2. Calcula las coordenadas de D para que el cuadrilátero de vértices: A(-1, -2), B(4, -1), C(5, 2) y D; sea un paralelogramo.

Transcripción

1 REPSO DE GEOMETRÍ MÉTRIC PLN. Hll el siético del punto (, - ) especto de M(-, ).. Clcul ls coodends de D p que el cudiláteo de vétices: (-, -), B(, -), C(, ) D; se un plelogo.. Ddos los vectoes (, k) (, - ), clcul k p que los vectoes sen:. Pependicules. b. Plelos. c. Foen un ángulo de 6. No válid. Si M(, ), M(, ) M(6, ) son los puntos edios de los ldos de un tiángulo, cuáles son ls coodends de los vétices del tiángulo? 7 (7, ) B(, ) C(, )

2 . Pob que los puntos: (, 7), B(,6) C(, -) petenecen un cicunfeenci de cento (, ). Si O es el cento de l cicunfeenci ls distncis de O, B, C D deben se igules 6. Clsific el tiángulo deteindo po los puntos: (, -), B(, ) C(, ). Recued que se cuple: En este cso se cuple: 7. Hll k si el ángulo que fo (, k) con (, -) vle:. 9 b. c. Ls dos soluciones son válids

3 8. Clcul los ángulos del tiángulo de vétices: (6,), B(,), C(-,-). 9. Clcul p que el vecto u (, ) se unitio u ± (ls dos soluciones son válids). Qué ángulo fon los vectoes u (, ) v (, ) s (, ) w (, )? u v ( ) cos ( u, v) u v ( ) ( ) cosα ( u, v ) 8º 8º 6,8 6º, α 8º 6,8? Y los vectoes cos β s w s w ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) cosβ β 8º 9,9 6 ( s, w) 6º 8º 9,9 77º 7,6

4 . Clcul el poducto escl de u (, ) v es de º u, ( ) u v u v u v cosº, sbiendo que v. Clcul un vecto otogonl ( 6, 8) Buscos w, que cuple: w u v w u que se unitio. ( ) (, ) ( 6, 8) Soluciones:,. Clcul p que los vectoes u (, ) v (, ). Otogonles u v (, ) (, ), 6 sen: ± el ángulo que fon 6 8 b. Plelos u v son popocionles c. Foen un ángulo de 6º cos 6º ( 9 6 ) ( ) 9 ( ) ,, 96 válid no válid.,8 (, ) 9,6 (,). Ddos los puntos (, ); B (6,); C(7,) D(, -) Deuest que el polígono BCD es un ectángulo clcul su peíeto su áe. Si es un ectángulo los ldos opuestos deben se plelos dos dos los ldos concuentes B (, ) DC; D (, ) (, ) (, ) D (, ) (, ) B Áe bse ltu d (, B) d ( pependicules B DC; BC ; DC BC D BC ; D DC; B BC (, D) B CD ( ) u

5 . Los puntos (-, -); B (,); C(,) son tes coodends de un plelogo, clcul ls coodends del cuto vétice. Si llos D l cuto vétice h que conside tes posibliiddes: plelogo BCD; plelogo BDC; plelogo CBD ) BCD se plelogo. D (, b) B DC (, )(-, -b) B ; b- D (, -) C D b) BDC se plelogo D (, b) B B CD (, )(-, b) 6; b D (6, ) C D c) CBD se plelogo C D (, b) B D C DB (, )(-, -b) -; b- D (-, -) 6. Hll ls coodends de los puntos edios del bicento del tiángulo de vétices (, ); B (,); C(,). M,, N, (, ) P,, G,, 7. Escibe de tods ls fos posibles l ecución de l ect que ps po los puntos (, ) B(-, ).

6 8. De un plelogo BCD conoceos (, ), B(, ), C(-, ). Hll ls coodends del vétice D. 9. Clsific el tiángulo deteindo po los puntos: (6, ), B(, ) C(6, ).. Hll l pendiente l odend en el oigen de l ect Hll l ecución de l ect que ps po (,) es plel l ect s:.. Los puntos (-, ) B(, -), son vétices de un tiángulo isósceles BC que tiene su vétice C en l ect - siendo C BC los ldos igules. Clcul ls coodends del vétice C.. L ect n - 7 ps po el punto (,) es plel l ect s -. Clcul n.

7 . Ddo el tiángulo BC, de coodends (, ), B(, ) C(, ); clcul l ecución de l edin que ps po el vétice C.. Clcul l ecución de l ect pependicul : ps po el punto P(-,). 6. Hll el punto siético ', del punto (, ), especto de l ect : - 7. Un ect de ecución : - 9 es editiz de un segento B cuo eteo tiene po coodends (,). Hll ls coodends del oto eteo. 8. Un ect es plel l que tiene po ecución : 8 -, dist 6 uniddes del oigen. Cuál es su ecución?

8 9. Clcul ls bisectices de los ángulos deteindos po l ects:. Hll el ángulo que fon ls ects que tienen po ecuciones:. b. c. d.. Se tiene el plelogo BCD cuos vétices son (, ), B(, ), C(-, ) D(-, -). Clcul su áe.

9 . Dds ls ects - s -8, detein p que foen un ángulo de. válids. Ddo el tiángulo (-, -), B(7, ), C(, 7); clcul ls ecuciones de ls ltus detein el otocento del tiángulo.. Un ect es pependicul l que tiene po ecución : - 7 dist uniddes del oigen. Cuál es su ecución?

10 . De l ect se sbe que ps po el punto (,) un vecto diecto es (-, ). Detein l ecución de l ect en tods ls fos que conozcs. 6. Dd l ect - escíbel en fo vectoil, pétic, contínu punto pendiente. 7. Dds ls ects - (-)-(), clcul el vlo de p que sen:. plels ( ) ( ) b. pependicules ( ) ( ) B B 8. Detein el vlo de p que ls ects, - sen plels. Después hll su distnci. ( ) ( ) ( ) u s d s d s s si ot l ci dis su clcul se els de un de punto un elige se ci dis su Clcul P cuple Se ), ( ), ( 9 8, 8 6 : tn tn ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8,, Eplícit Pendiente Punto Genel Vectoil t t Pétics t OX Vectoil ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),,,, Eplícit Pendiente Punto Vectoil t t Pétics t OX Vectoil vlo el dos le Punto u dieccionl vecto

11 9. Hll l ecución de l editiz del segento deteindo po los puntos (,-) B(,). Hll tbién el ángulo que fo est editiz con el eje de bsciss. M, B (, ) es vecto (, ) nol C ( ) C C L Pendiente de es tg α α º ángulo º D. Hll el áe del plelogo BCD sbiendo que l ecución del ldo B es -, l ecución del ldo D es ls coodends del punto C son (,) C B El punto El DC El 7 Áe ldo punto DC es es l K bse ltu intesecci plelo K 6 7 d ( D, C ) d 6 B ps D es l ite sec ción de los ón de ls ects po ldos (, ldo DC ) C K 7 DC D DC D (, ) (, ) 7 ( ) ( ) 7 ( ) 7 7 u. Clcul ls ecuciones de ls ects que psn po el punto P(,) fon un ángulo de º con l ect -7 P, L ect pedid p l escibios en fo punto pendiente p. ( ) ( ) L pendiente de l ect t 7 es Ls dos ects fon un ángulo de º sus ± ± tg º ± Ls dos pendientes 7 7 p 7( ) 7 p 7 7 ects solución son pependicles el cuplen: poducto de sus pendientes es ( ) 7 7. Ddos los puntos (,-) B(,) hll el punto de l bisectiz del º º cudnte que equidist de bos puntos Un punto de l bi sec tiz del º º cudnte es de l fo P ( t, t) Buscos los puntos P que equidis tn de B d ( P, ) d ( P, B) 6 8t t t t ( t) ( t) ( t) ( t) t t t 8t 8 t P (, )

12 . Ddos los puntos (,), B(-,) C(,), clcul el vlo de p que el tiángulo BC teng de áe 6 uniddes cudds C(,) Áe 6 bse ltu bse d (, B) ( ) ( ) ltu h d( C, ldo B) B B (,) (,) Ldo B h u (,) B(-,) B K K K es dieccion l 6 ± h 9 9 C, C (, ). Hll ls ecuciones de ls ects que psndo po el punto (,-) distn dos uniddes del punto B(,) Escibeos l ect en fo punto pendiente : d( B, ) : 9 : 9 ( ) ( ) solución válid 9. Hll los puntos de l ect 7--8 que distn uniddes de l ect -- : un d( P, s) ± ( ) ( 7 8) P punto culquie de es P P(, 7) (, 7) (,7 8) 6. Clcul ls coodends del punto P situdo en l ect - que equidiste de ls ects -, -6 : un punto culquie de es P (, ) s : t : 6 d( P, s) d( P, t) ( ) ± ( 7 ) P, P ( 7, )

13 7. Ls ects :- s:7 fon un ángulo cuo seno vle /. Clcul sen α 6 7 (, ) (, 7) ( ) cos α SÍ SOLUCIÓN 7 8 ; VÁLID SÍ SOLUCIÓN VÁLID 8. Clcul el áe del tiángulo que tiene sus vétices en los puntos (,) B(-,) C(-,). C(-,) h Áe bse ltu bse d (, B) ( ) ( ) ltu h d( C, ldo B) u (,) B B Áe (,) (,) u B(-,) es dieccion l Ldo B ldo B K B h K K 9. Un heágono egul tiene su cento en el oigen de coodends uno de sus ldos sobe l ect. Hll su áe. C(,) s: pote d( (,), s) En el heágono egul el ldo es igul l el dio, l itd del 6 Áe Peíeto pote dio l pote ldo 6 fon un tiángulo ectángulo dio de l cicunfeenci 6 7 cicunscit u

14 . Detein ls coodends de los vétices B C de un cuddo que tiene po digonl C donde (,) C(9,6). Po se cuddo d(, B) d( C, B) D C 9 6. Ls coodends de los vétices del cudiláteo BCD son (,), B(7,), C(8,) D(,6).. veigu de fo zond sin ecui un dibujo si se tt o no de un plelogo. b. Clcul ls coodends de los puntos edios de los cuto ldos. c. veigu si el cudiláteo cuos vétices son los puntos edios nteioes es o no un plelogo. ) Si fue un plelogo, los vectoes B DC tendín l is diección el iso ódulo. Po lo tnto, teneos dos nes de copob si es un plelogo: B (7,) (,) (7,) DC (8,) (,6) (,-). Si tuvien l is diección seín popocionles, es deci (7,) t (,-), po lo que t debeí vle siultáneente 7/ /. Coo es obvio que ests cntiddes no son igules, estos vectoes no son popocionles (linelente dependientes) po lo que no son plelos. L ot fo de copoblo es deteinndo sus ódulos. Si fue un plelogo d(,b) d(d,c). ( 7 ) ( ) 8; d( D, ) ( 8 ) ( 6) d (, B) C B 8 ( ) ( ) ( ) ( ) 6 8 L longitud d(, C) 8 d(, B) Re solviendo el siste que d( C, B) 6 6 Coo ls distncis no coinciden no es un plelogo. b) El punto edio de un segento se obtiene hllndo l edi itétic de ls coodends de sus eteos: ( ) ( ) ( ) ( ) 8 8 fon ls dos ecuciones: 6, 7, 7 7, 8, P M B, ; Q M BC, ; ( 8, ) (,6 ) (,6 ) (,) R M CD, ; S M D,8 c) plicos el pie zoniento epledo en el ptdo ): de l digonl es l 6 hipotenus 8 8 de un 6 8 ( ) 8( ) tiángulo 7 B(7, ) 8 D(, 8) ectángulo 7 PQ,, SR,,8 (,6) (,6) ; Result que PQ SR, luego deás de se plelos son igules, po lo que QR PS tbién deben se igules. Es deci, se tt de un plelogo.

15 . L ect tiene coo ecución iplícit l ect s tiene coo ecuciones t pétics. Escibe ls ecuciones de en fos eplícit, punto-pendiente, 6 t continu pétics ls ecuciones de s en fo continu, iplícit, eplícit puntopendiente. Epeceos con l ect. P ps fo eplícit bst con despej l, po lo que qued: Fo eplícit: De est ecución deducios que l pendiente -/. P hll l ecución en l fo puntopendiente necesitos ls coodends de un punto. Si en l ecución nteio le dos el vlo, esult -8, luego l ect ps po el punto P(,-8) po lo tnto: Fo punto-pendiente: 8 ( ) El vecto diecto de se obtiene pti de los coeficientes de de en l ecución iplícit: u (,-). Coo conoceos ls coodends de un punto de l ect, teneos 8 Fo continu: t P conclui poneos l fo pétic: 8 t Vos ho con l ect s. Si en ls ecuciones pétics despejos el páeto e 6 igulos, obteneos l fo continu: t Quitndo denoindoes psndo todo un iebo teneos l ecución iplícit: 8 Despejndo l obteneos l fo eplícit: 6 ( ) pti de l fo continu deducios l fo punto-pendiente:. Hll ls coodends del siético del punto P(,6) especto de l ect : -. El poceso que vos segui es el siguiente: ) Hllos l pependicul que ps po P. Coo está en fo eplícit teneos su pendiente. Culquie ect pependicul tendá de pendiente /, luego l ecución del hz de ects pependicules es n. Coo queeos que pse po el punto P, l ecución nteio debe se ciet p e 6, po lo tnto: 6n, n6 l ect buscd es 6. b) ho hllos el punto de cote ente est ect : Q, 6 c) ho clculos el punto P, pedido po el poble, teniendo en cuent que Q debe se el punto edio del segento PP : P (,), luego 8, (,6) (, ) P',

16 . Un obo tiene l digonl eno de l is longitud que sus ldos sus eteos son los puntos (,) C(7,7). Contest ls siguientes cuestiones zonndo ls espuests:. Cuánto vlen los ángulos del obo? b. Cuánto vle el peíeto del obo? c. Cuánto ide l digonl o? d. Clcul ls coodends de los otos dos vétices. ) Si l digonl eno es igul los ldos del obo, est digonl divide l obo en dos tiángulos equiláteos, po lo que el ángulo eno del obo seá de 6º el o de º. b) El peíeto es l su de ls longitudes de los cuto ldos. Si los ldos iden lo iso que l digonl eno, bstá con hll l longitud de est digonl ultiplic el esultdo po : ( 7 ) ( 7 ) 6 6 digonl d(, C) peíeto c) L digonl o es el doble de l ltu de un tiángulo equiláteo de ldo. Po el l teoe de Pitágos sbeos que l ltu de culquie tiángulo equiláteo es h, siendo l el ldo del tiángulo, sí pues coo l digonl o es el doble de es ltu, teneos: 6 6 h digonl o 6 d) H vis nes de esolve l últi pte. Nosotos vos segui el siguiente pocediiento: En pie lug hllos l ecución de l digonl o, poque los puntos buscdos deben est en es ect. Es digonl no es ot que l editiz del segento C. L editiz tbién se puede clcul de vis nes. Nosotos useos l popiedd d(p,) d(p,c): ( ) ( ) ( 7) ( 7) En segundo lug hllos ls coodends del punto edio, M, de En tece lug hllos l ecución de l cicunfeenci de cento M l ltu del tiángulo equiláteo itd del obo: 6 ( ) ( ) En cuto lug hllos los puntos de cote de est cicunfeenci con l editiz (que es l digonl o). Ls soluciones seán ls coodends de los puntos buscdos: 6 ( ) ( ) ( ) ± M 8 (, ) ( 7,7) (,) C: Po lo tnto, ls soluciones son: (, ) (, ) B D

17 . Con los dtos del poble, hll l ecución de l cicunfeenci que ps po P es tngente l ect, de fo que el segento que une P con el punto de tngenci es un diáeto. Rzon l espuest. Podeos povech los dtos del poble nteio. El cento de l cicunfeenci seá el punto edio de los puntos P Q del poble nteio, es deci: El dio de l cicunfeenci seá l itd de de l distnci de P. Si poneos en fo iplícit, teneos: -- po tnto: d( P, ) 6 9 d L ecución de l cicunfeenci Clcul el áe del tiángulo de vétices (,-), B(-,) C(,). Clcul tbién ls coodends del bicento del tiángulo. Rzon ls espuests. El áe de un tiángulo es igul l bse po l ltu dividido ente. Si llos l ect que ps po B, l bse es l distnci ente B l ltu es l distnci ente C. sí pues: bse d(, B) ( ) ( ) 9 L ect que ps po B tiene coo vecto diecto B (--,) (-7,) coo vecto nol n (,7). Po lo tnto, el hz de ects plels es: 7 C. Coo queeos que pse po teneos 7 C de donde C. Es deci, tiene coo ecución 7. 7 ltu d( C, ) áe 7 Po su pte, el bicento de un tiángulo (punto de cote de ls edins) se obtiene coo l edi itétic de ls coodends de los vétices: ( ) G, C (, ) (,6) 8, 9, 7. Hll ls ecuciones de los ldos, ls coodends de los vétices ls coodends del bicento de un tiángulo cuos ldos son plelos los ldos del tiángulo del ejecicio nteio psn po sus vétices (ve figu djunt). Rzon ls espuests. En este ejecicio heos de clcul ls ecuciones de los ldos del tiángulo del ejecicio nteio. L ecución del ldo B l heos clculdo, sí que tendeos que clcul ls ecuciones de los ldos C BC. Después hbá que clcul ls ecuciones de ls plels ess tes ects que psen po los puntos C, B espectivente. Después hbá que clcul los puntos de cote de ests tes nuevs ects tendeos los vétices, B C del nuevo tiángulo. Po últio hlleos ls coodends del bicento del nuevo tiángulo copobeos que son ls iss que ls del bicento del tiángulo BC. L ecución de l ect B es 7.

18 Clculos ho l ecución de l ect C: El vecto diecto de est ect es C (-,), po lo que el vecto nol es n (,). L ecución del hz de ects plels C es C. Iponiendo l condición de que pse po el punto C esult: 6 C, de donde C -6 l ect buscd es 6, que siplificndo qued:. Hllos ho l ect BC: Vecto diecto: BC (,); vecto nol (,-). Hz de ects plels BC: C e iponiendo que pse po C esult C, de donde C l ect buscd es. Rect plel B que ps po C: () 7 C, iponiendo que pse po C teneos: C, de donde C - l ect buscd es 7. Rect plel C que ps po B: (s) C, iponiendo que pse po B teneos: - C, de donde C 9 l ect buscd es 9. Rect plel BC que ps po : (t) C, iponiendo que pse po teneos: C, de donde C -9 l ect buscd es 9. P hll los vétices del nuevo tiángulo teneos que esolve tes sistes de ecuciones eligiendo ls ecuciones nteioes dedos en dos: Hllos el vétice : p ello usos ls ects s: sí pues: (-7,) 9 Hllos el vétice B : p ello usos ls ects t: 7 7 sí pues: B (7,) 9 Hllos el vétice C : p ello usos ls ects s t: sí pues: C (-,-) 9 Po últio, hllos el bicento del tiángulo B C : 7 7 G ', (, ) que, coo podeos ve, coincide con el bicento del tiángulo BC.

19 u v (, 8. Hll l ecución de l bisectiz inteio coespondiente l vétice del tiángulo del ejecicio. Rzon l espuest. Eplic continución qué cálculos seí necesio hce p hll l ecución de l cicunfeenci inscit ese tiángulo. Teneos que hll ls bisectices de los ángulos fodos po ls ects B C del ejecicio nteio elegi l inten. P sbe cuál de ls dos es bst con fijse en el dibujo. Necesitos l que teng pendiente negtiv. L bisectiz es el lug geoético de los puntos del plno que equidistn de dos ects, sí pues: 7 d ( P, s) d( P, t) 9 l quit los vloes bsolutos obtendeos ls dos bisectices: b : b : 7 ( 7 ) ( ) ( ) ( 7 ) ( ) 7 ( 7 ) ( ) ( ) ( 7 ) ( ) El vecto diecto de l pie bisectiz es ( 7, ) ( 8'7, '9). L pendiente de un ect se obtiene dividiendo l segund coodend del vecto diecto po l pie. Coo en este cso ls dos son negtivs esult que l pendiente es positiv, po lo que no es ést l bisectiz que estos buscndo, sino l segund cu ecución es 7 ( ) ( ) ( ) P finliz, epliceos beveente qué cálculos seín necesios p hll l ecución de l cicunfeenci inscit en el tiángulo BC: P hll l ecución de un cicunfeenci se necesitn ls coodends del cento el dio. El cento de l cicunfeenci inscit (o incento) es el punto en el que se cotn ls bisectices. Y heos clculdo un de ells, po lo que tendíos que epeti el poceso nteio en el vétice B o en el C (bst con hcelo en uno de ellos). Un vez que tengos dos bisectices, esolveos el siste de ecuciones que deteinn l solución nos d ls coodends del incento. P hll el dio teneos en cuent que el incento equidist de los tes ldos del tiángulo, luego bst con clcul l distnci del incento culquie de los tes ldos del tiángulo. Con ls coodends del incento el dio podeos escibi l ecución de l cicunfeenci inscit en el iso.