Si dos rectas coplanares no se cortan diremos que son paralelas.

Transcripción

1 - 1 - pítulo I: plelismo y pependiculidd Definición de ects plels Si dos ects coplnes no se cotn diemos que son plels xiom de Euclides Si dos ects coplnes ( y ) son cotds po un tece () fomndo ángulos colteles intenos (α y β) que sumn menos que un llno, ls dos ects se cotn en el semiplno que tiene po ode l tece y contiene los ángulos que sumn menos que un llno α β Osevción: es inmedito que si α + β > un ángulo llno, entonces ls ects se cotn en el semiplno opuesto oolio: si α y β un ángulo llno, ls ects son plels Demostción: como un ángulo llno mide 180º, esciimos α + β 180º α 180º-α α β 180º- β β α + β (180º - α) + (180º - β) 360º - (α + β) 180º omo en mos semiplnos de ode se d l mism situción (los ángulos colteles intenos sumn 180º), dee ocui lo mismo con ls ects y en mos semiplnos Hy sólo dos posiiliddes: 1) y se cotn En este cso, hy un punto de intesección en cd semiplno y concluimos que y tienen dos puntos en común, po lo tnto son l mism ect SUDO, pues en ese cso no hí ángulos colteles intenos 2) y no se cotn No hy ot posiilidd lógic, po lo tnto ceptmos que se cumple omo y son ects coplnes que no se cotn, po inición esultn y plels ecípoco del coolio: // α + β 180º El esultdo de l sum de α y β dee cumpli un y sólo un de ests tes posiiliddes: 1) α + β < 180º SUDO, pues y se cotín en el semiplno que contiene α y β 2) α + β > 180º SUDO, pues y se cotín en el semiplno que no contiene α y β 3) α + β 180º No hy ot posiilidd, po lo tnto ceptmos que se cumple

2 Teoem: Dos ects plels cotds po un secnte fomn ángulos ltenos intenos que son igules Demostción: // coolio Euclides (3) + (6) 180º (3) (6) 180º (6) 180º (3) dycente dycente (5) (4) (1) (2) (4) (3) (8) (5) (6) (7) Teoem: Los ángulos opuestos po el vétice son igules Demostción: cgo del lumno Teoem: Dos ects plels cotds po un secnte fomn ángulos ltenos extenos igules Demostción: (2) opuestos po el vétice (4) ltenos intenos (6) opuestos po el vétice (8) Teoem: Dos ects plels cotds po un secnte fomn ángulos coespondientes igules Demostción: cgo del lumno Teoem ecípoco: Si dos ects genen ángulos ltenos igules, ls ects son plels Demostción: L s ects y genen los ángulos ltenos intenos igules α α y β son ángulos colteles intenos tles que β180º-α α α + β α (180º - α) 180º o el ecípoco del coolio de Euclides, // α Ejecicio: enuncie y demueste los teoems ecípocos coespondientes los ángulos ltenos intenos y los ángulos coespondientes Te oem del plelismo de lyfi Est poposición suele pesentse como xiom en muchos cusos de chilleto Si sustituimos el xiom de Euclides po el de lyfi, podímos conveti en teoem el de Euclides undo dos poposiciones son tles que, tomds como xioms un en sustitución de l ot en un cuepo teóico, pemiten demost el mismo conjunto de teoems (y po extensión, l mism geometí) se dice que son xioms equivlentes ecomendmos en este punto l lectu del mteil Los elementos de Euclides (cpítulo 4 del lio de Michel enkopf, Mthemtics - n ppecition)

3 Teoem: o un punto exteio un ect ps un plel, y sólo un Demostción: Osevemos que este teoem dice dos coss: 1º) existe un plel l ect po el punto, y 2º) est plel es únic onsideemos un ect y un punto que no petenece ell 1º) Encontemos un plel po Se q un ect po secnte con en Tcemos ho l ect h secnte con q po tl que se fomen ángulos colteles inteioes que sumen 180º o el coolio de Euclides esultn h // po 2º) o el sudo, suponemos que existe un segund plel s l ect po, s h q h // hs + q 180º h // s Teoem: (popiedd tnsitiv del plelismo) // t s // t Demostción o el sudo, suponemos que no es plel t t Se t Esto contdice el teoem de lyfi pues hy dos plels s po s oncluimos que y t no se cotn, y po lo tnto son plels q s < hs s + q < 180º entonces s cot, lo cul signific que s s no es plel, contdiciendo nuesto supuesto oncluimos que no existe ot ect plel po h Teoem: en un mismo plno, si un ect cot ot, entonces cot un plel l ot { } '//,, ' coplnes ' {} Demostción o el sudo, si no cot es // omo //, po l popiedd tnsitiv del plelismo es //, contdiciendo l hipótesis oncluimos que cot Si quitmos l condición de que ls ects sen coplnes, sigue siendo válido el teoem? Teoem (del ángulo exteno): cd ángulo exteno de un tiángulo es igul l sum de los ángulos intenos no dycentes Demostción: Tzmos po un ect h plel, h descomponiendo sí el ángulo exteno tl que exteno x + y eo y po coespondientes y x x po ltenos intenos y Luego, exteno + nálogmente se pue p los otos ángulos extenos del

4 - 4 - oolio: cd ángulo exteno de un tiángulo es myo que culquie de los ángulos intenos no dycentes Teoem (de l sum de los ángulos intenos de un tiángulo): en todo tiángulo l sum de los ángulos intenos es igul un ángulo llno Demostción: En l mism figu vemos que: + + y + x + 180º Teoem: dos ects coplnes pependicules un tece son plels ente sí Demostción: es consecuenci inmedit del ecípoco del coolio de Euclides plicción: este teoem pemite justific un conocido pocedimiento p tz con egl y escud l ect plel ot dd po un punto exteio ddo, como se ve en l figu // Teoem: po un punto exteio ps un sol pependicul un ect dd Demostción: este teoem fim dos coss, 1º) Existe un pependicul l ect po el punto exteio (se demostá cundo se estudie l simetí xil), y 2º) Est pependicul es únic po esto último po el sudo, supongmos que hy dos pependicules s y t l ect po el punto Se fom un tiángulo donde los ángulos inteioes sumn más de 180º, lo que contdice un teoem nteio oncluimos que l pependicul es únic s t 90º 90º ué ocue si quitmos de l hipótesis l condición de que el punto se exteio l ect? lelogmos Vmos d cuto iniciones distints de plelogmo y demostemos que son equivlentes Esto signific, po ejemplo, que l inición () implic l inición () y ecípocmente Dds cuto iniciones, tendímos que hce doce demostciones:,, D,, D, D (ecuede que const de dos demostciones, y ) Un fom más páctic de esolve el polem consiste en demost ls siguientes elciones ente ls poposiciones: D, poque sí sólo tenemos que hce cuto demostciones po, po ejemplo, que D, veímos en pime lug que D (pues D) y luego que D (pues D ) Nuests iniciones de plelogmo son: () cudiláteos con sus dos pes de ldos opuestos plelos () cudiláteos con un p de ldos opuestos igules y plelos

5 - 5 - () cudiláteos con sus dos pes de ldos opuestos espectivmente igules (D) cudiláteos cuys digonles se cotn en sus espectivos puntos medios Demostciones Se el plelogmo S tl que // S y // S Si tzmos l digonl tenemos que: ltenos intenos S ldo común ltenos intenos S citeio L Δ ΔS S y S S //S //S // S S Se el plelogmo S tl que // S Y S Si tzmos l digonl tenemos: ldo común S S D citeio LL Δ ΔS // S S S Se el plelogmo S tl que S y S onsideemos ls digonles y S que se cotn en O S citeio LLL S Δ ΔS S O ldo común nálogmente pomos que O SO (hcelo) Entonces, O O SO SO S citeio L ΔO O O ΔOS O SO O O S S S S SO pm pm S O S S O pm de digonles D Se el plelogmo S tl que y S se cotn en su punto medio O O O O O OS opuestos po el vétice OS citeio LL ΔO ΔOS O SO S O S ecípoco ltenos intenos // S nálogmente pomos que // S (hcelo) ls digonles se // S Luego, cotn en su pm // S Ejecicio: () demueste que un cudiláteo con sus ángulo opuestos espectivmente igules es un plelogmo, () demueste que el segmento detemindo po los puntos medios de dos ldos opuestos de un plelogmo es igul y plelo los otos ldos opuestos ( este segmento se le llm plel medi del plelogmo)

6 - 6 - Teoems de l plel medi en un tiángulo Teoem diecto: tiángulo MN // M pm MN 1 2 N pm M N M Demostción Se M tl que N es el punto medio del segmento MM ( cómo constuye M?) omo ls digonles del cudiláteo MM se cotn en su punto medio N, es un plelogmo (po l inición (D)) Entonces, M M MM' MN M // M' M // M' MM' plelogmo MM'// MN// demás, MM' 2MN MN 1 2 l segmento MN se le llm plel medi del Hy otos dos segmentos que tmién son plels medis del mismo tiángulo? tiángulo M pm M N h Teoem ecípoco: N pm h // po M? h {} N Demostción Supongmos que K es el punto medio del segmento, K N o el teoem diecto semos que MK // po M o hipótesis, h // po M o lyfi, l plel po M es únic Entonces, MK h K MK h N K N pm Ejecicios: (1) Diuje tes tiángulos esclenos (cutángulo, ectángulo y otusángulo) y tce ls tes plels medis de cd uno uee que cd tiángulo qued dividido en cuto tiángulos igules (2) Tce un tpecio escleno D M es el pm y N es el pmd uee () que MN es plel ls ses, y () que l medid de MN es l semisum de ls medids de ls ses del tpecio (pevimente enuncie fomlmente como teoem) Tpecio: cudiláteo con un solo p de ldos opuestos plelos, llmdos ses esolución del ejecicio (2) de plel medi M N Se / N pm ls digonles del D se cotn en su punto medio D es un plelogmo ls digonles del 'D // po D lyfi D 'D se cotn 'D D, es deci que los D // po D en su pm puntos, D y están linedos MN // ' Luego, el segmento MN es plel medi en el tiángulo MN 1 2 ' omo MN //, esult MN // D y MN // y MN 1 (D D') (D + ) Teoem de Thles onsidee dos ects coplnes y fij ides, supongmos // Soe se tomn los puntos, y, de modo que, consecutivos Se tzn: un ect secnte y y que ps po, un ect // po y un ect c // po Sen,, c Demostemos que ' ' ' ' c

7 - 7 - // ' ' ' ' plelogmo ' ' x // y nálogmente, ' ' ' ' ' ' o hipótesis x Si ls ects y son secntes, se tzn y ects plels po, y Fommos los plelogmos y y z po l inición () concluimos que: '' ' ' y '' ' ' Demueste el lecto que los tiángulos y son igules '' '' tnsitiv Luego, ' ' '' ' ' ' ' ' ' '' odemos geneliz este esultdo en el siguiente Teoem: Si tes o más ects plels son cotds po dos tnsvesles, segmentos igules en un de ésts coesponden segmentos igules en l ot Definición: Sen cuto segmentos cuys medids son,, c y d Decimos que c fomn un popoción si están en l elción d Ejecicio N M x Tce segmento Diuje un semiect x que fome un ángulo gudo Tome un segmento itio soe l semiect y tnspótelo pti de tes veces consecutivs soe x, deteminndo sí los puntos, y Un el punto con o y tce ls plels que cotn l segmento en M y N según figu Demueste que el segmento h queddo dividido en tes segmentos igules N, MN y N Teoem (de Thles): Si tes o más plels son cotds po dos tnsvesles, dos segmentos culesquie de un de ésts son popocionles los dos segmentos coespondientes de l ot ////c, t t' Demostción t y t' tnsvesles O'' {} O, t {}, c t {} { } { } { } ' ' O', t' ', c t' ' Hemos l pue p el cso pticul en que exist un segmento de medid x contenido un cntidd ente de veces en el segmento O y en el segmento, po ejemplo, m veces en O y n veces en O mx m Entonces, nx n o los puntos de división que esultn en los segmentos O y l dividilos según el segmento x, se tzn plels ls ects, y c que deteminn soe l tnsvesl t segmentos z que son igules ente sí (po el teoem nteio) unque no tienen po qué se igules x O

8 - 8 - omo el segmento x está contenido m veces en el O y n veces en el es inmedito que z está contenido m veces en el O u n veces en el O'' mz m Entonces, ' ' nz n oncluimos que O O'' ' ' Teoem de Thles plicdo los tiángulos,, no linedos h // h Demostción {}, h {} k i h j Si tzmos j // h po, po el teoem de Thles se cumple que Si tzmos i // po / i tenemos // ' ' plelogmo ' '// Si tzmos k // po po el teoem de Thles se cumple que ' Sustituyendo ' po llegmos l tesis Teoem (ecípoco de Thles): si soe dos ects coplnes hy dos segmentos consecutivos que se pueden pone en coespondenci y que cumpln que son popocionles, y demás dos de ls ects deteminds po extemos coespondientes son plels, entonces l ot ect detemind po extemos coespondientes tmién es plel quells, ' ects coplnes,,, ', ', ' ' '// ' ' ', '// ' ' ' Demostción o hipótesis, ' ' ' ' Se h // po h { } ' ' ' ' o el teoem diecto, Entonces, ' '' ' '' o el xiom de tnspote de segmento, hy un único punto en l semiect opuest que cumple que ' ' ' oncluimos que Luego, h // esponsles: of Mí del osio uintns of lejndo sto