TEMAS DE MATEMATICAS (Oposiciones de Secundaria)

Transcripción

1 TEMAS DE MATEMATICAS (Opsicines de Secndi) TEMA 5 SISTEMAS DE REFERENCIA EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO. ECUACIONES DE LA RECTA Y DEL PLANO. RELACIONES AFINES.. Espci Afín... Pln Afín... Espci Afín... Sespcis Afines.. Sistems de Refeenci en el Pln en el Espci... Sistems de Refeenci en el Pln.... Cdends de n Pnt en el Pln Afín.... Cmi de Sistem de Refeenci Afín... Sistems de Refeenci en el Espci.... Cdends de n Pnt en el Espci.... Cmi de Sistem de Refeenci en el Espci.. Eccines de l Rect en el Pln... Ección Vectil de l Rect... Eccines Pmétics de l Rect... Ección de l Rect en Fm Cntin..4. Ección de l Rect en Fm Genel..5. Ección Eplícit de l Rect..6. Ección de l Rect qe ps p ds Pnts distints. 4. Eccines de l Rect del Pln en el Espci. 4.. Eccines de l Rect en el Espci. 4.. Eccines del Pln. 5. Relcines Afines. 5.. Incidencis de Pnts Rects Plns Incidenci ente Pnt Rect Incidenci ente Pnt Pln Incidenci ente Rect Pln. 5.. Plelism ente Rects Plns Plelism ente Rects Plelism ente Plns. 5.. Intesección ente Rects Plns Intesección ente Rects Intesección ente Plns Intesección ente Rect Pln Psicines Reltis de ds Rects en el Pln Estdi Anlític de ls Psicines Reltis ente Rects Plns Psicines Reltis de ds Plns Psicines Reltis de Rect Pln Psicines Reltis de ds Rects. Biligfí Recmendd. /7

2 TEMA 5 SISTEMAS DE REFERENCIA EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO. ECUACIONES DE LA RECTA Y DEL PLANO. RELACIONES AFINES.. ESPACIO AFIN. DEF Se V n K-espci ectil. Llmems K-espci ectil fín se V n ten (E V ϕ) dnde E es n cnjnt iti V n espci ectil ϕ es n plicción ϕ : E V E qe cmple ls sigientes cndicines i) P E V ϕ( ϕ( P ) ) ϕ( P ) es el net de V. ii) P E ϕ( P θ) P θ iii) P Q E V ϕ( P ) Q A l ten (E V ϕ) l ms dent p A. Si definims ( P ) P ims nteies qedn cm: i) P E V ( P ) P ( ) ii) iii) P 0 P P Q E V / P Q ϕ ls DEF Se llm dimensión del espci fín (E V ϕ) l dimensión del espci ectil scid. TEOREMA. TEOREMA DE CHASLES Si tenems P P... Pn E P P P P P P4... Pn Pn P P n Vms eli l demstción en n. Si n. ( PP P P ) ( P P P ) P P P P P P P P P P P P P Spngms qe es ciet p n ms demstl p n leg P P P P... Pn Pn P Pn es l hipótesis de indcción ( PP P P... Pn Pn ) P [( P P... Pn Pn ) Pn Pn ] P /7

3 [ P ( P P... Pn Pn ) ] Pn [ P P Pn ] Pn Pn? Pn Pn Pn P c.q.d. Pn Leg PP P P... Pn Pn P n COROLARIO Un cs pticl del teem de Chles es P P P P... PnP P P 0.. Pln fín. Spngms h qe el espci ectil V es el cnjnt de tds ls ectes lies del pln definid se el cep K se E P cnjnt de ls pnts del pln. En P tenems definid l le de cmpsición eten qe sci n pnt A n ect n sl pnt P tl qe AP es el epesentnte del ect. PROP ( P ϕ ) V ϕ P V P ( A ) P siend [ AP] A es n espci fín de dimensión llmd Pln Afín. i) Se A P [ AB] [ BC] Cm [ AB ] [ BC ] [ AC] ii) Si A O B A ds ectes lies. Se eific C B ( A ) leg tenems qe C A ( ) A A A AA O ( A ) A ( ) iii) Ds pnts clesqie A B de P definen n únic ect lie de epesentnte AB p tnt B A. P l tnt ( P ϕ ) V A es n espci fín de dimensión llmd Pln Afín. /7

4 .. Espci fín. De fm nálg l pln fín tmms V cm el cnjnt de ls ectes lies del espci definid se E el cnjnt de pnts del espci dini se define: ϕ EV E A P t q AP ( ) [ ] Así definid cmple ls ims del espci fín. (Demstción nálg). Cm l dimensión de V es l dimensión de A ( E V ϕ) es A ecie el nme de espci fín tidimensinl... Sespcis fines. DEF Se E n scnjnt n cí de E U n sespci ectil de V. Se dice E U ϕ es n sespci fín de diección U cnd es n espci fín qe ( ) scid l espci ectil U ϕ ϕ U E ϕ E U E ( A ) P A Ls sespcis fines ecien tmién el nme de ieddes lineles. TEOREMA Un scnjnt E del espci fín ( E V ϕ) es n sespci fín si sól si el cnjnt U { AX / X E } dnde A es n pnt fij pe iti de E es n sespci de V. U Se ( U ϕ ) { AX E } E n sespci fín de diección U. Demstems qe es sespci ectil. ) { AX X E } U qe p td p de pnts A X E p se ( U ϕ ) espci fín ( iii) se tiene qe AX U. E n ) Se n ect iti de U eiste n ect fij cn igen en A / AX E. { } 4/7

5 Demstems qe ( U ϕ ) ectil. Se cmple: E es n espci Afín scid U sespci i) Se B n pnt iti de E U. Se eific D C B [ BC] ( B ) D C [ CD]. Cm [ BC] [ CD] BD U D B ( ). Leg ( B ) B ( ) ii) B O B iii) B C ds pnts itis de E cm qe U es n sespci ectil leg AB AC U BC AD p tnt C B AD. BC AC AB U OBS L ect es n sespci fín de dimensión el pln es n sespci fín de dimensión.. SISTEMAS DE REFERENCIA EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO... Sistems de efeenci en el pln. Vms estlece n iección ϕ : A V t :V de l sigiente mne: PROP Se O n pnt fij de A. Definims n cespndenci ϕ : A P V [ OP] cn OP el ect psición del pnt P. Entnces ϕ es n iección. - ϕ es n plicción qe cd pnt P del pln le cespnde n únic ect [ OP ] p se A fín. - ϕ es inecti qe ( P) ϕ ( Q) P Q Cm ϕ ( P) [ OP] ( Q) [ OQ] ϕ. ϕ. 5/7

6 Si ( P) ϕ ( Q) [ OP] [ OQ] OP OQ ϕ p l tnt p se A fín O OP O OQ P Q. - ϕ es specti qe p el im iii) de espci fín dd n pnt O n ect eiste n únic pnt P A / PROP Se B { }. O P [ OP] n se de V entnces V cn Definims l cespndenci : V del sigiente md ( ) ( ) Entnces es n iección.. - es n plicción qe B { } pede epes de fm únic. - es inecti qe si ( ) ( ) es n se p l tnt. Si ( ) ( ) ( ) se - es seecti qe ( ) entnces ( ) ( ). Leg es n iección. pdems cnside el ect DEF Se A n pln fín R (O U U ) n ten de pnts. Se dice qe est ten es n sistem de efeenci fín cnd ls ectes OU OU scids fm n se de V. El pnt O se llm igen del sistem de efeenci el pnt U pime pnt nidd el pnt U segnd pnt de nidd. Si llmms OU OU el sistem de efeenci se escie R O. ( ) PROP Se A n pln fín O A B { } se n se de V. Entnces eiste n únic cnjnt de pnts { O U U } tl qe R { O U U } es n sistem de efeenci del pln fín OU OU. 6/7

7 Dd l se B { } el pnt O p el im i) U U / O U OU O U OU Entnces l ten { O U U } R cmple el enncid.... Cdends de n pnt en el pln fín. Dd R { O } eific: n sistem de efeenci fín X n pnt del pln fín. Se. P l iección ϕ : A V ist en n ppsición ntei se tiene qe ϕ OX. ( ) [ ]. P l iección : V ist en t ppsición ( ) ( ) ( ) Entnces l cmpsición de ϕ f ϕ qed V ϕ A R f Si A f ( ) ( ϕ )( ) ( ϕ ( )) ( ) ( ) DEF Llmems cdends ctesins del pnt X espect del sistem de efeenci R { O } l ect nméic ( ). Es deci ls cdends del ect psición. Cm cnsecenci de se f n iección ls cdends del pnt sn únics pe dependen del sistem de efeenci elegid.... Cmi de sistem de efeenci fín. Se R { 0 } R { 0 } ds sistems de efeenci fín en el pln A X n pnt clqie de dich pln. 7/7

8 8/7 Sen ( ) ls cdends de X espect de R Sen ( ) ls cdends de X espect de R El cmi del sistem de efeenci cnsiste en hll ls cdends ( ) en fnción de ls ( ) ecípcmente. Vms hll ls cdends del pnt X en R cncids ss cdends en l efeenci R. P ell tenems qe cnce ls cdends de ls elements de l efeenci R en fnción de R. Sen O O O X OX O O' X P l fig ntei se tiene qe O O ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] O O ( ) ( ) cm { } es n se tenems qe sn ls eccines del cmi de sistem de efeenci de R R. Vms epes ests elcines en fm mticil p ell ñdims ls iglddes.

9 0 tenems X A 0 ( ) ( ) Además A 0 qe qe sn L. I. P l tnt A. Mltiplicnd l ección Y X A p A - Y A - X qe sn ls eccines iness de cmi de se... Sistems de Refeenci en el Espci. Tds ls ppieddes demstds en el pln sn lids p el espci cmind A p A V p V p. P l tnt l definición de sistem de efeenci seá: DEF Se A el espci fín { 0 U U U } R n cten de pnts. Se dice qe es n sistem de efeenci fín tidimensinl cnd ls ectes scids OU OU OU fmn n se de V. Si llmms OU ; OU OU. pdems escii R { O }.. Cdends de n pnt en el espci. De igl fm qe en el pln tenems el sigiente digm ( ) [ ] ϕ OX Dnde ( ) ( ) ( ) V ϕ 0 A R f 9/7

10 0/7 Leg ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) f ϕ ϕ Dnde p se f plicción ls cdends sn únics pe dependen del sistem de efeenci elegid.... Cmi de Sistem de Refeenci en el Espci. Sen { } 0 R { } 0 R ds sistems de efeenci en el espci fín A X n pnt clqie de dich espci cs cdends espect R sn ( ) cn espect R sen ( ). P tene ls eccines del cmi de sistem de efeenci es necesi cnce ls cdends del pnt O espect R ls de espect de. Sen ( ) Ó O Se tiene ( ) ( ) OX O O O X ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) Y cm O X { } es se tenems Eccines de cmi de sistem de efeenci de R R. En fm mticil se escien

11 0 se Y X A 0 0 ( ) ( ) Y cm A es egl p se A 0 qe ls fils despés de elimin l ª clmn ª fil sn ls cdends de qe fmn se. Tenems qe X Y A - qe sn ls eccines de R R.. ECUACIONES DE LA RECTA EN EL PLANO. n sistem de efeenci en A. Se R { O } Un ect es n sespci fín de A de dimensión p l tnt A. Si cnsidems n pnt A A n sespci ectil de V engendd p n ect qe dentems p { X A / AX }.. Ección Vectil de l Rect. O Si AX AX t cn t. Si sn ectes psición de ls pnts A X espectimente se tiene qe OX OA AX t cn t Est igldd se llm ección ectil de l ect. /7

12 Se se qe dnd les l pámet t en l ección ectil de l ect se tiene n cnjnt de ectes de psición de pnts qe petenecen l ect. Al ect se le llm ect diect de l ect... Eccines pmétics de l ect. Si ( ) ( ) ( ) sn ls cdends de ls ectes de psición espectimente en R si tenems en cent el ismfism eistente ente V (: V ) entnces l ección ectil de ( ) t se tdce p de dnde ( ) ( ) t( ) ( ) ( t t ) ( t t ) t cn t t qe ecien el nme de eccines pmétics de l ect. Dichs eccines están ccteids p el pnt A ( ) el ect diect ( ). P cd l del pámet t se tiene n pnt de l ect... Ección de l Rect en Fm Cntin. Si 0 0 si despejms en ls eccines pmétics eslt t t 0 0 Dich igldd ecie el nme de ección de l ect en fm cntin qe est A ( ). detemind p ( ) Si 0 ls eccines pmétics sn qe se edce qe es n ect // l eje OY t Si 0 ls eccines pmétics sn /7

13 t qe se edce qe es n ect // l eje OX.4. Ección de l Rect en Fm Genel. Si 0 0 pti de l ección cntin se tiene ( ) ( ) 0 Si hcems A ; B - C eslt A B C 0 Qe ecie el nme de ección genel implícit de l ect. Si 0 teníms qe es deci 0. Si 0 teníms qe es deci 0. Leg en ls tes css te tiene n ección de l fm A B C 0. Análisis de l ección. Recípcmente si A B C 0 es l ección de n ect en el espci fín. El ect diect de l ect seá ( B A) qe A B -. Un pnt se de l ect seá clqie pnt peteneciente l ect p tnt ss cdends ( ) eificán l ección de l mism..5. Ección Eplícit de l Rect. Si despejms en l ección genel (siend B 0) B -A C A C hciend B B tenems m n ección eplícit A m B n C B /7

14 dnde m es l pendiente de l ect n es l dend en el igen. A m tg siend el ángl qe fm cn OX. B.6. Ección de l Rect qe ps p ds Pnts distints. Un de ls ims de l gemetí elementl dice qe n ect qed detemind p ds pnts A B. B ds pnts distints. Sen ls ectes psición de ls pnts A B espectimente. Sen A ( ) ( ) P l tnt AB es n ect dieccinl de l ect cs cmpnentes seán ( ) ( ) cnsidend A ( ) pdems tili clqie tip de ección ntei p ejempl tilind l cntin tendems 4. ECUACIONES DE LA RECTA Y DEL PLANO EN EL ESPACIO. 4.. Eccines de l Rect en el Espci. DEF Llmms ect en el espci clqie iedd linel scid n sespci ectil de dimensión n { X A / AX < > } dnde A es n pnt de A es n sespci de dimensión engendd p el ect. n sistem de efeenci fín. Se R { O } P qe n pnt X petenec l ect dee stisfce AX AX t. O se OX OA AX Es deci OX OA t Si denminms l ect psición de X l de A tenems t qe es l ección ectil de l ect. 4/7

15 5/7 Epesnd l elción ntei tilind ls cmpnentes de ls ectes (deid l ismfism eistente ente V ). Se ) ( ) ( ls cdends cn espect R de X A ( ) ls del ect. Entnces tenems ( ) ( ) ( ) t se t t t qe sn ls eccines pmétics de l ect. P elimin el pámet t en el sistem ntei tenems ng ng () pe cm O p se el ect diect de n ect ng p l tnt p qe se cmpl () dee se spniend 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 () Iglddes qe es cstme escii en l fm Si qe ecie el nme de ección cntin de l ect. Ls eccines de l epesión () tmién peden esciise cm 0 0

16 En genel l pdems escii de l fm: A B C D 0 A B C D 0 qe ecien el nme de eccines ctesins implícits de l ect. Recípcmente dd n sistem de ds eccines lineles cn incógnits l cndición necesi sficiente p qe sen eccines ctesins de n ect es qe ng qe entnces el sistem tiene p slción n iedd linel de dimensión. 4.. Eccines del pln. DEF Un pln en A es clqie iedd scid n sespci de dimensión. Sen iti de A. el sespci de dimensión engendd p A n pnt Π { X A / AX } se llmn ectes diectes del pln A es el pnt se. n sistem de efeenci fín. Se R { O } Se ( ) ls cdends de A espect R ( ) ( ) cmpnentes de. ls Si X Π AX AX β es deci OX OA AX. O se OX OA β Ección ectil del pln. Epesnd est eslción en fnción de ls cmpnentes ectes qe en ell inteienen tenems 6/7

17 7/7 ( ) ( ) ( ) ( ) β Leg β β β qe sn ls eccines pmétics del pln β P elimin ls pámets β plntems ng ng () cm sn se de n sespci de dimensión entnces ng p qe se cmpl l epesión () dee se 0 Desllnd este deteminnte simplificnd tenems l ección qe ecie el nme de ección ctesin implícit del pln. A B C D 0 En el cs de qe el pln eng detemind p tes pnts n lineds ( ) ( ) ( ) c c c C B A pdems fm ls ectes [ ] AB [ ] AC qe peden tmse cm peden esciise 0 c c c deteminnte qe eqile l

18 c c c 0 igldd c desll d lg n ección de l fm A B C D 0 5. RELACIONES AFINES. 5.. Incidencis de Pnts Rects Plns Incidenci ente Pnt Rect. DEF Se dice qe n pnt P es incidente cn l ect ien qe l ect ps p P cnd el pnt P petenece dich ect. TEOREMA El pnt P es incidente cn l ect si sól si ls cdends de P stisfcen ls eccines de l ect. Es inmedit p l definición de incidenci Incidenci ente Pnt Pln. DEF Se dice qe n pnt P es incidente en n pln Π ien qe el pln Π ps p el pnt P cnd el pnt P petenece dich pln. TEOREMA El pnt P es incidente l pln Π si sl si ls cdends de P stisfcen ls eccines del pln Π. Es inmedit p l definición Incidenci ente Rect Pln. DEF Se dice qe n ect es incidente cn el pln Π cnd tds ls pnts de l ect sn incidentes cn dich pln es deci cnd l ect está cntenid en el pln. 8/7

19 TEOREMA Se l ect detemind p el pnt A el ect diect se Π el pln detemind p el pnt B ls ectes diectes. L ect es incidente cn el pln Π si sól si eiste n pnt P de incidente cn Π qe el ect se epese cm cminción linel de ls ectes. L cndición es necesi qe si es incidente cn Π tds ls pnts de sn incidentes cn Π p tnt el ect tiene n epesentnte cn igen en B etem n pnt C Π leg [ BC ]. Recípcmente se P n pnt de incidente cn Π se P td pnt X se eific: OX OP t OP t ( ) OP ( t) ( t ) Leg el pnt X tmién es incidente en el pln Π. Y cm est scede p td pnt X de entnces es incidente en el pln Π. COROLARIO L ect es incidente cn el pln Π si sól si ng ( ) A Π. Inmedit p el teem ntei qe ls ectes linelmente dependientes. tienen qe se 5.. Plelism ente Rects Plns Plelism ente ects. DEF Sen A V ' B V ' ds ects fines V V ls sespcis ectiles scids. Se dice qe ls ects sn plels si V V sn cincidentes si demás A ó B. TEOREMA Dd l ect detemind p A p l ect detemind p B p. Ls ects sn plels si sól si ls ectes sn linelmente dependientes. 9/7

20 L cndición es necesi qe si ls ds ects sn plels ls espcis ectiles V V cinciden p l tnt el sistem { } es linelmente dependiente qe l dimensión de ls sespcis scids es n. Recípcmente si sn linelmente dependientes se tendá qe β leg V t V ' s ( t) ( sβ) V ' V V ' V V V ' V V ' COROLARIO Ds ects sn plels si sól si ng ( ) si ng( AB ).. Además seán cincidentes Es cnsecenci inmedit del teem ntei qe ls ectes sn linelmente dependientes Plelism ente Plns. DEF Sen Π A V Π ' B V ' ds plns fines V V ls sespcis ectiles scids. Se dice qe ls plns Π Π ' sn plels si V V sn cincidentes si demás A Π ó B Π. TEOREMA Sen ( A ) ( B ) ls deteminntes lineles de ls plns Π Π ng espectimente. Ls plns Π Π sn plels si sól si ( ). ecípcmente qe V V tienen dimensión. En efect si ls plns sn plels el sistem { } depende linelmente de { } Recípcmente si el ng de ls ct ectes es ds qiee deci qe h ds ectes qe dependen linelmente de ls ts ds. Cm { } { } sn sistems linelmente independientes p se ses de espcis ectiles de dimensión ds el pime depende linelmente del segnd ecípcmente leg engendn el mism espci ectil. 0/7

21 /7 COROLARIO Ls plns Π Π definids p ss eccines ctesins 0 0 Π Π D C B A D C B A sn plels si sól si C B A C B A ng En efect ls eccines ctesins de ls plns Π Π se tienen desllnd ls deteminntes: 0 ' 0 Π Π ls ceficientes A B C A B C sn ls djnts de ls elements de l tece clmn espectimente. Si ls plns sn plels p el teem ntei ls ectes dependen linelmente de leg s t β cn ls qe teniend en cent ls ppieddes de ls deteminntes se tendá t t t s s s s t s t s t β β β β β β ( ) t s β Iglnd ls ceficientes de ls incógnits tendems ( ) ( ) ( ) t s C C t s B B t s A A β β β

22 est es ls ceficientes A B C sn ppcinles ls ceficientes A B C. P tnt A B C ng A B C 5... Plelism ente ect pln. DEF Sen A V Π B V n ect n pln fín dnde V V sn ls sespcis ectiles scids. Diems qe l ect el pln sn plels si V V sn incidentes si demás A Π. TEOREMA Sen ( ) ( B ) espectimente. L ect el pln Π sn plels si sól si ( ) A ls deteminntes lineles de l ect del pln Π ng. Si l ect el pln sn plels ng ( ). V V depende de { } leg Si ng( ) p se L. I. el ect depende linelmente de leg V V l ect el pln sn plels. 5.. Intesección ente Rects Plns Intesección de Rects. DEF Sen A V B V ds ects fines V V ls sespcis ectiles scids. Diems qe ls ects sn secntes qe se ctn en n pnt cnd ls ds ects sn cincidentes cn n mism pln n sn plels. TEOREMA Sen ( ) ( ) A B ls deteminntes lineles de ls ects espectimente. ng AB ng( ). Ls ects sn secntes si sól si ( ) /7

23 Si ds ects sn secntes n sn plels leg p el cli ng ( ) pe demás p se incidentes cn el mism pln ng( AB ) qe tes ectes en el pln sn linelmente dependientes. ng ( AB ) Si ng ( ) sn secntes. ls ects están en el mism pln n sn plels leg DEF pln. Se dice qe ls ects se cn cnd n sn incidentes cn n mism TEOREMA Ds ects se cn si sól si ng ( AB ) Inmedit pti del teem ntei Intesección ente Plns. DEF Sen Π A V Π B V ds plns fines V V ls sespcis ectiles scids. Diems qe ls plns Π Π sn secntes qe se ctn según n ect cnd n sn plels. TEOREMA Sen ( A ) ( B ) ls deteminntes lineles de ls pln Π Π ng. espectimente. Ls plns Π Π sn secntes si sól si ( ) Inmedit qe p n se plels ng ( ) > ng ( ) 5... Intesección ente Rect Pln. DEF Sen A V Π B V n ect n pln fín dnde V V sn ls sespcis ectiles scids. Diems qe l ect el pln Π sn secntes qe se ctn en n pnt cnd n sn plels. TEOREMA.. /7

24 Sen ( ) ( B ) espectimente. L ect el pln Π sn secntes si sól si ng( ). A Cnsecenci de n teem ntei. ls deteminntes lineles de l ect del pln Π 5.4. Psicines Reltis de ds Rects en el Pln. Sen A B C 0 A B C 0 ds ects en el pln. Cnsideems el sistem A B C 0 A B C 0 Llmms M l mti de ceficientes M * l mti qe eslt de ñdi ls témins independientes. Entnces ) Rng( M ) Rng( M Además de cmple * Sistem cmptile ) ects in det emind A B A C A B C 0 0 A B A C A B C cincident es ) Rng( M ) Rng( M * Sistem ) cmptile det emind Ls ects se ctn en n pnt Además si sn secntes se tiene l sigiente elción A B A B 0 A B A B ) Sistem Ls ects sn * Rng ( M ) Rng( M ) incmptile plels 4/7

25 RANG M RANG M Leg A A A A B 0 B C 0 C Entnces tendíms l sigiente elción p ects plels A B C A B C 5.5. Estdi Anlític de ls Psicines Reltis ente Rects Plns. Ls distints psicines qe peden dpt ects plns en el espci se edcen nlíticmente l estdi de ls slcines del sistem S fmd p ls eccines qe definen ls ects ls plns. Si M es l mti de ceficientes M * l mti mplid g el gd de indeteminción del sistem S cn d del teem de Rché-Föenis se tienen ls sigientes esltds Psicines Reltis de ds Plns. ) ) Rng( M ) Rng( M Rng( M ) Rng( M * * Sistem cmptile Plns ) indet emind cincidentes g Sistem cmptile Ls plns se ctn ) in det emind según n ect g ) Sistem * Rng( M ) Rng( M ) Plns incmptile plels} Psicines Reltis de Rect Pln. ) Rng( M ) Rng( M * Sistem cmptile Re ct cincident e ) indet emind cn pln g 5/7

26 ) Rng( M ) Rng( M * Sistem cmptile ) det emind L ect ct l pln en n pnt ) * Rng ( M ) Rng( M ) Sistem incmptile } L ect es l pln plel Psicines Reltis de ds Rects. ) ) Rng( M ) Rng( M Rng( M ) Rng( M * Sistem cmptile ) indet emind Re ct cincidente} g * ) Sistem incmptile } Re cts plels Se encentn en el mism pln ) Rng( M ) Rng( M * Sistem cmptile ) det emind Ls ects se ctn en n pnt 4) * Rng ( M ) Rng( M ) Sistem incmptile } Ls ects se cn 6/7

27 Biligfí Recmendd. Mtemátics COU. At. Angel Pim. Ed. SM Mtemátics º BUP. At. Vimns Pim Anl. Ed. SM Mtemátics COU. Ftn Cienfegs. Gemetí. At. Qesnne- Re. 7/7