ALGEBRA CALCULO NUMERICO Y GEOMETRIA ANALITICA. x ii)

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1 ALGEBRA CALCULO NUMERICO Y GEOMETRIA ANALITICA TALLER. Idic l o ls expesioes equivletes: ) x + y x i) + y ii) x y x iii) + y b) + x x i) x ii) x iii)( x ) c) A. A + i) A + ii)( A ) + iii) A + d) i )9 ii)9 iii )3 6 e) f) i )5 ii)5 iii)5 h 3 h( h+ 3) 3 i)4 ii)4 iii) 4 h g) i )3 ii)4.3 iii)3 ( + ) 3 i) i)7 ii)7 iii) Ecuet u expesió equivlete: h+ ) m3 b) b b c d c) + m3 m d) e) c + b.. t 4 + 8b 3. Expes e fom equivlete scdo deomido comú: 3 + h h ) + h h+ h+

2 3 3 b) Most, justificdo cd opeció, ls siguietes igulddes: ) ( + )( ) + (( + ) ) ( + ) b) ( t + )(3t + ) + (6( t + ) + ) ( t + )(3t + 4) 3 c) 8 ( + ) + ( + ) ( + ) ( + ) d) (7 ) + (7 ) E l escl de Fheheit, el gu se cogel 3 gdos y hieve. Esos úmeos suge de petede que el epesete el cogelmieto del gu sld, y l tempetu oml del cuepo humo ( es poximdo, e elidd es 98,6). E l escl de Celsius, el coespode l tempetu de cogelmieto del gu y el coespode l tempetu e que hieve. ) Ecuete u fómul liel p coveti los gdos cetígdos e gdos Fheheit y viceves. Gfique. b) Cuátos gdos cetígdos epeset l tempetu oml del cuepo humo? c) A cuátos gdos e l escl de Celsius se cogel el gu sld? d) Qué tempetu tiee que tee u cuepo p que mbs escls mque l mism tempetu? 6. U psje de El Hombe que Clculb de Mlb Th CAPÍTULO III Sigul vetu cec de 35 cmellos que debí se eptidos ete tes ábes. Beemís Smi efectú u divisió que pecí imposible, cofomdo plemete los tes queelltes. L gci iesped que obtuvimos co l tscció. Hcí pocs hos que vijábmos si iteupció, cudo os ocuió u vetu dig de se efeid, e l cul mi compñeo Beemís puso e páctic, co g tleto, sus hbiliddes de eximio lgebist. Ecotmos, cec de u tigu posd medio bdod, tes hombes que discutí clodmete l ldo de u lote de cmellos. Fuiosos se gitb impopeios y deseb plgs: - No puede se! - Esto es u obo!

3 - No cepto! El iteligete Beemís ttó de ifomse de que se ttb. - Somos hemos dijo el más viejo- y ecibimos, como heeci, esos 35 cmellos. Segú l expes volutd de uesto pde, debo yo ecibi l mitd, mi hemo Hmed Nmi u tece pte, y Him, el más jove, u ove pte. No sbemos si embgo, como dividi de es me 35 cmellos, y cd divisió que uo popoe potest los otos dos, pues l mitd de 35 es 7 y medio. Cómo hll l tece pte y l ove pte de 35, si tmpoco so excts ls divisioes? - Es muy simple espodió el Hombe que clculb -. Me ecgé de hce co justici es divisió si me pemitís que jute los 35 cmellos de l heeci, este hemoso iml que hst quí os tjo e bue ho. Tté e ese mometo de itevei e l covesció: - No puedo coseti semejte locu! Cómo podímos d témio uesto vije si os quedámos si uesto cmello? - No te peocupes del esultdo bgdlí eplicó e voz bj Beemís-. Se muy bie lo que estoy hciedo. Dme tu cmello y veás, l fi, que coclusió quieo lleg. Fue tl l fe y l seguidd co que me hbló, que o dudé más y le etegué mi hemoso "jml ", que imeditmete jutó co los 35 cmellos que llí estb p se eptidos ete los tes heedeos. - Voy, migos míos dijo diigiédose los tes hemos- hce u divisió exct de los cmellos, que ho so 36. Y volviédose l más viejo de los hemos, sí le hbló: - Debís ecibi, migo mío, l mitd de 35, o se 7 y medio. Recibiás e cmbio l mitd de 36, o se, 8. Nd tiees que eclm, pues es bie clo que sles gdo co est divisió. Diigiédose l segudo heedeo cotiuó: - Tú, Hmed Nmi, debís ecibi u tecio de 35, o se, cmellos y pico. Vs ecibi u tecio de 36, o se. No podás potest, poque tmbié es evidete que gs e el cmbio. Y dijo, po fi, l más jove: - A ti, jove Him Nmi, que segú volutd de tu pde debís ecibi u ove pte de 35, o se, 3 cmellos y pte de oto, te dé u ove pte de 36, es deci, 4, y tu gci seá tmbié evidete, po lo cul sólo te est gdeceme el esultdo. Luego cotiuó diciedo: - Po est vetjos divisió que h fvoecido todos vosotos, tocá 8 cmellos l pimeo, l segudo y 4 l teceo, lo que d u esultdo ( ) de 34 cmellos. De los 36 cmellos sob, po lo tto, dos. Uo peteece, como sbe, mi migo el bgdlí y el oto me toc mí, po deecho, y po hbe esuelto stisfcció de todos, el difícil poblem de l heeci. - Sois iteligete, extjeo! exclmó el más viejo de los tes hemos-. Aceptmos vuesto epto e l seguidd de que fue

4 hecho co justici y equidd. El stuto beemís el Hombe que clculb - tomó luego posesió de uo de los más hemosos jmles del gupo y me dijo, etegádome po l ied el iml que me peteecí: - Podás ho, migo, cotiu tu vije e tu mso y seguo cmello. Tego ho yo, uo solmete p mí. Y cotiumos uest jod hci Bgdd. Puedes explic est solució?. Jml u de ls muchs deomicioes que los ábes d los cmellos.

5 ALGEBRA CALCULO NUMERICO Y GEOMETRIA ANALITICA TALLER ) E l ciudd A todos los hbittes dice l vedd, e l ciudd B todos miete. E los siguietes dos poblems sumiemos que cd uo de los implicdos vive e A o e B: ) Heá dice: Mtís siempe miete Mtís dice: Igcio y Heá vive e l mism ciudd E qué ciudd vive Igcio? b) Cl dice: A y Victoi vive e l mism ciudd Si se le pegut Victoi : Cl y A vive e l mism ciudd?, qué espode? ) E el siguiete diálogo - ) Escibi como poposicioes ls fimcioes que se despede de cd iteveció. Po ejemplo: Qued biet l smble. El tem es l quej de l humedd de uesto vecio del - ució Reyes que oficib como pesidete. Puede idetificse ls siguietes poposicioes: Reyes oficib como pesidete Reyes pltes que qued biet l smble, Reyes plte que el del se quej de l humedd. b) Volc l ifomció de ls pists e l cudícul y e l Tbl. c) Complet l tbl ( sólo cudo pued gumet que es l úic opció) y escibi l ifomció de cd egló como u oció. Objetivo: Idetific ls pejs itegtes del cosocio, e qué deptmeto vive y de qué se quej: Pists: - Qued biet l smble. El tem es l quej de l humedd de uesto vecio del - ució Reyes que oficib como pesidete. - Más gstos? Sólo se hbl de eglos?- dijo el del. - Y de los imles que?- lo iteumpió l del 4- Usted tiee u loo, el del 8 u peo, Olmos u gto y hst el pesidete tiee u cio que tude. - Yo quieo mi gto, peo usted o quiee die- gumetó Rit - Y está gitdo! Siempe gitos y uidos!- dijo No - U poblem es l limpiez- potestó el esposo de Olg. - L muge l hce su peo, e el sceso. Mi espos tiee zó l quejse de los bichos- eplicó Ace. - Eso o es cieto, mi peo o tiee d que ve co todo esto- epuso Ee. - Y o llme bicho mi loo!- se efdó Alb.

6 Cudícul: PROPIETARIO ESPOSA QUEJA Ace Ee Núñez Olmos PISO QUEJA Reyes ESPOSA Alb Els No Olg Rit Aimles Gstos Humedd Limpiez Ruidos Aiml es Gstos Humed d Limpiez Ruidos Alb Els No Olg Rit Tbl: PISO PROPIETARIO ESPOSA QUEJA 3) Recodemos que e ls poposicioes de l fom p q, llmmos tecedete p y cosecuete co q, p eftiz que si ps p, etoces ps q. Codició ecesi y codició suficiete Decimos etoces que p es u codició suficiete p q, y q es u codició ecesi p p. Dicho de oto modo, es suficiete que pse p p que pse q, y si ps p ecesimete ps q. Po ejemplo: Si u úmeo es divisible po etoces es divisible po 6, podemos expeslo como: es suficiete que u úmeo se divisible po p que se divisible po 6 o Es ecesio que u úmeo se divisible po 6 p que se divisible po

7 si y sólo si Hy ots mes de euci u codiciol, utilizdo ls plbs si o sólo si. Cudo decimos U úmeo es ciol sólo si es u úmeo el, estmos diciedo que p que u úmeo se ciol ecesimete debe se el, est codició o es suficiete, y que u úmeo puede se el y o ciol como po ejemplo, o es suficiete que u úmeo se el p se ciol. L poposició es equivlete deci que si u úmeo es ciol etoces es u úmeo el. Cudo decimos U úmeo es eteo si es poducto de eteos, estmos diciedo que es suficiete que u úmeo se poducto de eteos p se eteo, clmete, est codició de se poducto de eteos, o es ecesi, y que ½. es u poducto de u ciol y u eteo y tmbié d u eteo. L poposició es equivlete deci Si u úmeo es poducto de eteos etoces es u eteo. ) Ps l fom si.etoces y simboliz Ju iá Códob sólo si cosigue psje e vió Es ecesio se getio p se pesidete de l epúblic b) Expes y simboliz utilizdo l plb suficiete L tempetu bjá si comiez sopl el vieto del su Si pobó el exáme etoces cotestó bie el 4 % de sus peguts c) Expes y simboliz utilizdo l plb ecesio Si u tiágulo está iscipto e u semicículo etoces es ectágulo Pedo es getio sólo si es meico 4) Ddo el codiciol p q euci éste y los codicioles ecípoco, cotio y cotecípoco, e los siguietes csos: ) p: es divisible po 3 q: es divisible po 6 b) p: x 36 q: x -6 c) p: es solució de A+XB q: - es solució de B+X A 5) ) Simboliz defiiedo el uiveso y utilizdo cutificdoes y esquems coveietes Alguos hombes so stos No todo úmeo el es u úmeo ciol Todos los úmeos pimos so impes excepto el Si existe u úmeo tul meo que 4 etoces todo múltiplo de 6 es múltiplo de 5 b) Neg ls simbolizcioes teioes y escibils e leguje coiete. 6) Demost utilizdo el método diecto, cotecípoco o bsudo, idicdo e cd cso el tecedete y el cosecuete:

8 ) Si u úmeo es p, su cuddo es p. b) Que u úmeo se imp, es codició suficiete p que su cuddo se imp. c) Que u úmeo se múltiplo de 8 es codició ecesi p que se múltiplo de 4. d) Que u úmeo se múltiplo de 8 o es codició suficiete p que se múltiplo de 4. e) Si dos úmeos eles y b so íces de l ecució x + px + q, co p y q fijos, etoces ACERTIJOS E estos cetijos se podá e juego tu igeio peo tmbié tu zomieto lógico y tu cpcidd deductiv. Los dos pimeos poblems so del libo Mtemátic p divetise de Mti Gde. ) LAS TRES CORBATAS El seño Pdo, el seño Vede y el seño Nego estb lmozdo jutos. Uo de ellos llevb u cobt pd, oto vede y ot eg. Se h ddo cuet, dijo el hombe de l cobt vede, que uque uests cobts so de coloes igules uestos ombes, iguo de osotos llev l cobt que coespodeí su ombe? Po dios que tiees zó, exclmó el seño Pdo. De qué colo e l cobt de cd uo? ) LAS DOS TRIBUS U isl está hbitd po dos tibus. Los miembos de u tibu siempe dice l vedd, los miembos de l ot tibu miete siempe. U misioeo se ecotó co dos de estos tivos, uo lto (de u tibu) y uo bjo (de ot tibu). Ees de los que dice l vedd? pegutó l más lto. UPF, espodió el tivo lto. El misioeo ecooció l plb como el témio tivo que sigific sí o o, peo o podí ecod cuál de ls dos. El tivo bjo hblb espñol, sí que el misioeo le pegutó qué e lo que hbí dicho su compñeo. Dijo sí, eplicó el tivo bjo, peo es u g metioso. A qué tibu peteecí cd uo de los tivos? El siguiete poblem figu e el libo Mtemátic Estás hí? de Adiá Pez 3) PROBLEMA DE LOS SOMBREROS E u ccel (p hcelo u poco más emociote y dmático) hy 3 eclusos, digmos A, B y C. Se supoe que los 3 h teido bue coduct y el diecto de l istitució quiee pemilos co l libetd. P eso les dice lo siguiete: Como ve (y les muest) tego quí cico sombeos. Tes blcos y dos egos. Lo que voy hce es seleccio tes de ellos, si que ustedes pued ve cuáles elegí, y se los voy epti. Luego de que cd uo de ustedes teg su espectivo

9 sombeo, los voy poe los tes e l mism hbitció de me que cd uo pued ve el sombeo que tiee puestos los otos dos, peo o el popio. Después yo voy empez iteog uo po uo. Cd uo tedá l opotuidd de decime qué colo de sombeo tiee, peo si divi i iesg. Cd uo tiee que fudmet su opiió. Cudo uo o puede fudmet su opiió, tiee que ps. Si l filiz l od, iguo eó y l meos uo de los tes cotestó coectmete, etoces quedá e libetd. Está clo, demás, que iguo de ustedes puede hbl co los otos dos, i comuicse medite gestos i estblece igu esttegi. Se tt de cotest lelmete. Po ejemplo si yo eligie los sombeos egos y se los die A y C y empez pegutádole A qué sombeo tiee, A, l ve que B tiee u sombeo blco y C uo ego o podí decidi, y tedí que ps. Peo B l ve que tto A como C tiee sombeos egos, y que e totl hbí dos de ese colo, está seguo de que tiee sombeo de colo blco y podí cotest coectmete. U vez que ls egls estuvieo cls los sepó los tes. Los puso e 3 hbitcioes difeetes, y eligió ( como e pevisible ) los tes sombeos blcos. Luego los hizo ps u hbitció comú y empezó pegut: - Qué colo de sombeo tiee?- le pegutó A -No lo sé seño- dijo A, l ve co peocupció que tto B como C teí mbos sombeos blcos. - Etoces? - Etoces,- dijo A- pso. -Bie, y usted?- siguió pegutdo el diecto, diigiedo su pegut B. -Seño yo tmbié tego que ps. No puedo sbe qué colo de sombeo tego. -Aho sólo me qued po pegutle uo de ustedes: C. Qué colo de sombeo tiee? C se tomó tiempo p pes. Mió de uevo. Después ceó u istte los ojos. L impcieci cecí lededo de él. E qué estí pesdo C?. Los otos dos eclusos o podí pemece e silecio mucho más. Se jugb l libetd de los tes e l espuest de C. Peo C seguí pesdo, hst que e u mometo, cudo el clim y e iespible, dijo: Bie, seño. Yo sí puedo fim lgo: mi colo de sombeo es blco. Los otos dos eclusos o podí etede cómo hbí hecho, peo lo hbí dicho: ellos lo escucho. Aho, sólo quedb que lo pudie explic p pode gtiz l libetd de todos. Ambos coteí l espició espedo lo que u istte tes pecí imposible: que C pudie fudmet su espuest. Ambos sbí que lo que dijo e cieto, peo fltb fltb d meos que lo pudie explic. Podá hcelo ustedes?

10 ALGEBRA CALCULO NUMERICO Y GEOMETRIA ANALITICA TALLER 3 ) Los giegos estudio vios tipos de úmeos, clsificádolos especto su disposició gáfic o geométic. Los úmeos, 3, 6,, so úmeos tigules y suge del úmeo de putos que compoe u tiágulo ubicdo e l bse,, 3 y 4 putos espectivmete. 3 6 ) Detemi los 3 siguietes úmeos tigules b) Descibe u pocedimieto p ecot los 5 siguietes úmeos tigules. ) Existe tmbié los úmeos cuddos, que suge de clcul l ctidd de putos que hy e u cuddo, cuyo ldo cotiee u úmeo tul de putos: ) Detemi los póximos 3 úmeos cuddos. b) Descibe u pocedimieto p clcul el -ésimo úmeo cuddo. Sucesioes especiles: Sucesioes itmétics ) Ecuete los cuto pimeos témios de l sucesió que se obtiee de cuedo ls siguietes codicioes y de u defiició ecusiv: ) El pime témio es 3. b) El segudo témio se obtiee l sum l pime témio. c) El tece témio se obtiee l sum l segudo témio. d) El cuto témio se obtiee l sum l tece témio. ) Alice l siguiete sucesió:, 4, 7,, 3, 6...

11 Cd témio se puede obtee sumádole l teio u mismo úmeo. Qué úmeo es? De u defiició ecusiv Defiició: U pogesió itmétic es u sucesió e l cul cd témio se puede obtee del teio, sumdo u mismo úmeo, llmdo difeeci. Témio geel: E los csos y se h pedido que de u defiició ecusiv, y que como hemos dicho cd témio es igul l teio más u úmeo fijo. Vemos ho como hll u defiició explícit. Si llmmos,, 3..., los pimeos témios de u pogesió itmétic, siedo d l difeeci, el témio geel de l pogesió se puede obtee de cuedo co el siguiete álisis: + d 3 + d+ d + d 4 + d+ d+ d +3 d 5 + d +d +d + d +4 d +(-)d Po cosiguiete, el -ésimo témio de l pogesió itmétic es: Dode: es el témio -ésimo, es el pime témio y d es l difeeci. EJEMPLO : Hll el séptimo témio de l pogesió itmétic cuyos pimeos témios so 3, 6, 9. Vemos que : Sbemos que el pime témio es 3, p hll l difeeci, tommos dos témios cosecutivos culesquie y hcemos l difeeci d, como l pogesió es itmétic lcz co mi culquie difeeci y seguos que es seá l difeeci ete dos témios culesquie. Mimos etoces Decimos etoces que l difeeci es 3 y po cosiguiete: + ( ) d, etoces 3 + ( )3 El séptimo témio lo hllmos hciedo

12 Sucesioes geométics 3) Coside l siguiete sucesió:, 3, 9, 7, 8... ) Cuál es el pime témio? b) Cómo puede obtee el segudo témio pti del pimeo? c) Cómo puede obtee el tece témio pti del segudo? d) Cómo puede obtee el quito témio pti del cuto? e) Cuál seá el sexto témio? h) Ecuet u defiició ecusiv p l sucesió. 4) Coside l siguiete sucesió: 9, 48,, 3, b b3 b4 ) Clcule los cocietes,,, Qué obsev? b b b 3 b) Cómo se costuye el segudo témio de l sucesió pti del pimeo? y el teceo pti del segudo? c) Cuál seá el quito témio de l sucesió? d) De u defiició ecusiv p l sucesió Defiició: U pogesió geométic es u sucesió e l cul cd témio se puede obtee del teio, multiplicdolo po u mismo úmeo, llmdo zó. Témio geel: E los csos 3 y 4 se h pedido que de u defiició ecusiv, y que como hemos dicho cd témio es igul l teio multiplicdo po u costte. Vemos ho como hll u defiició explícit. Si llmmos,, 3..., los pimeos témios de u pogesió geométic, siedo l zó, el témio geel de l pogesió se puede obtee de cuedo co el siguiete álisis: como: Po cosiguiete, el -ésimo témio de l pogesió geométic puede expesse. - Dode: es el témio -ésimo, es el pime témio y es l zó.

13 EJEMPLO : Hll el quito témio de l sucesió geométic: -, - 6, -8, P hll el quito témio es ecesio cooce l zó. L zó es el cociete ete u témio y el témio pecedete, po lo tto e este cso podemos clcull tomdo: -6/- 3 o -8/-63, etc Como hemos hlldo que l zó es 3 y el pime témio es -, plicmos l fómul p hll el témio quito: 5. 5-, etoces Ejecicios: ) Aliz si ls siguietes sucesioes so geométics o itmétics. D u defiició explícit e todos los csos. ), 4, 9, 5,.. b), -,, -,. c),, 3, 4, 5,. d) 4, 5, 6, 7, 8,.. e) 8, /3, /8, /6,. f) g) h), 9/, 9, 7/, 8, 5/, i) 3, -3, 3, -.3, ) El tece témio de u sucesió itmétic es 85 y el decimoctoce es 3, hll el pime témio y l difeeci 3) Ecot tes úmeos f, g y h tles que, f, g, h, 5 se los 5 pimeos témios de u sucesió geométic. 4) Hll el pime témio y l difeeci de u sucesió itmétic sbiedo que l sum del tece témio y el octvo d 75 y l difeeci ete el oveo y el segudo es 49. 5) Se dese costuí u escle de 6 escloes cuys logitudes decece uifomemete de 5 cm e l bse 3 cm e l pte supeio. Ecuet u fómul p sbe cuáto mide el escló. 6) L ctidd de bcteis e cieto cultivo es iicilmete 5 y el cultivo se duplic todos los dís.

14 . Ecuet l ctidd de bcteis después de uo, dos y tes dís. b. D u fómul p hll l poblció bctei después de dís Sum de sucesioes itmétics y geométics. Hemos defiido co cácte de sucesioes especiles ls sucesioes itmétics y geométics. Pte de est ccteizció es que se cooce el esultdo de sum culquie úmeo fiito de témios de ests sucesioes. Sum itmétic: Recodemos l fómul de l sucesió itmétic: + ( ) d Llmemos S l esultdo de sum los pimeos témios de u sucesió itmétic, etoces : S es clo tmbié que : S y sumdo teemos : S ( + ) + ( + ) + ( + ) ( + ), dode 3 + ( + d) + ( + ( ) d) + + ( + d) + ( + ( 3) d) 3 + ( + 3 d) + ( + ( 4) d) Todos los pétesis de l sum esult se igules + Po lo tto podemos escibi: ( + ) S ( + ) S Etoces, coociedo el pime témio y l difeeci de u sucesió itmétic podemos cooce l sum de sus témios. Ejemplo: Sume los témios de l sucesió itmétic de pime témio 3 y difeeci -5 desde el eo hst el 5

15 5 5 5(3 ( 3)) [3 ( )( 5)] + + Sum geométic: Recodemos l fómul de l sucesió geométic: Llmemos uevmete S l esultdo de sum los pimeos témios de u sucesió geométic, teemos etoces : etoces S to lo Po S S teemos do es y S que tmbié clo es S, ) ( ) ( : t ) (... ) ( ) ( : t... : S ) ( Etoces, coociedo el pime témio y l zó de u sucesió geométic podemos cooce l sum de sus témios. Ejemplo: Sume los témios de l sucesió geométic de pime témio 3 y zó ½ desde el eo hst el 38: ) ( 3( ) 3.( Geeted by Foxit PDF Ceto Foxit Softwe

16 Not: obsev que e mbos csos fltí esolve l cuet, peo es sólo u cuet y o l sum de 38 o 5 témios. Obsev tmbié que ests expesioes so válids sólo si se sum los témios de u sucesió itmétic o geométic, pti del pimeo. Ejecicios: ) Clcul ls siguietes sums: ) c) 3 i 45 4i ( ) b) d) 33 j t h 3( j ) + 3t + ) Clcul l sum de los pimeos úmeos tules 3) Clcul l sum de los pimeos tules impes 4) Cd úmeo tigul puede cosidese como l sum de u sucesió itmétic de pime témio y difeeci, dode cd uo tiee u témio más e l sucesió. D u fómul p gee el -ésimo úmeo tigul. 5) U pil de tocos tiee 4 tocos e l bse, 3 e l d hile, e l tece, y sí siguiedo hst lleg l cp supeio e l que tiee tocos. Ecuet l ctidd totl de tocos e l pil. 6) Sbiedo que l sum de los pimeos témios de u sucesió itmétic es 5 y el pime témio es -. Clcul l difeeci de l sucesió. 7) Ecuet l ctidd de eteos ete 3 y 395 divisibles po 6. D el esultdo de su sum. 8) Pblo sumó todos los úmeos eteos positivos de 4 dígitos, peo se slteó uo. L sum de Pblo es igul 8499 veces el úmeo que se slteó Pblo. 9) U ciclist vz cuest bjo zó de 4 pies el pime segudo. E cd segudo sucesivo, vz 5 pies más que e el segudo teio. Si el depotist lleg l pte ifeio del ceo e segudos, ecuet l distci totl ecoid. ) Clcul ls siguietes sums: ) c) e) 3 i 45 i + j t m ( ) ( ) 4( ) 3 b) d) 3 t h d) ( ) h 5. j t.8 t

17 ) U pelot de pig pog se lz desde u ltu de 6 mts. E cd ebote se elev veticlmete ¼ de l ltu lczd e l cíd pevi.. A qué ltu se elevá e el séptimo ebote? b. Cuál es l distci totl que l pelot ecoió después de ese tiempo? ) U medigo le popuso u vo: dute este mes le dé usted u peso el pime dí, dos pesos el segudo dí, 3 el teceo y sí sucesivmete. A cmbio usted sólo me dá / cetvo el pime dí, / cetvo el segudo dí, 4/ cetvo el teceo, y sí sucesivmete. El vo ceptó etusismdo y coviieo e eliz el pgo fi de mes. Cuáto le debeá cd uo l oto l cbo de ese tiempo?

18 ALGEBRA CALCULO NUMERICO Y GEOMETRIA ANALITICA TALLER 4 Se tbjá e este tlle co el método de Iducció complet. Este método es u hemiet p pob popieddes de los úmeos tules, es impotte destc que queemos pob popieddes de TODOS los úmeos tules, o sólo de lguos. Hemos etoces u itoducció mostdo lgus cojetus ( coss que se supoe ciets poque se h pobdo p ALGUNOS úmeos, peo o se h demostdo p todos). Ls popieddes que puede demostse si depede de u cso pticul se llm TEOREMAS. Deto de los úmeos eteos, ligdo l cocepto de divisibilidd, ecodemos que los úmeos pimos so quellos que tiee exctmete cuto divisoes. Si es u úmeo pimo etoces los úicos divisoes de so:, -, y -. Si u úmeo o es pimo, se llm úmeo compuesto, y que puede escibise como poducto de po lo meos dos úmeos, de tl fom que iguo de ellos se o -. 3) L teoí de los úmeos pimos h ocupdo ls metes de gdes mtemáticos. El iteés y l impotci po cooce sobe los úmeos pimos se debe ete ots coss l teoem de descomposició úic e fctoes pimos de todo úmeo eteo distito de y -. Piee de Femt (6-665), u bogdo de pofesió, se iteesó po ls mtemátics como u hobby. Femt ceí que cd úmeo de l fom +, que ho se cooce como úmeo de Femt, e pimo p cd tul. E 73 Leohd Eule pobó que p 6, 3 + e u úmeo compuesto, efutdo l cojetu de Femt. U cojetu es lgo que se cee cieto peo uc se h pobdo i efutdo. E 77 Eule dio l fómul + 4, que d u úmeo pimo p todo tul meo o igul que 4, peo fll p 4. E 879 E.B.Escote dio l fómul , que d u úmeo pimo p todo tul meo o igul que 79, peo fll p 8. Se h pobdo que o existe u fómul que geee todos los úmeos pimos. E 74 Chisti Goldbch cojetuó e u ct que le escibió Eule que todo úmeo p myo o igul 6 puede se epesetdo como sum de dos úmeos pimos y que todo úmeo imp myo o igul 9 puede escibise como sum de 3 pimos. Esto es todví u cojetu. ) Ecib 3 úmeos pes y 3 impes como popuso Goldbch. Ot cojetu es que hy ifiitos pes de pimos de l fom p,p+, po ejemplo: 3 y 5, 5 y 7. b) Ecuete los póximos 3 pes de pimos 4) Demost po el método de iducció complet: ) + 6 es múltiplo de 5

19 b) Σ (j-) (+) (-) j t c) Σ (6+) (t+) (3t+) d) es divisible po 54 t e) Σ t+ - 5) Evlu si eliz l sum ( o deje de elciolo co el ejecicio ) 5 ) Σ (j-) j 46 b) Σ (6+) 5 6) Evlu si clcul los úmeos combitoios: ) C(4,) + C(4,) 3 + C(4,) 9 + C(4,3) 7 b) C(5,) + C(5,) + C(5,3) + C(5,4) + C(5,5) c) -C(5,) + C(5,) - C(5,) + C(5,3) - C(5,4) + C(5,5)

20 ALGEBRA CALCULO NUMERICO Y GEOMETRIA ANALITICA TALLER 5 ) Los poductos fmcéuticos debe especific ls dosis ecomedds p dultos y iños. Dos fómuls que pemite modific l dosificció e dultos y iños so: Regl de Cowlig y(/4)(t+) Regl de Fied y(/5)t Dode deot l dosis p dultos (e mg) y t, l edd de los iños e ños ) Si, gfic ls dos ecucioes lieles e el mismo plo coodedo p eddes ete y. P qué eddes ls dos fómuls especific l mism dosis? b) Supogmos que hy ot fómul p l modificció de l dosificció que es y(t-)(/8 +). Gfic est uev fómul co 8 5, p decidi pti de que edd l modificció tiee setido. ) U flech que se lz hci ib, vij tzdo u co pbólico ddo po l ecució y x +x +. L flech se lz desde u ltu veticl de,5mts y ecoe u distci hoizotl de 6 mts ) Ecuete l ecució estád de l pábol que descibe l tyectoi. b) Cuál es l máxim ltu lczd po l flech? c) E qué itevlo sube l flech? E qué itevlo bj? 3) Al pie de u piámide se disp u cohete que sigue u tyectoi dd po l ecució y -.6 x +.6 x. L piámide tiee u pediete de /5 y su bse mide 8 mts. ) Chocá el cohete cot l piámide? b) A qué distci de dode fue lzdo teizá el cohete? c) Gfique l piámide y l tyectoi del cohete. 4) Gcis l defiició geométic de l hipébol se h costuido sistems de vegció que cost de u ed de pes de diotsmisoes e posicioes fijs y u distci coocid ete sí. Po ejemplo dos estcioes LORAN (log-ge vigtio) A y B está situds e u líe ect de diecció este-oeste y A está 8 mills l este de B. U vió vuel e u lie ect ubicd 6 mills l ote de l ect dode se ubic A y B, y l señl que tsmite A lleg l vió micosegudos tes que l de B. Ls señles vij zó de, mills po micosegudos. ) Cosidedo que mill equivle 69,35 mts, ecuete l ubicció del vió e ilómetos. b) Escib l ecució estád que le pemitió locliz l vió y dé sus elemetos. c) Gfique

21 5) El deptmeto de metig de u empes ecomedó fbic u uevo poducto estimdo u ecució de demd de l siguiete me: x 6 3p Dode x es el úmeo de uiddes del poducto que compí l empes, los comecios mioists y p es el pecio po uidd. El deptmeto ficieo estimó u ecució del costo que gee, fbic el uevo poducto, como sigue: c 7+6x Lo que idic u costo fijo de 7 y umet de cuedo l vet, e fució de mteiles, tsldo, etc. L gci totl de l empes es GT xp ) Deduzc u ecució p l gci et e fució de p b) Hlle líticmete p que pecio del poducto l empes o g i piede c) P qué pecio del poducto l empes obtiee l myo gci? Gfique 6) El techo de u hbitció de mts de cho, tiee l fom de u semielipse de 9 mts de ltu e el ceto y 6 metos de ltu e ls pedes lteles. Detemie l ltu del techo mts de culquie ped. 7) Ecuet los putos de itesecció de ls gáfics de ls ecucioes que sigue. Gfic mbs e el mismo plo coodedo: + 4 x y x + 4y 36 ) b) x + y 6 x + y 6 c) x4 x y x y 4 d) y 4 y 3x 8) U vió se desplz lo lgo de l m positiv de l tyectoi hipebólic descipt po l ecució y x 8. Hll el puto de l tyectoi e l que el vió ps distci 7 de u ciudd ubicd e el puto (3,) del plo. 9) Idetific ls siguietes cóics, llevls l fom estd y gfic: ) ( x + ) y 3 b) 4 3 x y c) x + 6x y 7 d) x + 4x + 4y 4y 36

22 e) x y + 4 x f) x + 4 y + y g) 9x y y

23 ALGEBRA CALCULO NUMERICO Y GEOMETRIA ANALITICA TALLER 6 ) Ecot el poducto escl ete dos vectoes si sus logitudes so 6 y /3 y el águlo ete ellos es de 45º ) Si u es u vecto uitio, ecuete u v, e los siguietes csos: ) b) u u v w v w Tigulo equiláteo 3) Si u(,,-), qué vecto es otogol co él? Es úico? Gfique 4) Se u(-,-), v( 4,-3,5) y w(-4,-,) ) Ecuete u vecto de logitud e l mism diecció y setido de u b) Ecuete u vecto de logitud 3 e el setido opuesto de v, co su mism diecció c) Detemie u vecto uitio otogol co w d) Ecuete los águlos que fom ete ellos, u y v, u y w y v y w. 5) Ddos u(,,) y v(,3,), ) Gfique el tigulo que ellos detemi. b) Cómo puede expes vectoilmete el 3e ldo del tiágulo? c) Co qué expesió vectoil puede clcul su áe? d) Most que u + v u + v + uv 6) Ecuete el áe del plelogmo co vétices A(,,3), B(,3,6), C(3,8,6), D(3,7,3) 7) L siguiete idetidd es llmd Ley del Plelogmo. Demuéstel u+v + u-v u + v 8) L siguiete idetidd es llmd Idetidd de Polizció. Demuéstel u.v u+v - u-v 4 4 9) Ecuete u vecto otogol co los vectoes del ejecicio 3

24 ) Demueste que si u vecto u es otogol v y w, etoces es otogol v + t w, p culesquie y t escles. ) Demueste que p todo 3 v v, v R tiee módulo. v ) Demost que : u y v so otogoles 5d)) u + v u + v ( use el ejecicio 3)Supogmos que sbemos que tes vectoes o ulos culesquie cumple que: u. v u.w.esto implic que v w? Justific. 4)Si u, v 3, y u.v, ecuete u + v 5)Demueste que o hy vectoes u y v tles que u, v y u. v 3

25 Motivció Iicil. 3 E el cpítulo teio hemos tbjdo co vectoes e R y R. Nos itees ho pofudiz el estudio de l geometí e el plo y el espcio. Pesemos po u mometo e ls siguietes cuestioes : Hemos visto que puede modelizse ls fuezs co los vectoes, y socise ls popieddes y opecioes de us co ls de los otos. E ese setido podímos ho pegutos cómo podemos expes l diecció de l fuez (l ect l que peteece el vecto que l epeset)?. F Sbemos y que ddos dos vectoes o plelos u y v, detemi u plelogmo. E el cpítulo teio lizmos como podemos clcul el áe de dicho plelogmo. Suge l pegut: Podemos cooce ls ects ls que peteece los ldos del plelogmo?. Qué expesió podemos sigle dichs ects?. u v Si este plelogmo geedo po u y v, se hll e el espcio; existe u plo e el espcio que lo cotiee. Quisiémos cooce lgu expesió que lo epesete.

26 Elemetos de Geometí de los Espcios R y R 3 El estudio de l Mtemátic como cieci deductiv, como fue cocebid po Euclides e los 3 ños tes de Cisto, comiez co ocioes pimitivs si defii como puto, ect y plo y u cojuto de xioms o postuldos sobe estos elemetos, y los teoems y popieddes de distits ocioes y figus geométics se deduce pti de ellos.. Rects Comecemos epsdo lgus coss del plo y geelizemos lo posibles. Repesetemos e el plo l ect de ecució y x+. ect : y x+. Los putos P de coodeds (, ) y Q de coodeds (, 3), so putos de l ect. Veifíquelo. Repesetdo el segmeto diigido PQ, se obsev que culquie segmeto diigido que se fome co u p de putos R y S que esté e l ect se puede escibi como u múltiplo escl de PQ. RS λ.pq, p λ R Si R tiee coodeds (, 5) y S tiee coodeds (5/, 6), λ. Veifique!

27 A pti del segmeto diigido PQ, fijemos u puto, po ejemplo R (, 5). Vido el vlo de λ obteemos oto segmeto diigido cuyo extemo fil es tmbié u puto de l ect. P (, ) Q (, 3) R (, 5) Si RB λ. PQ y λ. 3, esult que B (-, -), que tmbié es u puto de l ect y x.+. λ es u vlo vible que pemite i obteiedo cd uo de los putos que fom l ect (pámeto) Not : E el siguiete sitio se ofece vios ejemplos de webs itectivs de Mtemátic, que puede se de utilidd p compede mejo lguos tems : Y e l pági se ccede u soft libe p tbj cuestioes geométics

28 Plos e el espcio. Algus visulizcioes. P detemi u plo e el espcio se ecesit cooce u puto P que peteezc l plo, y u p de vectoes que se plelos él. Estos vectoes gee l plo y so lielmete idepedietes (o puede obteese uo como múltiplo po u escl del oto). Se dice que fom u bse. Ejemplo : Se el plo que ps po P (,, ), y que es plelo u (, -, ) y v (, -, 4) Podemos expes el plo que detemi e fom pmétic e coodeds : ( x, y, z ) λ.(,,) + µ.(,,4) que equivle ls siguietes ecucioes pmétics del plo : x.λ y λ.µ z 4.µ Podemos, demás hll u vecto oml u y v : uxv i j ( 4, 8, 4) 4 que empleemos p obtee l ecució ctesi del plo: ( x, y, z ). ( x, y, z ).( 4, 8, 4)

29 Si opemos est últim expesió obteemos: o tmbié : 4 x 8y + 6 4z 4x 8y 4z 6 x + 4y + z 8 Hllemos u puto que peteezc l plo. Po ejemplo, quel e el que x 3, y. Luego : z 8, de dode z. Se tiee etoces, que u puto del plo es Q (3,, ) v (, -, 4) plo π Q (3,, ) u v (, -, ) Hllemos ho los pámetos λ y µ que coespode este puto x.λ 3 Ł 3 λ z 4.µ Ł µ 4 y λ.µ? 3 y. 4 Si se ví λ y µ hciedo que tome vloes e R se obtiee todos los putos del plo. Obsevemos l últim expesió ctesi del plo : x + 4y + z 8 Vemos que el vecto (, 4, ) es u vecto oml l plo. Gáficmete:

30 v (, -, 4) plo π (, 4, ) Q (3,, ) u v (, -, ) Otos ejemplos : E este ptdo se h epesetdo gáficmete lguos plos juto sus expesioes. L ecució x epeset l plo ZY U vecto oml l plo ZY es el (,, ). Y u puto que peteezc dicho plo es, po ejemplo, (,, ). Luego, u expesió p el plo qued como : (x, y, z ).(,, ) que equivle : x Ejecicio : Hll u ecució del plo que cotiee l puto P (,, ), sbiedo que u vecto oml él es el v (,, ). Repeset gáficmete. L ecució x y descibe l plo epesetdo. z tom culquie vlo el y ls vibles x e y se elcio po medio de l expesió y x. L ecució y 7 descibe u plo plelo l plo XZ

31 L ecució 3x + 4z descibe el plo epesetdo e el dibujo. Miets y puede tom culquie vlo, x y z está elciodos po l ecució de l ect : z 3 x Itesecció co los ejes ctesios U fom muy útil de epeset plos es medite l itesecció del mismo co los ejes ctesios. Estos putos fom u tiágulo que os d u ide de l ubicció eltiv del plo co especto los octtes e los que qued dividido el espcio. Qued clo que el tiágulo NO es el plo, fom pte de él. Así po ejemplo, ddo el plo π : x + 3y + z 6; hllemos ls iteseccioes co los ejes : Si x, y etoces z 6 Si y, z etoces x 3 Si x, z etoces y Luego los putos de itesecció so P (,, 6); Q (3,, ) y R (,, ) y su gáfic es : P (,, 6) Q (3,, ) R (,, ) Oto ejemplo : Hllemos ls iteseccioes y gfiquemos : x 3y + 4z - Si x, y etoces z - 3 Si y, z etoces x - 6

32 Si x, z etoces y 4 Luego los putos de itesecció so P (,, -3); Q (-6,, ) y R (, 4, ) y su gáfic es : Q (-6,, ) R (, 4, ) P (,, -3) Plos plelos Se los plos π : x y + z 6 π : x y + z 4 Obvimete so plos plelos pues sus vectoes omles so plelos. Veifique!. Hllemos l itesecció co los ejes coodedos. π : x y + z 6 Si x, y etoces z 3 Si y, z etoces x 3 Si x, z etoces y - 6 Luego los putos de itesecció so (,, 3); (3,, ) y (, -6, ) π : x y + z 4 Si x, y etoces z Si y, z etoces x Si x, z etoces y - 4 Luego los putos de itesecció so (,, ); (,, ) y (, -4, ) E el dibujo puede vese π de colo más oscuo que π

33 Iteseccioes Vemos lgus posibles situcioes l liz l itesecció ete plos. Tes plos puede itesecse e u puto Ddos tes plos, puede itesecse e u ect Ddos tes plos, puede se dos plelos y uo secte. Plos sectes dos dos. Lo s tes plos fo m u supeficie pismátic. Dos plos coic idetes y uo sec te Plos plelos y distitos dos dos Plos coicidetes

34 ALGEBRA CALCULO NUMERICO Y GEOMETRIA ANALITICA TALLER 7 ) Ecuete l ecució de l ect que ps po el puto (,4,6) y es pepedicul l plo : x-y+3z 7. De los putos dode l ect cot los plos coodedos. ) Dos cs de u cubo se ecuet e los plos 3 x y + z 5 y 3x y + z 7. Gfic y clcul el volume del cubo. 3) Los putos A(,,3);B(-,7,5) y C(,3,) so los vétices de u tigulo. Gfic. Hll ls ecucioes de ls ects que cotiee sus medis ( ls ects que ps po u vétice y el puto medio del ldo opuesto) 4) Los vectoes u (,,), v ( 3,,), w (, 4,7) detemi tes de ls ists de u plelepípedo. ) Gfic b) Hll ls ecucioes de los plos e que se ecuet sus cs c) Hll ecucioes p ls ects que so digoles del plelepípedo. x + y 4 z 8 5) Se l ect L dd po l ecució 4 8 ) Hll u puto Q sobe l ect que esté distci 4 del puto P(-,4,8). Es úico? Justifique su espuest. Gfique b) Hll u ecució de u ect L que pse po P y se pepedicul L. L ect L es úic? Justifique su espuest. Gfique. 6) Ecuete u ecució del plo que cost de los putos que so equidisttes de los putos (,5,5 ) y (-6,3, ) 7) Ecuete l ecució del plo que ps po l ect de itesecció de los plos: x-z e y+z3 y es pepedicul l plo x+y-z

35 ALGEBRA CALCULO NUMERICO Y GEOMETRIA ANALITICA TALLER 8 ) Repeset e el plo complejo: ) Re(z) < y - < Im(z)< b) z--i 9 y g (z) π/ c) A{z, z C, Re(z ) Im(z) }, B {z, z C, z > 4 } Hll A B y A B ) Aliz p que vloes de, (+i) es ) Rel positivo b) Rel egtivo c) Imgiio puo 3) Detemi e cd cso l totlidd de solucioes e C: ) ( z+) 3 z 3 b) (z-) 5 (3+i) c) (z+) 4 + d) (z 3 + i ) 3 4 e) z 4 f) z 6 4) ) Gfique los complejos que so solució de ls ecucioes e y f de ejecicio teio 4 b) Si hce cuets, dé ls solucioes de l ecució z, co u úmeo el positivo, y expésels e fució de. 4 c) Clcule ls solucioes de z b, co b u úmeo el egtivo. d) Clcule e cuáto difiee los gumetos de ls distits solucioes del ejecicio 3 f), qué elció hy ete ells? 5) Cómo gficí u petágoo egul utilizdo sólo lápiz, egl y tspotdo? Y u hexágoo egul?

36 ALGEBRA CALCULO NUMERICO Y GEOMETRIA ANALITICA TALLER 9 ) Detemi,b y c R de modo que: ) 9x 6x + 4 ( x )( x ) + bx( x ) + c( x ) x b) x + ( x + x + ) + ( bx + c)( x ) ) Detemi si existe poliomios de gdo positivo e R[x] tles que p ( x) p( x) 3 3) Ddos p ( x) x + mx + m y q( x) x + mx co coeficietes eles, hll m p que p(x) se divisible po q(x). 4) Se p ( x) y q( x) R[ x] y α R. Demost que p( x) q( ) p( ) q( x) es múltiplo de x-. 5) Demost que p ( x) x + x + es ieducible e R[x] si y sólo si 4 < 6) E los siguietes poblems dé u ejemplo de u poliomio co coeficietes eles que stisfg ls codicioes dds o explique poqué tl poliomio o puede existi. ) p(x) es de tece gdo co u itesecció co el eje x b) p(x) es de cuto gdo si itesecció co el eje x c) p(x) es de tece gdo si itesecció co el eje x d) p(x) es de cuto gdo si putos de etoo (Los putos de etoo so quellos putos del eje x, que so tocdos po l gáfic del poliomio, peo ést o cmbi de cudte, es deci que p(x) o tvies el eje e esos putos) 7) Use el teoem del esto p veific que x- divide l poliomio p(x)x 54-8) Idique ls íces co su multiplicidd de p(x) (x +3) (3x-4) (x+i) (x-8) 3 Si multiplic sus fctoes puede deci si el poliomio tiee coeficietes eles o complejos? 9) Cuáles so ls íces de p(x) x + 4? Cuáles so ls iteseccioes co el eje x?. ) Si y p(x) es u fució poliomil co coeficietes eles de gdo, co imp, cuál es el úmeo máximo que l gáfic de p(x) cot l eje x? Cuál es el úmeo míimo? )Ddo p(x) x + ix 5, veifique que -i es íz de p(x), demueste que +i o es u íz de p(x). Esto cotdice lgú teoem? Justifique. ) ) Hll el poliomio de coeficietes eles, de gdo míimo, que teg i como íz doble, que cumpl que p(3) p (3) y que p()

37 b) Hll el poliomio de coeficietes complejos, de gdo míimo, que teg i como íz tiple, 4 como íz simple y que l dividilo po x su esto se 3. 3) Fctoiz e [x] y e [x] los siguietes poliomios: i) x 4 + ; ii) x 3 +

38 ALGEBRA CALCULO NUMERICO Y GEOMETRIA ANALITICA TALLER ) Hll X, tl que: ) + 3 X b) 8. X ) Demost que si A x R etoces t t B A A cumple que B B + 3) Se A I A E E R x ) ( (3) / 3 3. Hll l mtiz A 4) Demost que si A x R tiee u fil ul etoces AB tmbié tiee u fil ul, p culquie B xt R 5)) Hll el vlo de p que A, siedo A 4 b) Co el vlo de hlldo, ecot l esclod y educid po fils equivlete co A 6) Demost que si B mx R tiee u colum ul etoces AB tmbié tiee u colum ul, p culquie A txm R 7) Hll X tl que: ) X b) X 8) Hll el vlo de p que A se ivetible, siedo A Geeted by Foxit PDF Ceto Foxit Softwe

39 9) Ls mtices ivess se puede us p popocio u pocedimieto simple y efectivo p codific y decodific mesjes. * A ls lets del lfbeto se le sig los úmeos del l 7. Al espcio e blco se le sig el úmeo 8, p pode sep plbs. * Culquie mtiz cuyos elemetos se eteos positivos y se ivetible se puede us como mtiz de codificció. * Si l mtiz de código es de x se costuye co el mesje u mtiz de fils y tts colums como se ecesis, escibiedo los úmeos po colum y elledo l fil co espcios e blco si fue ecesio. * Luego se multiplic izquied po l mtiz de código y el esultdo es el mesje codificdo. * P ecupe el mesje se multiplic l mtiz teio izquied po l ives de l mtiz de código. Ejemplo: Mesje codific: vuelvo mñ Secueci que le coespode: Mtiz de código: C 3 Costucció de l mtiz A(tedá dos fils): Multiplicdo CA, se obtiee: Quie ecibe est mtiz debe cooce l ives de l mtiz de código p ecupe el mesje. ) Hll l ives de C y ecupe l mtiz A. b) Utiliz l siguiete mtiz de código C, p decodific el siguiete 3 mesje: Sugeeci: o elice multipliccioes ete mtices, utilice ls popieddes de ls mtices elemetles, pestdo especil teció l fom de l mtiz C

40 ALGEBRA CALCULO NUMERICO Y GEOMETRIA ANALITICA TALLER ) Ddo el poliomio co coeficietes eles: p ( x) + x poliomio veific ls siguietes codicioes: y - so íces, p() y p(-) dx + cx + bx, hll los vloes de, b, c y d sbiedo que el ) Ecuete, b y c de me que l gáfic de l pábol co ecució: y + bx + cx pse po los putos (-, 3), (-, ) y (, 6). 3) Ecuete, b y c de me que l gáfic de l cicufeeci co ecució: x + y + x + by + c pse po los putos (6, ), (4, 6) y (-3, -). 4) U dietist e u hospitl v diseñ u diet especil utilizdo 3 limetos básicos. L diet es p icluí exctmete 34 uiddes de clcio, 8 uiddes de hieo y uiddes de vitmi A. El úmeo de uiddes po oz (equivle 3,34768 gmos) de cd igediete especil p cd u de ls comids se idic e l tbl. Cuáts ozs de cd limeto se tedá que us p cumpli los equeimietos de l diet? Comid A Comid B Comid C Clcio 3 Hieo Vitmi A 3 ) 5) Repit el poblem teio si l diet es p iclui exctmete 4 uiddes de clcio, 6 de hieo y 4 de vitmi A. 6) Hll los vloes de, si existe p que los siguietes sistems teg solució úic, ifiits o igu: x + y 3x + y + z y + 4z b) y x + z 4 x + z 7) Complet l piámide colocdo u úmeo de u o más cifs e cd csill, de modo tl que cd csill coteg l sum de ls csills ifeioes:

41 8) U te vij de l ciudd A l D, psdo po B y C. E B sube ¾ de los psjeos que subieo e A y bj 39. E C sube ¾ de los psjeos que vijo de B C y bj 39. Cudo el te lleg D hy l mism ctidd de psjeos que hbí e A. Cuátos so? 4x4 9) Sbiedo que A, B y C R y que Det(A), Det(B) ½ y Det(C) 3, clcul, idicdo ls popieddes utilizds: t ) Det ( A 6B C ) t b) Det ( A 4 ( BC) ( AB) ) ) Demost utilizdo Iducció complet que el detemite de l mtiz idetidd, de culquie ode es l mtiz idetidd. 4x4 ) Sbiedo que A R y que E (3) E ( ) E4 (3) A, clcul su detemite si hce el poducto de ls mtices elemetles )Demost utilizdo iducció complet que el detemite de u mtiz digol de culquie ode es el poducto de los elemetos de l digol.