules el A tiee u vlo póimo ceo.

7 TEMA 6. Discusió y Resolució de Ecucioes Lieles 6. Discusió de u sistem liel. Teoem de Rouche-Foeius. Cosideemos el sistem liel más geel posile de m ecucioes co icógits: S A m m m m m m m B m m m Teoem de Rouché-Foeius: L codició ecesi y suficiete p que u sistem liel geel se comptile es que l mtiz de coeficietes y l mtiz mplid teg igul go. S comptile ga)gb) Demostció. ) Si el sistem es comptile eiste l meos u -upl solució α, α,, ) R que veific α + α + + α co lo cul l últim colum de l mtiz mplid B seí comició liel de ls teioes colums, po tto podímos supimi e B l últim colum y el go o ví, queddo sí ga)gb). ) Supogmos que ga)gb). Po defiició de go, e l mtiz há u meo picipl M y ls colums de A de ls cules se h etído M seá lielmete idepedietes podemos supoe que se ls pimes, eodedo ls icógits del sistem si fuese peciso). Como el go de B es tmié y A está icluid e B, l mtiz mplid tedá colums lielmete idepedietes que seá tmié ls pimes. Ls esttes colums de B, e especil l últim, se puede otee como comició liel de quells. Po tto eiste escles α, α,, α tles que α + α + + α de quí ovimeteα + α + + α α, α,, α,,) R seí solució del sistem. y. Result que l -upl DISCUSIÓN Y RESOLUCIÓN DEL SISTEMA GENERAL : Se u sistem co mtiz de los coeficietes A y mplid B. Si ga) gb) el sistem o tiee solució icomptile). α Si ga) gb), e l mtiz B tmié hy lo sumo fils lielmete idepedietes que coespode ls ecucioes piciples del sistem supogmos que se ls pimes ts eodels si fuese ecesio). Ls - ecucioes esttes so supeflus l se comicioes lieles de quells pimes. El sistem educido sus ecucioes piciples quedí simplificdo l sistem equivlete: Puede ocui: Jose Luis Loete pepdo oposicioes secudi 7

8 Resume: TEMA 6. Discusió y Resolució de Ecucioes Lieles A). E este cso el sistem seí cuddo y l mtiz A tedí como detemite el meo picipl M, po lo que seí u sistem de Cme comptile detemido. B) <. Nos qued meos ecucioes que icógits. Eligiedo como icógits piciples ls coespodietes ls colums de ls que se h etído M ls pimes) ls demás - icógits o piciples ls podemos ps l segudo miemo de ls ecucioes. Tedemos: + + +, ) + + +, ) , + + ) E este cso el detemite de l mtiz de coeficietes es M, luego popocio u solució del sistem p cd vlo itio de ls icógits o piciples, luego l solució geel viee dd po us ecucioes pmétics co - pámetos, luego hy ifiits solucioes. Se dice que el sistem es idetemido co - gdos de lietd. ga) gb) S icomptile. ga) gb) : S comptile detemido. < S comptile idetemido. 7. Método de Guss y de Guss-Jod 7.. Método de educció de Guss El método de educció de Guss cosiste e tsfom el sistem de ecucioes ddo e oto equivlete de fom que se ulos todos los coeficietes que esté po deo de l digol picipl e l mtiz de coeficietes. Así se otiee u sistem tigul. El método cosiste e plic tsfomcioes elemetles ls fils: - Itecmio de fils. - Cmio de escl de u fil: multiplic culquie fil de l mtiz po u costte - Pivotció: eemplz culquie vecto fil de l mtiz po l sum de sí mismo co u múltiplo de u vecto fil difeete. A) Cso sistem liel cuddo co solució úic: El sistem está completmete dete- mido po l mtiz mplid A ) Se dos ecucioes lieles E E,,, ) ) E E E Jose Luis Loete pepdo oposicioes secudi 8

9 TEMA 6. Discusió y Resolució de Ecucioes Lieles Si fuese si o hímos itecmio de fils hst ecot u pivote o ulo), podemos tom dicho elemeto como pivote p cosegui hce u ceo e l ot ecució. ' ' ' ' Así, si eemplzmos E po E E os quedí E,,, ) dode ' ',,). Seguiímos hciedo ceos e tods ls fils que esté po deo del pivote e es mism colum. De est me medite opecioes elemetles co fils ttmos de lleg educi A l fom tigul: u u u u c uc El sistem educido U c), U c, siedo U mtiz tigul supe- u c io. E cso de solució úic los elemetos u ii de l digol picipl so todos o ulos. Etoces, se otiee l solució úic del sistem medite sustitució egesiv. B) Cso sistem liel geel. Se educe l fom esclod po fils: u u u u c uc Al lleg l fom esclod puede ocui: ) Apece u fil e l mtiz mplid co todos los elemetos igules ceo e l pte izquied y el elemeto de l deech distito de ceo. Llev u sistem equivlete l de ptid co u ecució del tipo + + +, co lo cul o hy solució Sistem Icomptile). ) U vez elimids ls fils de ceos po coespode ecucioes supeflus + + +, os qued el mismo úmeo de ecucioes que de icógits. Estímos e el ptdo A), fom tigul supeio, que esolvemos po sustitució egesiv hst otee solució úic Sistem Comptile Detemido). 3) Si se lleg u sistem esclodo peo co meos ecucioes que icógits, hy que ps l segudo miemo tts icógits como se ecesis tomádols como pámetos) p que el sistem pued se esuelto po sustitució egesiv. El úmeo de pámetos que pece e l solució geel so los gdos de lietd. El sistem dmite ifiits solucioes Sistem Comptile idetemido). 7.. Método de Guss-Jod. El método de Guss-Jod es u vce del método de Guss, que tiee como oetivo evit l sustitució egesiv. Se us ls tsfomcioes elemetles p educi l pte izquied de l mtiz mplid l fom digol co todos los pivotes igules, es deci, l mtiz idetidd. El sistem educido equivlete qued de l fom I c) e cso de solució úic esto es siempe posile) de dode l solució es diectmete c. Jose Luis Loete pepdo oposicioes secudi 9

10 TEMA 6. Discusió y Resolució de Ecucioes Lieles 8. Apliccioes l Geometí U plicció impotte de l discusió y esolució de los sistems de ecucioes lieles es el estudio de ls posicioes espectivs de ects y plos e R 3. Csos: PLANOS π A+ By+ Cz+ D π ' A' + B' y+ C' z+ D' gom gom* Coicidetes gom gom* Plelos gom gom* Sectes gom gom* Coicidetes π,π' 3 PLANOS gom gom* coicidetes y plelo 3 plelos POSICIONES RELATIVAS EN EL ESPACIO π A+ By+ Cz+ D π ' A' + B' y+ C' z+ D' π '' A' ' + B'' y+ C' ' z+ D' ' RECTAS A + By+ Cz+ D A+ By+ Cz+ D A + By+ Cz+ D ' A' + B' y+ C' z+ D' RECTA Y PLANO gom gom* gom gom gom* 3 gom*3 Sectes e u ect plelos y secte Sectes Sectes e u puto gom gom* Coicidetes gom gom* 3 Plels gom gom* Sectes gom 3 gom* 4 gom gom* Cuzds Coteid e el plo A + By+ Cz+ D A+ By+ Cz+ D π A+ By+ Cz+ D gom gom* 3 gom gom*3 Plel l plo Secte l plo Jose Luis Loete pepdo oposicioes secudi

11 9. Coteto co secudi. TEMA 6. Discusió y Resolució de Ecucioes Lieles Los sistems de ecucioes lieles co dos ecucioes y dos icógits se empiez itoduci los lumos de º de l ESO, dode se esuelve medite los métodos de educció, igulció y sustitució. Se tt siempe de sistems comptiles detemidos. E 3º de l ESO y e 4º se sigue ddo estos sistems peo ho co más pofudidd, e 3º se esuelve tmié los sistems epesetdos ls solucioes, y e 4º se t co sistems o siempe comptiles, clsificdo pimeo el sistem tes de esolve El método de Guss y l esolució de sistems de 3 ecucioes se plic y e el º chilleto, po ls dos opcioes Mtemátics I y Mtemátics de º Aplicds CCSS). Se eliz el método de Guss peo si utiliz otció mticil que se d e º de Bchilleto. Es e º Bchilleto ms ms) cudo se od sistems de ecucioes lieles de culquie tipo y se eplic el teoem de Rouche-Foeius, l egl de Cmey l esolució de sistems po el método de Guss. Jose Luis Loete pepdo oposicioes secudi