Fig (a) Esquemático del circuito RLC; (b) Modelo entrada-salida del circuito RLC

Transcripción

1 Sistems de Cotrol II Igeierí Electróic 7 odeldo e vribles de estdo de sistem RLC Co el objeto de socir ests defiicioes l modelció de sistem físico, se tom como ejemplo circito elemetl RLC; represetdo e l Fig -5 Fig -5 () Esqemático del circito RLC; (b) odelo etrd-slid del circito RLC Se tom v e (t) como señl de etrd l sistem l tesió v r (t) sobre el resistor R como slid Por relcioes físics es coocido qe l evolció de ls distits vribles físics e este circito, tles como tesioes corrietes, qedrá defiid pr todo t t si se cooce pr istte de tiempo tt, l corriete qe fle e el idctor L, l tesió qe eist sobre el cpcitor C l tesió de etrd desde t e delte E bse l defiició qe se h ddo de vribles de estdo es posible elegir l corriete e el circito l tesió sobre el cpcitor como vribles de estdo, qe ésts defie el estdo diámico del circito L evolció del estdo diámico pr t t se podrá determir si se cooce pr tt ls vribles de estdo i(t ), v c (t ) demás l tesió de etrd v e (t) pr t t Pr lizr l evolció del circito se pede plter ls eccioes difereciles del mismo como, di R i vc ve dt L L L (-3) dvc i dt C Ls Ec (-3) se pede epresr e ecció mtricil-vectoril di dv dt c dt R L C L i L [ ve] v c (-33) Dr Ig J A Pchet

2 Sistems de Cotrol II Igeierí Electróic Defiiedo i, v c como vribles de estdo como vector de estdo, l Ec (-33) se covierte e co A A (t) b (t) - R/L /C -/L /L, b, (-34) (-35) siedo A l mtriz del sistem b el vector de etrd L vrible de slid v R pede prtir del vector de estdo medite co el vector de slid c defiido como c (t) c [ R ] (-36) (-37) De est form el circito RLC de l Fig -5 qed modeldo e el espcio de estdo por (t) A(t) b (t) c (t) (t) (-38) co (t) [i vc ], (t) ve(t), (t) vr (t) siedo A, b, c defiids por ls eccioes (-35) (-37) 8 odelció de sistem moovrible de orde El sistem moovrible represetdo e l Fig -6 Fig 7 de orde se pede represetr como () (-) - (t) (-39) Fig -6 Fig 7 Sistem moovrible de orde Coociedo los prámetros i del sistem, los vlores de l vrible de slid ss derivds (-) hst l de orde - e tt, ( to ), (t o),, (to), l etrd (t) pr t t, pede determirse el comportmieto ftro de l slid del sistem (t) pr t t Pr hcer l modelció e el espcio de estdo se pede reliz l sigiete sigció: Dr Ig J A Pchet 3

3 Sistems de Cotrol II Igeierí Electróic Dr Ig J A Pchet 4 (-4) De est form l ecció diferecil de orde (-39), se pede trsformr e sistem de eccioes difereciles de primer orde (-4) El sistem (-4) se pede epresr mtricilmete como (-4) L Ec (-4) se pede escribir e form compct (-43) De igl modo l slid del sistem qed epresd (-44) (-45) El sistem moovrible de orde represetdo por l ecció diferecil Ec (-39) qed modeldo e el espcio de estdo por ls sigietes eccioes difereciles vectorilesmtriciles de primer orde (-) (t) [ ] - - b(t) A(t) (t) ] [ (t) c (t)

4 Sistems de Cotrol II Igeierí Electróic (t) A (t) b (t) (t) c (t) (-46) siedo l etrd l sistem, l slid del sistem, el vector de estdo, A l mtriz del sistem, b el vector de etrd c el vector de slid 8 Represetció de sistems mltivribles Cdo se reqiere cosiderr vris etrds vris slids de sistem simltáemete, se recrre l represetció mostrd e l Fig -8, e l cl eiste iterccioes múltiples de ls r etrds co ls m slids Si se dese modelr co eccioes difereciles, codce sistem de m r eccioes difereciles, de distito orde qe cotempl ls relcioes diámics de tods ls etrds co ls distits slids L de mor orde defie el orde del sistem mltivrible Además, el orde del sistem está ddo por el úmero míimo de vribles de estdo ecesris pr describir l evolció del sistem Fig -8 Sistem ltivrible El sistem de ls m r eccioes difereciles trsformds l domiio de l frececi e vrible complej s permite modelr l sistem mltivrible trvés de l mtriz de trsfereci G(s), ( s) G( s) ( s) (-47) dode (s) es el vector de slid de dimesió m, (s) es el vector de etrd de dimesió r, G(s) es l mtriz de trsfereci de dimesió m r Cd elemeto de l mtriz G(s) represet l Fció de rsfereci G ij (s) de l etrd j (s) respecto de l slid i (s) De l mism form qe pr el cso moovrible, qe co mor grdo de complejidd, reslt posible trvés de decd elecció de ls vribles de estdo, trsformr tods ls eccioes difereciles e cojtos de eccioes difereciles de primer orde, compctr l otció pr obteer ecció diferecil mtricilvectoril de primer orde de l mism form qe ls Ecs (-) (-), ( t) A ( t) B ( t) ( t) C ( t) D ( t) (-48) Dr Ig J A Pchet 5

5 Sistems de Cotrol II Igeierí Electróic dode A es l mtriz del sistem, B es l mtriz de etrd, C es l mtriz de slid D es l mtriz de trsfereci direct Pr determir l correct dimesió de ls distits mtrices compoetes de l Ec (-48), reslt útil represetr los vectores mtrices de l Ec (-48) por rectáglos cs logitdes de ldos represet l dimesió cosiderd Ls Ec (-48) pede represetrse esqemáticmete pr sistem mltivrible co e etrds s slids como e l Fig -9 Fig -9 Represetció esqemátic de ls eccioes de estdo Se observ qe pr sistem mltivrible l mtriz de etrd B tom l dimesió r, l mtriz de slid C l dimesió m, l mtriz de trsfereci direct D l dimesió m r l mtriz de etrd A, l dimesió, igl qe pr el cso moovrible 8 Sistem de orde co derivds e l fció ecitció El sistem moovrible represetdo e l Fig -6 Fig 7 de orde se pede represetr como () (-) - b ( ) ( ) b L b b (-49) Ahor o se pede plicr el método mostrdo, debido qe ls eccioes difereciles de (-4) tedrí e l últim ecció térmio poliómico e, hcer o d resltdo úico U solció serí resolver de tl mer el térmio poliómico de qe se le ss derivds, sólo qede e l ecció de Así, form serí elegir ls vribles de estdo restdo frcció de ss derivds, como Dr Ig J A Pchet 6

6 Sistems de Cotrol II Igeierí Electróic Dr Ig J A Pchet 7 (-5) Co ést selecció de ls vribles de estdo l eisteci icidd de l solció de ls eccioes de estdo qed grtizd Aqe, o es úic ést crcterístic qe pede hber otr selecció qe tmbié grtice l eisteci icidd Se obtiee, etoces (-5) El sistem Ec (-5) se pede epresr mtricilmete como (-5) De igl modo l slid del sistem qed epresd como (-53) dode se tiee represetció mtricil álog l Ec (-46), co los térmios derivtivos de fectdo l mtriz B l D 83 Ejemplo (-54) (-55) Iglmete pr, ( ) ( ) (-) 3 L (t) L - -, ] [

7 Sistems de Cotrol II Igeierí Electróic de qí qe tmbié qe (-56) (-57) (-58) Por lo tto, itrodciedo l derivd segd de e l (-58) co, se l l derivd de, reslt el sistem de dode se obtiee ( ) ( ) (-59) (-6) A, b,c [ ], D [ ] Co tlb, l operció ivers es [N,D]sstf([ ;- -], [;],[,],[]) N D qe verific l epresió (-54) 84 Ejercicios sgeridos Cpitlo 3 de Ogt, ejercicios A33, A34, B35, B36, B35 9 Smrio 7 odeldo e vribles de estdo de sistem RLC 8 odelció de sistem moovrible de orde 3 83 Ejercicios sgeridos 9 Smrio 7 Bibliogrfí 8 Bibliogrfí [] Ogt, oder Cotrol Egieerig 997 Pretice Hll Dr Ig J A Pchet 8