Teoría elemental de conjuntos

Transcripción

1 Tería elemental de cnjunts Lógica prpsicinal Una prpsición es cualquier enunciad lógic al que se le pueda asignar un valr de verdad (1) falsedad (0). Dada una prpsición p, se define la negación de p cm la prpsición p' que es verdadera cuand p es falsa y que es falsa cuand p es verdadera. Se lee "n p". A partir de una varias prpsicines elementales se pueden efectuar diversas peracines lógicas para cnstruir nuevas prpsicines; en este cas, se necesita cncer su valr de verdad falsedad en función de ls valres de las prpsicines de que se cmpnen, l cual se realiza a través de las tablas de verdad de dichas peracines. Pr ejempl, la tabla de verdad de la negación es la siguiente: p p' A cntinuación se describen las principales peracines lógicas entre ds prpsicines p,q y sus tablas de verdad: Cnjunción: es aquella prpsición que es verdadera cuand p y q sn verdaderas, y falsa en cualquier tr cas. Se escribe p q, y se lee "p y q". p q p q

2 Disyunción: es aquella prpsición que es verdadera cuand al mens una de las ds p q es verdadera, y falsa en cas cntrari. Se escribe p q, y se lee "p q". p q p q Disyunción exclusiva: es aquella prpsición que es verdadera cuand una y sól una de las ds p q es verdadera, y falsa en cualquier tr cas. Se escribe p q, y se lee "p q per n ambas". Se usa muy pc. p q p q Cndicinal: es aquella prpsición que es falsa únicamente cuand la cndición suficiente p es verdadera y la cndición necesaria q es falsa. Se escribe p q, y se lee "si p entnces q". p q p q

3 Bicndicinal: es aquella prpsición que es verdadera cuand p y q tienen el mism valr de verdad, y falsa en cas cntrari. Se escribe p q, y se lee "si y sól si p entnces q". p q p q Una prpsición se dice que es una tautlgía si su valr de verdad es siempre 1 independientemente de ls valres de las prpsicines que l cmpnen; pr ejempl: p p'. Una prpsición se dice que es una cntradicción si su valr de verdad es siempre 0 independientemente de ls valres de las prpsicines que l cmpnen; pr ejempl: p p'. Una paradja es una prpsición a la que n se le puede asignar ningún valr de verdad; suelen estar relacinadas cn incrreccines en el lenguaje lógic. Pr ejempl: p="la prpsición p es falsa". Ds prpsicines p y q se dicen equivalentes si tienen la misma tabla de verdad en función de las prpsicines elementales que l cmpnen; esta definición equivale a decir que la prpsición p q es una tautlgía. Pr ejempl, las prpsicines y p q q' p' sn equivalentes. Esta ley se llama "ley del cntrarrecíprc", y se usa en ls raznamients pr reducción al absurd. Se pueden btener fácilmente más "resultads lógics" a través de su relación cn la

4 tería de cnjunts. Númers naturales : principi de inducción Admitivs cm intuitiv el cncept de númer natural; así, pdems enumerar ls númers naturales en rden creciente: N = { 1,2,3,4,5,... } Cuand se quiere demstrar que una prpsición relativa a númers naturales es cierta, se necesita el Principi de Inducción: "Sea S el cnjunt de númers naturales para ls que la prpsición p(n) es cierta; supngams que y que Entnces S = { m,m+1,m+2,... }" m S n S n+1 S (es decir, la prpiedad se verifica para td númer natural a partir de m; nrmalmente se usa cn m = 1). Algunas veces, cuand se quiere demstrar que la prpsición es cierta para n+1, es necesari usar que la prpsición se verifica para td k < n+1; en ese cas se utiliza el Principi de Inducción cmpleta: "Sea S el cnjunt de númers naturales para ls que la prpsición p(n) es cierta; supngams que m S

5 y que Entnces S = { m,m+1,m+2,... }" m,m+1,...,n S n+1 S Ejercici: pruébese pr inducción la fórmula del binmi de Newtn (Indicación: utilícense las prpiedades de ls númers cmbinatris). Tería de Cnjunts NOCION INTUITIVA DE CONJUNTO Un cnjunt es la reunión en un td de bjets bien definids y diferenciables entre si, que se llaman elements del mism. Si a es un element del cnjunt A se denta cn la relación de pertenencia a A. En cas cntrari, si a n es un element de A se denta a A. Ejempls de cnjunts: : el cnjunt vací, que carece de elements. N: el cnjunt de ls númers naturales. Z: el cnjunt de ls númers enters. Q : el cnjunt de ls númers racinales. R: el cnjunt de ls númers reales. C: el cnjunt de ls númers cmplejs.

6 Se puede definir un cnjunt: pr extensión, enumerand tds y cada un de sus elements. pr cmprensión, diciend cuál es la prpiedad que ls caracteriza. Un cnjunt se suele dentar encerrand entre llaves a sus elements, si se define pr extensión, su prpiedad característica, si se define pr cmprensión. Pr ejempl: A := {1,2,3,...,n} B := {p Z p es par} Se dice que A está cntenid en B (también que A es un subcnjunt de B que A es una parte de B), y se denta A B, si td element de A l es también de B, es decir, a A a B. Ds cnjunts A y B se dicen iguales, y se denta A = B, si simultáneamente A B y B A; est equivale a decir que tienen ls misms elements ( también la misma prpiedad característica). Para cualquier cnjunt A se verifica que A y A A; B A es un subcnjunt prpi de A si A y B A. El cnjunt frmad pr tds ls subcnjunts de un dad A se llama partes de A, y se denta (A). Entnces, la relación B A es equivalente a decir B (A). Ejempls: Si A = {a,b} entnces (A) = {,{a},{b},a}. Si a A entnces {a} (A). Cuand en determinad cntext se cnsideran siempre cnjunts que sn partes de un dad U, se suele cnsiderar a dich U cm cnjunt universal de referencia. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS Dads ds cnjunts A y B, se llama diferencia al cnjunt A B := {a A a B}.

7 Asimism, se llama diferencia simétrica entre A y B al cnjunt A B := (A B) A Si A (U), a la diferencia U A se le llama cmplementari de A respect de U, y se denta abreviadamente pr A' (U se supne fijad de anteman). Es fácil ver que si A y B sn subcnjunts cualesquiera de U se verifica: ' = U. U ' =. (A')' = A. A B B' A'. Si A = { x U p(x) es una prpsición verdadera} entnces A' = { x U p(x) es una prpsición falsa}. Se llama unión de ds cnjunts A y B al cnjunt frmad pr bjets que sn elements de A de B, es decir: A B := { x x A x B}. Se llama intersección de ds cnjunts A y B al cnjunt frmad pr bjets que sn elements de A y de B, es decir: A B := {x x A x B}. Si A y B sn subcnjunts de un ciert cnjunt universal U, entnces es fácil ver que A B = A B'. En este cas, la llamadas peracines bleanas (unión e intersección) verifican las siguientes prpiedades : PROPIEDADES UNION INTERSECCION 1.- Idemptencia A A = A A A = A 2.- Cnmutativa A B = B A A B = B A 3.- Asciativa A ( B C ) = ( A B ) C A ( B C ) = ( A B ) C 4.- Absrción A ( A B ) = A A ( A B ) = A 5.- Distributiva A ( B C ) = ( A B ) ( A C ) A ( B C ) = ( A B ) ( A 6.- Cmplementariedad A A' = U A A' = Estas prpiedades hacen que partes de U cn las peracines unión e intersección tenga una estructura de álgebra de Ble. Además de éstas, se verifican también las siguientes prpiedades:

8 A = A, A = ( element nul ). A U = U, A U = A ( element universal ). ( A B )' = A' B', ( A B )' = A' B' ( leyes de Mrgan ). Dads ds cnjunts A y B, se define el prduct cartesian de ambs cm el cnjunt de pares rdenads: A B := { (a,b) : a A b B} Ds pares (a,b) y (c,d) de A B sn iguales si a = c y b = d; análgamente, dads cuatr cnjunts A,B,C,D se verifica A B = C D ( A = C B = D ) Se llama graf relativ a A B a td subcnjunt G A B. Dad un graf G relativ a A B, se llama pryección de G sbre A al cnjunt Pry A G := { a A : (a,b) G, b B} Análgamente se define la pryección Pry B G de G sbre B. Pr últim, ls cncepts anterires pueden generalizarse a familias de cnjunts. Si para cada element i de un cnjunt (de índices ) I se tiene un cnjunt A i, entnces se define el cnjunt { A i : i I } y se denmina familia de cnjunts indicada pr I. También se suele dentar pr { A i } i I. De frma análga se define una familia de elements ( a i ) i I. Dada una familia de cnjunts { A i } i I se definen: i I A i := { a : a A i, i I } i I A i := { a : a A i, i I } i I A i := { (a i ) : a i A i, i I } Las prpiedades de la unión e intersección siguen siend válidas para familias de cnjunts, y en particular las leyes de Mrgan :

9 DIAGRAMAS DE VENN ( i I A i )' = i I A' i, ( i I A i )' = i I A' i Ls cnjunts de suelen representar gráficamente mediante "diagramas de Venn", cn una línea que encierra a sus elements. Así, tdas las peracines entre cnjunts se pueden representar gráficamente cn el fin de btener una idea más intuitiva. A B A B A B

10 A B A B RELACION ENTRE LA TEORIA DE CONJUNTOS Y LA LOGICA PROPOSICIONAL Existe una relación muy estrecha entre la Tería de Cnjunts y la Lógica Prpsicinal.

11 Para mstrar dicha relación, dentems pr letras mayúsculas A,B... ls cnjunts y pr las crrespndientes minúsculas a,b... sus prpiedades características (es decir, la prpsición lógica que caracteriza a ls elements de cada cnjunt); entnces se tiene la siguiente crrespndencia: cnjunts A B A = B A B A B A' A B A B prpsicines a b a b a b a b a' a b' a b Además, el cnjunt vací se crrespnde cn una cntradicción y el cnjunt universal cn una tautlgía. Mediante esta crrespndencia, tds ls resultads sbre cnjunts se pueden reescribir en términs de lógica prpsicinal y viceversa; a md de ejempl: A ( A B ) = A A ( B C ) = ( A B ) ( A C ) a ( b c ) a a ( b c ) ( a b ) ( a c ) ( A B )' = A' B' ( a b )' a' b' PROPOSICIONES CON CUANTIFICADORES Ls símbls (cuantificadr universal) y (cuantificadr existencial) se utilizan en Matemáticas para enunciar prpsicines lgicas relativas a bjets matemátics. Sea A un cnjunt y p(x) una prpsición prpiedad que hace referencia a un element x. (1) Cuantificadr universal : La expresión x A p(x) se lee "para td x que pertenece a A se verifica p(x)", representa la prpsición { x A : p(x) } = A (2) Cuantificadr existencial : La expresión x A p(x)

12 se lee "existe x que pertenece a A tal que p(x)", representa la prpsición { x A : p(x) } La negación de cualquiera de las ds prpsicines anterires se realiza negand la prpsición p(x) y cambiand el cuantificadr universal pr el cuantificadr existencial, viceversa. Así, la negación de la prpsición " x A p(x)" es " x A p(x)' ", mientras que la negación de " x A p(x)" es " x A p(x)' " Cnjunts finits : Cmbinatria La Cmbinatria es la parte de las Matemáticas que se dedica al estudi de ls cnjunts finits. Puest que la prpiedad principal de ests cnjunts es que se puede representar su númer de elements mediante un númer natural (llamad cardinal de dich cnjunt), la tarea básica de la Cmbinatria es precisamente el cálcul del cardinal de dichs cnjunts. Para dich cálcul se necesita definir ls llamads númers cmbinatris: (1) Númers factriales: se define n! mediante la ley de recurrencia n! = n (n-1)! y la cndición inicial 0! := 1. De frma iterativa, se tiene n! = n (n-1) (n-2)

13 n! es el númer de permutacines de n elements, es decir, es el númer ttal de frmas de rdenar n elements de tdas las frmas distintas psibles. (2) Ceficientes binmiales: se definen pr la fórmula El númer "n sbre k" es el númer de cmbinacines de n elements tmads de k en k, es decir, el númer de subcnjunts distints de k elements que tiene un cnjunt cn n elements. Ls ceficientes binmiales tienen ds prpiedades básicas: (a) (b) Cm aplicación de ls númers cmbinatris y del Binmi de Newtn, pdems cntar el númer ttal de subcnjunts que tiene un cnjunt A cn n elements, es decir, el cardinal de partes de A; para ell, ntems que el númer de tales subcnjunts se btiene sumand el númer de subcnjunts de 0 elements más ls de 1 element, más ls de 2 elements, y así hasta ls de n elements, es decir: Per esta cantidad crrespnde a desarrllar mediante el binmi de Newtn la expresión

14 (1+1) n = 2 n Así pues se btiene que # (A) = 2 n si # A = n.