( ) ( ) ( ) El producto escalar de dos vectores puede ser negativo. La información que se obtiene del signo del producto escalar es:

Transcripción

1 . Hll el pdct escl de ls ectes ( ) y ( ). Slción. P est definids en l se cnónic ( ) ( ) ( ) El pdct escl de ds ectes pede se negti. L infmción qe se tiene del sign del pdct escl es > 0 El ángl ente ls ectes es gd < 0 El ángl ente ls ectes es ts. Hll si ( ) y el ángl qe fmn ls ectes y es de 0º. Slción. Teniend en cent el tip de dts qe ns dn el pdct escl l hcems p l definición. cs Siend el ángl qe fmn ls ectes. El módl de ( ) 0 cs 0 cs 0º. Hll el pdct escl y el ángl qe fmn ls ectes ( ) y w ( ) Slción. w 0 Si w 0 w w 0 Si sn pependicles el ángl qe fmn es de 90º ( ) ( ) ( ) 0. Clcl ls ángls y l lngitd de ls lds del tiángl ABC siend qe ls cdends de ss étices sn ls pnts A(00) B() y C(). Slción. P clcl el ángl cespndiente n étice es pecis tm ls ectes cn igen en dich étice. AB AB )  80º A AC CA Vectes necesis AB ( 0 0) ( ) BA ( ) AC c 0 0 CA BC c ( ) ( ) BA ( ) Ángls cs  AB AC AB AC ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 0  ccs º. cs Bˆ BA BC BA BC ( ) (. ) ( ) (. ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Bˆ 0º Teniend en cent el l de l sm de ls ángls de en n tiángl ) Ĉ 80º A Bˆ 0º º 90º ( ) ( ) º

2 Lds Ld ( AB) AB ( ) 0 Ld Ld ( AC) AC ( ) 0 ( BC) BC (. ) ( ) 0. Hll n pnt B de l pependicl OX qe ps p A( ) de tl fm qe ls ectes de psición de ms pnts fmen ente sí n ángl de 0º. Slción. Se pide detemin ls cdends de n pnt y p ell ns dn ds dts El pnt B p petenece l pependicl OX qe ps p A (x ) tendá l fm ( y). El ángl () qe fmn ls ectes de psición de ls pnts es de 0º p plicción l definición de pdct escl de ds ectes cs OA ( ) Siend OB ( y) Aplicnd l expesión nlític del pdct escl. cs cs 0 Mltiplicnd en cz p den y y ( y ) 8 y y y Elend l cdd p elimin l íz y dennd el esltd se tiene n ección de segnd gd. es de 0º. Slción. cs ( y ) ( 8 y) ( y ) y y y 0 y y 0 y 0 Existen ds psiles pnts B qe cmplen ls cndicines ppests B ( 0 ) ó B ( 0 ). Cmpe qe el ángl fmd p ls ectes ( ) y w ( ) w ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) w ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) cs cs 0º

3 7. Ls cmpnentes de sn ( ). Siend qe fm n ángl de 0º cn y tienen igl módl clcl ls cmpnentes de. Slción. Se pide clcl ls cmpnentes de n ect ( ) qe cmpl ds cndicines. ( ) ( ) ( ). cs 0 cs 0 Cd n de ls cndicines gene n ección p l qe se pede plnte n sistem. S El sistem se esele p sstitción (l más sencill es despej de l ª ección y sstiti en l pime). Cncid se clcl. ( ) 8 0 ( ) ( ) 0 ( 0) 8. Clcl s de md qe ( s ) y ( s) sen pependicles. Slción. Si el pdct escl de ds ectes n nls es ce ls ectes sn pependicles. 0 s s ( ) s s 0 ( ) ( ) 0 s 0 s ± 9. Hll ls cmpnentes de n ect niti y pependicl l segment AB siend A( ) y B( ). Slción. El ect niti de AB se tiene diidiend ls cmpnentes del ect p s módl y se denmin ect nmlizd ( AB n ). ABn ± AB AB ( ) AB n AB AB ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ± 0 ± 0 ± 0 ± ABn Uniti de igl diección y sentid

4 0 0 AB n Uniti de igl diección y sentid pest El ect pependicl l niti (tnml) y en genel el ect pependicl n cncid se tiene intecmind ls cmpnentes de psición y n de sign ( clqie). ABn ó ABn Dds ls ectes ( ) y ( ) detemin el ángl qe fm l isectiz de ests ectes cn el eje OX. Slción. El ángl qe fm l isectiz ls ds ectes cn el eje OX () es l medi itmétic del ángl qe fm cd ect cn el eje OX. El ángl qe fm n ect cn el eje OX es el ángl qe fm cn s ect i 0 ). epesentti ( ( ) Si denminms y ls ángls qe fm cd ect cn OX i ( ) ( 0) 0 cs ccs 7'9º 7º8' i ( ) ( 0) i ( ) ( 0) 0 cs ccs 8'º 8º' i ( ) ( 0) º8' 8º' 7º'. Desems tz l tngente desde n pnt A n cicnfeenci. Siend qe ls cdends de A sn ( ) y qe l cicnfeenci está centd en el igen de dends y es de di nidd clcl ls cdends del pnt de tngenci P(x y). Slción. El pnt scd P(x y) fm ds ectes el OP y el AP. Del pime cncems s módl p se el di de l cicnfeenci y s psición elti espect l segnd sn pependicles p se di ( OP ) y tngente ( AP ). Cd n de ests cndicines pemite plnte n sistem de ds eccines cn ds incógnits. OP ( x y) OP x y x y x OP AP OP AP 0 AP p x y x y OP AP ( x y) ( x y ) 0 ( x ) y( y ) 0 x x y y 0 x x y y x y x y 0 x y 0 El sistem se esele p sstitción de l segnd ección x y Se sstitye en l ª ( ( ) ) ( )

5 ( x ) x x x x 9x x x x 0 Resliend l ección de segnd gd x y P x y P Se tienen ds psiles pnts tl y cm mest l fig.. Dds ls ectes () y () hll ) L pyección de se. ) El ect pyección de se. Slción.. P definición py py ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). Si denminms ω l ect pyección de se ω py N Siend N el ect nmlizd de. ( ) N ( ) Cncid N y l pyección de se se clcl ω. ω py N. Hll el áe de n tiángl de étices A( ) B( ) y C(7 ). El áe de clqie tiángl A se lt se pede tene cm plicción del pdct escl. Si en el tiángl de l fig se tm cm se l lngitd del segment AC l lt seá el l slt de l pyección del segment AB se l diección tgnl (pependicl) l segment AC. AC c Áe ABC AC py AC ORT AB ( 7 ) ( ) AC ( ) Sí AC ( ) ACORT ( ) AB ( ) ( ) AB ACORT ( ) ( ) 7 ( ) py AB AC ORT ACORT

6 Áe ABC AC py ACORT AB 7 7. Si { } es n se tnml y ; hll p qe el pdct escl de. Slción. Ls ectes qe fmn n se tnml sn pependicles ente si y de módl nidd p l tnt ls pdcts escles p ells misms sn l nidd y ls pdcts czds ente ells sn nls. cs 0 cs ( ) ( ) P qe ls ectes y fmn n se tnml Hll ls cdends de ect ( ) espect de dich se. Slción. Un se tnml est fmd p ectes pependicles de módl nidd. 9 Módls 9 Pependicles 0 0 Ls ectes fmn n se tnml ó cnónic. P expes en fnción de y hy qe sc ds númes eles ( β) tles qe β ( ) β Descmpniend l igldd p cmpnentes se lleg n sistem de ds eccines cn ds incógnits. ª β β 0 ( slción) ª β β β P l tnt

7 . P qe si ( cs sin ) y ( sin cs ) sn pependicles y nitis. Slción. Un se tnml est fmd p ectes pependicles de módl nidd. Módls ( cs ) ( sin ) cs sin Pependicles 0 ( sin ) ( cs ) sin cs ( cs sin ) ( sin cs ) 0 cs sin ( sin ) cs 0 Ls ectes fmn n se tnml ó cnónic. 7. P qe ls pnts A(7)B()C(-)D() petenecen n cicnfeenci de cent O(). Slción. Si ls pnts A B C y D petenecen l cicnfeenci de cent O seá p qe tds ells están igl distnci de O y p l tnt ls módls de ls segments qe deteminn ls pnts cn el pnt O seán igles. OA OB OC c OD d OA OB OC OD ( 7 ) ( 0 ) OA 0 ( ) ( ) OB ( ) ( ) OC ( ) ( ) ( 0) OD 0 Tds ls pnts están cinc niddes de O p l tnt petenecen l cicnfeenci de cent O y di 8. Dds ls pnts A( ) B( ) C( ) clcl el ángl qe fmn AB y AC. Slción. El ángl ente ectes se clcl cm plicción del pdct escl. Si denminms l ángl qe fmn AB cn AC Sstityend ( ) ( cs ) ( ) ( ) 0 AB AC cs AB AC AB AC c 0 ( ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) 0'99 cs ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 9. Hll el l de p qe ls ectes z ( ) y w ( ) ( 0'99) 7'8º 7º' fmen n ángl de º. Slción. Aplicnd l definición de ángl ente ds ectes se despej el pámet. Si denminms l ángl qe fmn ls ectes z y w 7

8 cs º ( ) ( ) ( ) ( ) cs z w z w ( ) 8 ( ) Mltiplicnd en cz se tiene n ección icinl qe se esele elend l cdd ls ds miems. ( 8) 8 8 ( ) ( ) ( 8) Resliend l ección de segnd gd se tienen ls psiles les del pámet. 9 ± 9 7 ( 8) 9 ± Hll n ect niti en l mism diección y sentid qe el ect z i j. Hll t igl pe en sentid pest. Slción. Si denminms l ect niti en l mism diección y sentid ( ) ( ) z z ( ) El ect de sentid pest ( ω ) seá el ect pest (el mism pe de sign cmid) ω. Hll n ect de módl 0 en l diección de i j. Slción. Si denminms l ect niti en l mism diección qe y de módl 0 0 N Dnde N es el ect nmlizd (de módl l nidd). ( ) ( ) ( 8 ) N. Dds ls ectes ( ) y ( m) ) Angl fmd ente y se de 0º ) se pependicl Slción.. Si llmms l ángl qe fmn ls ectes cs cs 0º Mltiplicnd en cz p den. Clcl el l de m p qe ( ) ( m) m ( ) m m 8 m m 8

9 Elend l cdd p qit l íz y dennd se tiene n ección de º gd. m 8 m ( m) 8 8m m ( 9) ± ( 9) ( m ) 9m m m m 9m ± 0. se pependicl Slción. Si ds ectes sn pependicles s pdct escl es ce. m 8 ± ( ) ( m) ( m) ( m) ( ) ( m ) ( ( ) m) ( 7 m) 9m 0 0 m ( m) ( 7 m) 0 7 ( m) ( m) 0 8 9m m 0 ( 9) ± ( 9) ( ) 0 9 ± ( ). Hll el pdct escl de ls ectes y siend qe y fmn 0º y qe y. Slción. ( ) ( ) Teniend en cent qe el pdct escl es cnmtti ( ) pecines nméics. Ls pdcts escles y se eselen p l definición. cs 0º cs 0º cs 0º cs 0º Sstityend p ss les cs 0º 0. Clcl y p qe ls ectes ( ) y ( ) Slción. dennd. ( pnt) Si ± ± Si ls ectes fmn 0º deen cmpli cs 0º ( ) ( ) ( ) y efectnd ls fmen 0º y demás 9

10 Si esliend 8 0 elend l cdd ( 8 ) 0 0 dennd 0 ( ) ± ± 70 x P tnt ds psiles slcines sn ( 70 ) ( ) ó 70 Si 8 0 esliend ( ) ( ) elend l cdd ( 8 ) 0 x 0 dennd 0 ( ) ± ( ) ( ) P tnt ls ts ds psiles slcines sn 70 ó 70. Dds ls ectes ( ) ± 70 ( ) ( ) ( ) ( ) ( x). Clcl x p qe dichs ectes fmen º. Slción. P plicción del pdct escl de ectes. Si denminms l ángl qe fmn ls ectes cs ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) x cs ( ) x Mltiplicnd en cz dennd y simplificnd x x x Elend l cdd p qit l íz x ( x) x x x x 0 x 0 x 0

11 . Dds ls ectes ( ) ( ) c ( ) Clcl ) El ángl qe fm y ) Ls cdends de n ect pependicl c de mdl c) L pyección del ect se c d) El ect pyección de se Slción.. P plicción del pdct escl de ectes. Si denminms l ángl qe fmn ls ectes. cs ( ) ( ) ( ( cs ( ) ( ) ( ) ccs 0º. Si denminms l ect pependicl c de nódl cot c ( ) ( ) c ( ) cot ( ) py c c c ( ) ( ) c. ( ) ( ) ( ) d. py py n siend n Vect nmlizd (de módl nidd). ( ) ( ) py ( ) ( ) ( ) n Sstityend en l expesión py ( ) 7. Se tienen ls ectes ( 0) ( ). Clcl el ángl qe fmn ls ectes y. Slción. Si denminms l ángl qe fmn ls ectes ( ) ( ) cs ( ) ( ) ( ) ( 0) ( ) ( ) ( 0 ) ( ) cs ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 ( ) ccs 7º 7

12 8. Clcl ls les de m y de n p qe ls ectes n m ) Sen nitis ) Sen tgnles. c) Si m n clcl ls pyeccines de en de y en Slción.. Vect niti mdl nidd. m m m m ± ± n n n n ± ±. Si ds ectes sn tgnles fmn 90º y p tnt s pdct escl es ce. 0 0 n m 0 m n 0 n m Ección hmgéne cn infinits slcines. P tene n clqie de ss slcines st cn d n l n de ls incógnits y clcl l t medinte l ección. Si n m c py py 9. Ds ectes y sn tles qe 0 ; 0 ;. Hll s pdct escl el ángl qe fmn ente ells y ls ángls qe fmn cd n de ells cn el ect sm. Slción. Pdct escl ( ) El plem se esele pti de l definición de módl de n ect. Aplicnd l definición l módl de l sm y pend el pdct escl ( ) ( ) Teniend en cent qe el pdct escl es cnmtti y qe el pdct escl de n ect p si mism es el módl del ect eled l cdd cs 0

13 cs 0 Nt El ángl qe fm n ect cn el mism es ce. Sstityend en l definición de módl Elend ls ds miems l cdd se despej el pdct escl de ls ectes ( ) Ángls. Pime se clcl el ángl ente y () cm plicción del pdct escl cncid este se clcl el ángl ente n de ells y el ect sm (p ejempl ) p últim el ángl se clcl teniend en cent qe. 0 7 cs º ccs ( ) cs º ccs º 9º º 0. Si y c sn tes ectes de igl módl y c clcl el pdct escl de ls ectes y y el ángl qe fmn. Slción. Si denminms l ángl qe fmn ls ectes cs El pdct escl se tiene de l definición de módl de l sm en fnción en fnción de ls módls de ls ectes. Aplicnd l definición de módl l módl de l sm y pend el pdct escl ( ) ( ) Teniend en cent qe el pdct escl es cnmtti y qe el pdct escl de n ect p si mism es el módl del ect eled l cdd cs 0º cs 0º Sstityend en l definición de módl de l sm Elend ls ds miems l cdd se despej el pdct escl de ls ectes.

14 El módl de l sm se pede tene del enncid. Si c c (si ds ectes sn igles ss módls tmién l sn) y cm c se pede cncli Sstityend en l expesión del pdct escl Si en l expesión del ángl ente ectes sstitims td en fnción del módl de cs ccs 0º Si c y c ls tes ectes fmn n tiángl eqiláte. Se el tiángl de étices A( ) B( 0) y C( ). Clcl i. Módl de AB ii. iii. i. Ángl de AB cn AC Pyección de AB se el eje x Pyección de AB se AC. Vect niti en l diección de AC i. Vect pyección de AB se AC ii. Áe del tiángl iii. Detemin el l de p qe el ect ( ) se tgnl l ect BC ix. Vl de p qe el pnt ( ) fme cn B y C n tiángl de áe niddes cdds. Slción. AB 0 ; AB ( ) ( ) 0 i. ( ) ( ) ii. Se denminms l ángl qe fmn ls ectes AB AC AB ( ) cs AB AC AC c ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 cs ccs 70º 0 0 iii. El epesentnte del eje OX es el ect niti i ( 0) AB i ( ) ( 0) py i AB i ( ) 0 0

15 AB AC i. py AC AB AC. Vect niti nmlizd. AC N AC AC ( ) i. py AB py AB AC ( ) AC ii. ( ABC) AC N ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) AB AC' AC Áe AC' iii. Si ds ectes sn pependicles s pdct escl es ce. ( ) BC 0 ( ) ( ) 0 ( ) 0 ix. A( ); B( 0); C( ) ( ) ( ) AB AC' AB 0 Áe( ABC) AC ( ) ( ) AC' ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 8 ± ( ) ( ) 8 ± 8 0