VECTORES EN EL ESPACIO

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1 Tem Vectes Ejecicis eselts Mtemátics II º Bchillet VECTORES EN EL ESPACIO DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL COMBINACIÓN LINEAL BASE EJERCICIO : Dds ls vectes ( ) b( ) c ( ) d ( ): ) Fmn n bse de R? Expes si es psible el vect d cm cmbinción linel de b c. ) N fmn n bse pes ct vectes en R siempe sn linelmente dependientes. Debems encnt tes númes x z tles qe: d x b zc (- ) x( ) ( ) z( ) (- ) (x z x x z) x z x Reslvems el sistem p Gss btenems : x - z d b c x z EJERCICIO : ) Se sbe qe v cmbinción linel de w v Hll ls cdends del vect sn linelmente dependientes. Pdems seg qe es w? Jstific t espest. 4 7 espect de l B {( ) (-)( )}. ( ) bse ) N. P ejempl si tmms ( ) v ( ) w ( ): Sn linelment e dependient es pes w v. Sin embg n es cmbinció n linel de v w. Llmms b ( ) c ( ) d ( ) ls vectes de l bse B. Tenems qe encnt tes númes x z tles qe: x b c z d (4 7) x( ) ( -) z( ) (4 7) (x x - z) x 4 x x 4 x z 7 7 z 7 z Ls cdends de espect de l bse B sn es deci ( ) : b c d EJERCICIO : Dds ls vectes ( ) v ( ): ) Sn linelmente independientes? Fmn n bse de R? c) Hll n vect w tl qe w v. ) Sí sn linelmente independientes pest qe si escibims: x(- ) ( -) ( ) es deci: x x Este sistem sl tiene l slción tivil: x N fmn n bse de R pes p btene n bse de R necesitms tes vectes (linelmente independientes). c) w v w v w v w ( ) ( )

2 Tem Vectes Ejecicis eselts Mtemátics II º Bchillet EJERCICIO 4 : ) Hll ls vles de x z tles qe x v z w siend (-) v (-) w (-) Sn linelmente independientes ls tes vectes nteies? Fmn n bse de R? ) x( -) ( - ) z( -) ( ) (x z - z -x - z) ( ) x z z Reslviend el sistem p Gss Slcine s: x λ λ z λ x z Según ls esltds btenids en el ptd ) dedcims qe ls vectes sn linelmente dependientes. P tnt n sn bse. EJERCICIO : Cnsidems l bse de R fmd p ls vectes : ) Hll ls cdends de Expes si es psible el vect ( 4 7 4) espect de l bse ntei. c cm cmbinción linel de b. ) Tenems qe encnt tes númes x z tles qe: x b zc es deci: (-) b (-) c () (4-7 4) x( - ) ( -) z( ) (4-7 4) (x z -x x - z) x z 4 x 7 Reslviend el sistem p Gss x z x z 4 P tnt ls cdends de espect de l bse dd sn ( ) es deci: b c De l igldd btenid en ) tenems qe: b c c b PRODUCTO ESCALAR Y APLICACIONES (Módl de n vect ángl qe fmn ds vectes pección tgnl ) c b EJERCICIO : Dds ls vetes ( ) v ( 4 ) w( x): ) Hll v el ángl qe fmn v. x p qe w fmen n ángl de. Obtén el vl de ) ( ) 4 74 v 4 ( ) Si llmms α l ángl qe fmn v tenems qe: v 8 cs α v sn pependicles es deci α 9. v v w H de cmplise qe: x cs es deci: w 4 x 7 4x x 7 4x x 7 x 7 x x x (n vle pes v x > ) x 7 4x

3 Tem Vectes Ejecicis eselts Mtemátics II º Bchillet EJERCICIO 7 : Dds ls vectes ( ) v ( ): ) Hll l pección de sbe v sí cm el ángl qe fmn v. Encent n vect ( x z) ( ) qe se cmbinció n linel de v qe se pependicl ( ). v v Pección de sbe v: v () ( ) Si llmms α l ángl qe fmn Un vect qe se cmbinción linel de bv b b b ( ) ( ) ( ) v v tenems qe: cs α α v v es de l fm bv es deci: P qe se pependicl ( ) s pdct escl h de se ce: ( b b ) ( ) b b - P tnt clqie vect de l fm: ( b ) cn b cmple ls cndicines exigids. EJERCICIO 8 : Sen v ds vectes qe fmn n ángl de 4 qe tienen el mism módl v. ) Cál es el módl de v? Y el de v? Demest qe v v sn pependic les. ) v ( v) ( v) v v v v v v 4 v cs ( v) v v ( v) ( v) v v 4 v cs v 8 4 ( v) ( v) v v v v v 4 4 ( v) ( v) EJERCICIO 9 : Dds ls vectes ( ) b ( ) c m b: ) Hll el vl de m p qe c sen pependic les. P m hll el ángl qe fmn b c. ) c m b m m m ( ) ( ) ( ) c c ( ) ( m m ) m m m m P m qed c(. ) Si llmms α l ángl qe fmn b c b c 4 4 tenems qe: cs α 7 9 α 7' ' ' b c 4 8 4

4 Tem Vectes Ejecicis eselts Mtemátics II º Bchillet 4 EJERCICIO : Dds ls vectes i - j ; b i j k ; hll x e de fm qe c x i j se pependicl b teng el mism módl qe. ( ) b ( ) c ( x ) c b c b x c x x H ds slcines: x qe cespnde c ( ). x qe cespnde c ( ). s x 4 x x PRODUCTO VECTORIAL Hll n vect w de módl qe se pependicl Cál es el áe del plelgm detemind p v? EJERCICIO : Dds ls vectes ( ) v ( ): ) v. ) Un vect pependic l v es: v ( ) ( ) ( ) v Dividims p s módl p cnsegi qe teng módl : w v H ds slcines: Áe v 9 EJERCICIO : ) Demest qe si v sn ds vectes clesqie se tiene qe: ( v) ( v) ( v) Hll n vect pependicl v ) ( ) ( ). (*) qe v v. ( v) ( v) v v v v v v ( v) ( * ) Tenems en cent qe ( ) ( ) ( ) v EJERCICIO : Hll el vl de m p qe el áe del plelgm detemind p v (m) se. () El áe del plelgm detemind p v es igl v. Clclms v hllms s módl: v m ( ) ( ) ( m m) v ( ) ( ) ( ) m m m 4 4m m 4 Iglms : Áe m 4 m 4 4 m m

5 Tem Vectes Ejecicis eselts Mtemátics II º Bchillet EJERCICIO 4 : ) Hll n vect niti qe se pependicl ( - ) (-) Es ciet qe v w v w? Pn n ( ) ( ) ejempl. ) Un vect pependicl ls ds dds es: (- ) x ( - ) ( -) Dividiend p s módl tendá módl : Tmbién cmple ls cndicines s pest: En genel n es ciet. P ejempl: ( ) v ( ) w ( ) ( v) w w P tnt v w v w v w ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). EJERCICIO : Hll el áe de n plelgm detemind p ls vectes v w siend: ( ) ( ) ( ) Clclms v w: v ( ) b w ( ) El áe del plelgm detemind p b es igl l módl del pdct vectil: b 4 Áe ( ) ( ) ( ) 4 PRODUCTO MIXTO EJERCICIO : ( ) ) Clcl el vlmen del plelepíped detemind p ls vectes x v x w (-) v (.-) w (-) v w ; v v Cánt vlen cd n de ls sigientes pdcts mixts?:[ ] [ ] ) El vlmen del plelepí ped detemind p v w es igl l vl bslt v w 7 Vlmen 7 de s pdct mixt: [ ] Utiliznd ls ppieddes de ls deteminntes tenems qe: [ v w] [ v w] ( 7) 4 [ v v ] (el tece vect depende linelment e de ls ds pimes). EJERCICIO 7 : ) Hll ls vles de m p qe ls vectes independientes. Estdi si el vect depende linelmente de v w p el cs m () v (-) w (mm-) sen linelmente ( ). ) P qe sen linelmente independientes s pdct mixt debe se distint de ce: v w 4 m m H de se m 4. [ ] 4 m m P m ls vectes v w sn linelmente independientes fmn n bse de R. P tnt clqie vect de R en pticl ( ) depende linelmente de ells.

6 Tem Vectes Ejecicis eselts Mtemátics II º Bchillet () v () w (λ) hll el vl de λ p qe: EJERCICIO 8 : Dds ls vectes ) deteminen n plelepíped de vlmen. sen linelmente dependientes. ) El vlmen del plelepí ped de s pdct mixt: [ v w] λ detemind p v w es igl l vl bslt λ λ λ 8 Vlmen λ λ λ 4 λ H ds slcines : λ 8 λ v w λ λ S pdct mixt h de se ce: [ ] λ EJERCICIO 9 : Dds ls vectes ( ) v ( ) w ( ) se pide: ) El vlmen del plelepíped detemind p ells. Hll si existe el vl de α p qe el vect α α cmbinció n linel de v. ( ) se ped expes cm v w 4 Vlmen 4 ) Es igl l vl bslt de s pdct mixt: [ ] Ls vectes v hn de se linelmente dependientes ( v sn linelmente independientes); p tnt s pdct mixt h de se ce: [ v ] α α 4 EJERCICIO : ) Demest qe ls vectes k v k w sn linelment clqie qe se el vl de k. Cál es el vlmen del plelepí ped detemind p v w? α α ( ) ( ) ( ) e ) Tenems qe pb qe s pdct mixt es distint de ce se cl se el vl de k. k v w k p td k [ ]. El vlmen es igl l vl bslt de s pdct mixt. P tnt: Vlmen independientes REPASO EJERCICIO : Dds ls vectes ( ) v ( ) w ( m m): ) Hll el vl de Clcl el ángl qe m p qe w sen pependic les. fmn v. c) Hll el áe del tiángl qe deteminn v. ) P qe w sen pependic les s pdct escl h de se ce : w ( ) ( m m) m m m m Si llmms α l ángl qe fmn v tenems qe: v 7 7 cs α 94 α ' ' ' v

7 Tem Vectes Ejecicis eselts Mtemátics II º Bchillet 7 c) Áe v ( ) 9 EJERCICIO : Cnsidem s ls vectes ( ) b( ) c ( ). Clcl: ) El áe del tiángl qe deteminn b. El vlmendel plelepíped detemind p b c. ) Áe b ( ) ( ) ( ) 4 74 El vlmen es igl l vl bslt del pdct mixt de ls tes vectes: b c Vlmen [ ] EJERCICIO : Dds ls vectes ( ) v ( ) w ( k k): ) Hll el vl de k p qe el vlmen del plelepíped detemind p v w vlg. Clcl el ángl qe fmn v. ) El vlmen del plelepíped es igl l vl bslt del pdct mixt de ls tes vectes: k k [ v w] k Vlmen k k k k k Si llmms α l ángl qe fmn v tenems qe: v cs α 8 α 48' '' v 9 EJERCICIO 4 : Dds ls pnts A(-) B (-) C (- 4 ) D ( -) clcl: ) El áe del tiángl de vétices A B C. El vlmen del teted de vétices A B C D. ( ); ( 4 4) ) AB AC Áe AB AC ( ); AC ( 4 4) ; AD ( ) AB ( ) ( ) ( ) [ AB AC AD] 4 4 Vlmen 7 EJERCICIO : Sen ls pnts A ( - ) B(-m) C (m -) D ( -). Clcl el vl de m sbiend qe el plelepí ped detemind p ls vectes AB AC AD vlmen de 4. tiene n AB ( m ) ; AC ( m ) ; AD ( ) m [ AC AD] m AB [4 (m -)(m -) ] [- (m -) - (m -)] m m

8 Tem Vectes Ejecicis eselts Mtemátics II º Bchillet 8 Vlmen: V m m 4. Ds psibiliddes: m m 4 m m - 4 m m - 7 ± 8 ± 4 ± 8 m m m 7 m m -4 m m 4 m m ± 9 ± 4 ± 4 m 8 ± H ct slcines: m 7 ; m ; m 8 4; m4 8 4 REPRESENTAR PUNTOS EN EL ESPACIO EJERCICIO : Repesent ls pnts sigientes: ) A( -4) B( ) C( 4) A( ) B( ) C( - ) c) A( ) B( 4) C(4 - ) d) A( ) B( ) C( - 4) 4 APLICACIONES DE LOS VECTORES EJERCICIO 7 : Ls pnts A( ) B( - ) C(- ) sn vétices cnsectivs de n plelgm. Obtén el ct vétice el cent del plelgm. Cm se tt de n plelgm se tiene qe AB DC. Si D ( x z): (--)(--x--z) de dnde: x -4 4 z D(-4 4 ) El cent del plelgm es el pnt medi de n de ls ds dignles sí: M EJERCICIO 8 : Hll ls cdends de ls pnts P Q qe dividen l segment de extems A(- ) B(- 4) en tes ptes igles. AB AP (-) (x- z-) P(xz) Q Pt_medi PB

9 Tem Vectes Ejecicis eselts Mtemátics II º Bchillet 9 EJERCICIO 9 : Ds de ls vétices de n plelgm sn ls pnts A( -) B(- ). El cent del plelgm está en el pnt M( -). Hll ls ts ds vétices. Llmems C (x z ) D (x z ). C es el simétic de A espect de M p tnt: ( ) 4 C z z 4 x x D es el simétic de B espect de M. Así: ( ) D z z x x EJERCICIO : Clcl el vl de p el cl ls sigientes pnts están lineds: A( ) B( ) C(8 7 ) tengn están lineds siempe qe ls vectes pnts Ls BC AB C B A l mism diección. Est ce cnd ss cdends sn ppcinles: EJERCICIO : Hll el simétic P ' del pnt P( -) espect de Q( ). Llmms P '(αβγ)de mne qe: ( ) 9 4 P' 9 4 γ γ β β α α