n sen a n + sen + = sen 2 2n u sen u 2 sen sen( 2sen

Transcripción

1 Ho Polems Aálisis I Hll.... Solció: Como semos qe p q p-q-pq etoces se tiee qe: * Si Si Si Si - 5 Si - * q p q p q p igldd l sdo

2 Hll el volme del sólido geedo l gi lededo del ee OX, l egió del plo qe eslt de l itesecció del iteio y 7. Resolció: Ls dos cicfeecis se cot e 77, y p y 6 y±4 P,-4 y P,4. El volme pedido es l mitd del volme de l esfe de diio 7 es deci, 4 4 V V 7 π π 7, más del volme esltte de gi etoo l ee o γ, meos el de γ. V π 7 7 d π7 7 d π7 7 d 7π d 7π 7 π 8

3 V T 6 π 8.- Se l fció yf, defiid e todo R, de modo qe los icemetos coespodietes de e y so popocioles de zó e clqie pto. Se spoe qe demás y f es coociedo. Clcl l epesió geel de yf. Solció: Tegmos e cet qe f f h-f siedo el icemeto de l vile. Po lo tto: f f f p todo. De qí se dedce qe est fció es deivle e clqie pto y qe s deivd e seá: f lim f f Además si f p todo, l fció es de l fom f m flt, filmete, clcl m. P ello, oligmos qe y f : y f m es deci, my - f -. Po lo tto l fció es: f f -, o ie f-f Sep ls íces de l ecció sigiete: -7. Solció: Se f -7. f L ecció f tiee íces -4,. Pesto qe f-4 > y f - <, eslt qe f tiee úic íz e el itevlo -4,. Además f>, sí 8

4 qe dich íz está e el itevlo,. Po ot pte, f6> y f<, lo qe os pemite seg qe eiste úic íz e el itevlo,6. Filmete, f-4> y f-7< sí qe l íz se ecet e el itevlo -7, Aplic el teoem de los icemetos fiitos l fció f 9 e el itevlo [,4]. Aplic l fóml de Cchy ls fcioes f, g, e el itevlo [p 4,p 4]. E mos csos se pide hll el vlo o vloes del "pto itemedio". Solció: L fóml de los icemetos fiitos se escie e esete cso: f4- ff c4-. Es deci: 69-9 c,4. f Resolviedo l ecció f c 4. De dode eslt f c. Bsqemos el pto 9. 9 L fóml de Cchy es: π π f f 4 4 π π g g 4 4 f c g c de dode cotg c y cπ. o ie 9 oteemos c. π π 4 4 π π 4 4 c cot gc c 8.- U depósito está iicilmete lleo co litos de g sld cy cocetció o sliidd es de dos gmos de sl po lito. P edci l sliidd se hce et g p e el depósito zó de 5 litos po mito, l tiempo qe po oificio el depósito evc el mismo cdl. Detemi l ctidd de sl coteid e el depósito e fció del tiempo y clcl el tiempo qe dee tsci p qe qede sólo gmos de sl. Deotemos po St l fció pedid, es deci, l ctidd de sl e gmos qe cotiee el depósito e fció del tiempo te mitos. L cocetció de sl e el 48

5 istte t vle St - St glito. E el istte t t l ctidd de sl seá St t y po cosigiete los gmos de sl qe h slido del depósito e el itevlo de tiempo [t,t t] so St-St t. Peo po ot pte semos qe dte ese itevlo de tiempo el depósito h evcdo 5 t litos de g sld. Si el icemeto t es my peqeño, l cocetció del g del depósito pede cosidese costte e el tscso del itevlo de tiempo meicodo. El podcto del g qe h slido 5 t po dich cocetció - St os dá tmié l ctid de sl despecid e dicho itevlo de tiempo. Pltemos sí l ecció: esto es St-St t 5 - St t S t t S t t S t Tomdo límites cdo t otedemos spest deivle l fció S es deci de modo qe lego S t -St S t S t d dt log S t - t k Ste dode k es costte detemi. P t semos qe S lego e k y l fció scd es, po fi: St e -t. Llmemos T l istte e el cl l sl qe qed e el depósito so gmos. Sstityedo e l igldd teio, seá: e -T de dode se otiee Tlog y como log, eslt poimdmete T46m 7 h 4 m. 58

6 84.- Demost qe todos los tiáglos co l mism se y el mismo áglo opesto, el isósceles tiee áe máim. Po qe ete todos los tiáglos iscitos e cicfeeci dd, el eqiláteo tiee áe máim. Solció: Se y A fios. El áe del tiáglo es: A Sh. Aho ie: hĉ Aˆ Bˆ Cˆ π c Aˆ Bˆ Cˆ sistem de eccioes qe os pemite dedci qe ˆ h Bˆ C Cˆ π Aˆ Cˆ. Aˆ Aˆ Sstityedo e l epesió del áe eslt S C π A C A y scmos el máimo de S e fció de Ĉ : A S [ C A C C π A C ] π A C A π π A L ecció S es π-a-c, es deci, π-a-c de dode C. 68

7 Pesto qe S π A C, es cillo compo qe este vlo de C A coespode máimo de S. Peo etoces, Bπ-A-C qe, efectivmete, el tiáglo qe scámos es tiáglo isósceles. π A, es deci, BC sí Segd pte: E el pime lg, hemos de hce ot qe si cosidemos los tiáglos iscitos e cicfeeci co ldo fio, se veific qe el áglo opesto dicho ldo tedá el mismo vlo p todos ellos, y qe seá áglo iscito cicfeeci cdo co fio. Dedcimos etoces de l pime pte qe de todos los tiáglos iscitos e mism cicfeeci qe teg ldo fio, el de myo áe es el isósceles. Etoces, eslt evidete qe: Ddo tiáglo clqie iscito e cicfeeci fi o ie este tiáglo es isósceles o ie pedo ecot isósceles tmié iscito e dich cicfeeci, qe teg áe myo qe el tiáglo iicil. Bst p ello co tom como fio o de los ldos del pime tiáglo y plic el páfo teio. Nesto polem se edce pes demost qe ete todos los tiáglos isósceles e cicfeeci fi, el de áe máim es el eqiláteo. Clclemos el áe de este tiáglo isósceles e fció de. A B C Sh. h. P clcl, tedemos e cet qe el tiáglo ABP es ectáglo e B, sí qe es l lt eltiv l hipotes e dicho tiáglo, cmpliédose qe: 78

8 88 4 es deci. Se otiee filmete: S h Clclemos el vlo de qe hce máim est epesió: S El vlo l S y demás hce egtiv S, sí qe coespode máimo. Peo si, se otiee qe, es deci, el tiáglo ABC es eqiláteo. E efecto:. 4 9 AC AB