Tema 0 Cálculo vectorial

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1 Tem 0 Cálcul vectil IES Pe Mnjón Pf: Edud Eismn 1 1 Tem 0. Cálcul vectil Mgnitudes físics escles vectiles. Vectes Vect uniti ves Descmpsición de un vect en el pln Descmpsición de un vect en el espci Sum difeenci de vectes Pduct cciente de un vect p un escl Pduct escl de ds vectes Pduct vectil de ds vectes Mment de un vect espect de un punt Deivds de un vect espect de un escl Deivd de un vect: sums pducts pecines difeenciles: gdiente, divegenci tcinl Ejecics de cálcul vectil IES Pe Mnjón Pf: Edud Eismn 2 2

2 1. Mgnitudes físics escles vectiles. Vectes Ls mgnitudes físics pueden se escles vectiles: Mgnitudes escles cund quedn definid cn un núme, esultd de l medid, l unidd cespndiente. Sn mgnitudes escles: ms (5 kg), tempetu (34ºC), tiemp (3s), densidd, intensidd de ciente, esistenci eléctic, etc. Mgnitudes vectiles cund demás de su vl numéic su unidd necesitn, p que deteminds, un diección un sentid Ls mgnitudes vectiles se epesentn medinte vectes, que sn segments ientds que quedn definids p: Módul intensidd: vl de l mgnitud en l unidd elegid. F 4N Diección: cespnde l ect (diectiz) sbe l que se dibuj el vect. Punt de plicción: pti del cul se dibuj el vect. Sentid: el de l punt de flech Ls vectes se nmbn medinte lets cn un flech encim Vect uniti ves Si un vect A l dividims en tnts ptes cm indic su módul A se btiene t vect u que tiene su mism diección sentid pe de A módul l unidd. Al vect u se le llm VECTR UNITARI VERSR del vect A A A5( u) Td vect tiene su cespndiente vect uniti ves: u A A ua A A A u Culquie vect se puede epes de l fm:. A 4 4

3 3.1 Descmpsición de un vect en el pln Td vect puede descmpnese en sus ds cmpnentes ctesins, pependicules ente sí, que llevn ls dieccines de ls ejes, j j u csens diectes del vect : i i j i, j i Un vect qued detemind medinte: siend vectes unitis en ls dieccines de ls ejes, módul del vect : cs 2 2 cs Sus ds cmpnentes Su módul l mens un csen diect Descmpsición de un vect en el espci Td vect puede descmpnese en sus tes cmpnentes ctesins, pependicules ente sí, que llevn ls dieccines de ls ejes,, z X i Z z k u j z Se cumple el Teem fundmentl de l tignmetí: Cmpnentes del vect: Y i jk módul del vect: cs cs cs cs 1 z z csens diectes: cs cs z 6 6

4 3.3 Descmpsición de un vect en el espci Un vect qued detemind medinte: Sus tes cmpnentes: z z,, z z i k u j cs cs z cs Su módul ds de sus ánguls:,cs,cs cs cs cs z Sum difeenci de vectes L sum de ds vectes cncuentes es t vect que se btiene, gáficmente, tznd l dignl del plelgm fmd pti de ls vectes sumnd: Vectes pependicules: Vectes n pependicules: s s b b módul: s b s b 2bcs diección: ctg b El vect sum es l sum vectil de mbs vectes En este cs, es más útil, descmpne ls vectes en sus cmpnentes pependicules eliz l sums pciles según ls ejes, sb 8 8

5 4.2 Sum difeenci de vectes P sum vis vectes cncuentes se hce us de l egl del plígn: c sbc Difeenci de vectes: b c P est ds vectes, se s sum l minuend el vect puest del sustend: d b b d b ( b ) b L sum de vectes cumple ls ppieddes: Cnmuttiv sbb Ascitiv sbc ( b c) Sum difeenci de vectes en función de sus cmpnentes L epesión de un vect en función de sus cmpnentes ctesins ns pemite eliz sums ests cn gn fcilidd: Sen ls vectes: i j k z b b i b jb k z El vect sum: s b i j k b i b jb k z z s b i b j b k z z El vect difeenci: d b ( b ) i jzk bi b jbzk d b i b j b k z z 10 10

6 5.1 Pduct cciente de un vect p un escl (núme el) Dd el vect el escl n (núme el), se define su pduct cm t vect que tiene l mism diección, sentid igul u puest (según se el escl psitiv negtiv) cu módul se btiene multiplicnd el módul del vect p el escl 2( u) n 2,5 p5( u) p n. P dividi un vect p el escl n (núme el), se multiplic dich vect p el inves de n 1 c n n Pduct escl de ds vectes Dd ls vectes b se define pduct escl cm el núme que esult de multiplic el módul de cd un de ells p el csen del ángul que fmn: b. Pduct Escl b. b..cs cs b. Si ls vectes sn pependicules: cs90 0 b. 0 p b b Si ls vectes sn plels: cs 0 1 b. b. ( má) Ppiedd Cnmuttiv: b. b. c. b c. cb. Pduct escl en función de sus cmpnentes: b. i jk. bi b jbk b b b Puest que: ii. jj. kk. 1 Ppiedd Distibutiv: z z z z i. j j. k k. i

7 5.3 Pduct vectil de ds vectes El pduct vectil de ds vectes b es t vect que tiene p: Pduct Vectil: p b h b p Módul: Diección: Sentid: b bsen Pependicul l pln fmd p mbs vectes. Regl del sccchs gind el pime vect sbe el segund p el cmin más ct. sen90 1 b b má Si ls vectes sn pependicules: ( ) Intepetción gemétic El módul del pduct vectil es el ÁREA del plelgm cnstuid sbe ls vectes: p b sen h AREA Si ls vectes sn plels: sen 00 b 0 N cumple ppiedd cnmuttiv: bb c b ccb Ppiedd distibutiv: Pduct vectil en función de sus cmpnentes Pduct vectil de ds vectes en función de sus cmpnentes: b i jzkbi b jbzk bkb jbkbib jbi Hems tenid en cuent que: i i j j kk 0 i j k; jk i; ki j ji k; k j i; i k j Reslvems el deteminnte fmd p: z z b z b b b b b z b b bz b z z z z z i k Es un vect que tenems que den i j k i j k b z b z ib z b z j b b k j Regl páctic 14 14

8 6.1 Mment de un vect espect de un punt El mment de un vect cn espect un punt, se define cm el pduct vectil del vect p el vect. m sen d m Vect Mment sen d Módul: Diección: Sentid: i j k m z mi m j mzk z m sen d Pependicul l pln fmd p mbs vectes. Regl del sccchs gind el pime vect sbe el segund p el cmin más ct. m El mment n cmbi cund el vect se desplz l lg de su diectiz, puest que: m sen sen d Deivd de un vect espect de un escl Se un vect que depende de un escl t (tiemp):. El vect () t puede vi, en módul, diección en mbs, cn el tiemp. z t () t ( t) En l figu se cumple: ( tt) ( t) Dividiend, l epesión ntei p t hllnd el límite cund el tiemp es mu pequeñ (tiende ce): ( tt) ( t) lim lim t t t 0 t 0 Vect Deivd L deivd de un vect espect de un escl es t vect: Diección: l tngente l cuv que descibe el etem del vect Sentid: el que cespnde l vición del vect Cmpnentes: ls deivds de sus cmpnentes espect del escl t: z i j k 16 16

9 7.2 Cnsecuencis de l deivd de un vect Css pticules: El vect tiene módul cnstnte diección vible El etem del vect descibe un cicunfeenci, p tnt: El vect tiene módul vible diección cnstnte El etem del vect descibe un líne ect, p tnt: Cnsecuencis de l deivd de un vect Cs genel: L epesión de un vect es de l fm : Al escibi su deivd, espect de t, se bsev que se btienen ds témins (vectes): z u u du u du u El pime témin es un vect en l diección del vect : El segund témin es un vect en l diección pependicul l vect : u du El vect deivd, que es tngente l cuv que descibe el etem de, se puede descmpne en ds vectes: un en l diección de t pependicul. Tds ls u sn igules en módul, si vín, desciben cicunfeencis : du u 18 18

10 7.4 Deivd de un vect: sums pducts Ls vectes b dependen del mism escl t, pdems clcul: Deivd de un vect: d di j zk d di d d d z i... i j k i, j, k di dj dk 0 Cm sn cnstntes en módul diección: Deivd de su sum: Deivd de su pduct escl: Deivd de su pduct vectil: d b d db d b d b db d b d b db Deivción de sums pducts Dds ls vectes que se epesn cntinución: b t i j tk 2 t i tj2t1k 2 3 Clcul p t = 1: A) B) d db d d dz i j k db db dbz i j k 2ti j 2k 2i j 2k 2i k t1 C) D) d b d b db 2ti j 2k 2t 3i j tk 2 ti tj 2t 1k 2i k 6 t1 db d 2 d db d b 2 2i j2k2i ki 6j2k 20 20

11 8.1 pecines difeenciles GRADIENTE Vect gdiente u pe difeencil nbl, es un pe vectil que se define medinte l epesión: gd i j k z El gdiente es un vect que plicd un función escl ltnsfmenunfunción vectil: Función escl Vect Gdiente Función vectil SelfunciónesclF(,,z),el gdiente de est función es el vect: F F F gd F F i j k z Ejecici: Hll el gdiente de l función escl F=2 2 3z 2, en el punt ( 2, 1, -1 ). F 2 2 i 43z 2 j6zk 2 i 5j6k Vect gdiente en el punt ( 2, 1, -1 ) El vect gdiente indic l diección en que es máim l vición p unidd de lngitud de l función F pecines difeenciles GRADIENTE Si clculms el gdiente en un punt de un mp de isbs ( línes de igul pesión), btenems un vect que ns indic l diección en que es máim l vición de l pesión: Su módul seá tnt m cunt más junts estén ls isbs. Su diección es l de l máim pendiente. ientd en el sentid ceciente de ls isbs pependicul ls misms. B En el mp de isbs de l figu, ns fijms en ls punts A, B C definids p sus cdends ls que les cespnden vles de pesión, dibujms en ess punts ls cespndientes vectes gdiente. A C 22 22

12 8.3 pecines difeenciles DIVERGENCIA Divegenci se define cm el pduct escl del pe nbl p un función vectil: divv V i j k Vi V jvz k z V V Vz z El pe divegenci tnsfm un función vectil en un función escl: FUNCIÓN VECTRIAL Divegenci FUNCIÓN ESCALAR Ejecici: Hll l divegenci, en el punt ( 2, -2, 1 ), de l epesión vectil: V z i z j z k divv V i j k 2z i z j 2 z k z 3 2z Si l función vectil epesent un fluj de mtei, l divegenci indic cóm ví ese fluj de mtei (difeenci ente l que ent sle) en ls tes dieccines cespndientes ls ejes de cdends ctesins, es deci, p unidd de vlumen pecines difeenciles t V Rtcinl se define cm el pduct vectil del pe nbl p un función vectil: RTACINAL i j k V i j k Vi V jvz k z z V V Vz El tcinl de un cmp vectil indic l tendenci t del cmp. Es deci,esun cmp igul l ument ltel del cmp iginl p unidd de lngitud. Se ient según l egl de l mn deech V z i z j z k Ejecici: Hll el tcinl de l función vectil en el punt ( 2, 1, -1 ). t V V i j k z z z 2 z z i z 2 z z i z j z k 6 i 12 j k z j z 2 z k 3 2 2z z Vl del tcinl, en el punt (2, 2,1,,-1-1) 24 24

13 9.1 Cálcul vectil. Ejecicis 1. Dd el vect A 4i 3j 6k clcul: ) su módul, b) ls ánguls que fm cn ls ejes de cdends c) su vect uniti ves. 2. Dds ls vectes A3i 4j 5k Bi 2j 6k clcul: ) sus lngitudes, b) ls csens diectes del vect B, c) ls vectes sum difeenci, d) su pduct escl, e) el ángul fmd p mbs f) su pduct vectil. 3. Hll el mment del vect A 7i 11j k cu punt de plicción es `(3,5,2) espect del igen de cdends. 4. Dds ls vectes Hll el mment del vect A 1,2,0 B 2,1,1, clcul el ángul que fmn un vect pependicul mbs de lngitud Dds ls vectes A3i 2j B i 2j, clcul su pduct vectil cmpb que este es pependicul ls vectes dds. 6. Ls vectes A 6,0,0 B 4, 2,0, sn ls lds de un plelgm. Clcul su áe. 7. Un vect m tiene su igen espect de un ciet sistem de efeenci el punt m 1 (-1,0,2) de etem el punt m 2 (2,-3,0), clcul: ) ls cmpnentes del vect, b) su módul sus csens diectes, c) el vect uniti de m. Se t vect n de módul 5 csens diectes ppcinles (3,4,0), clcul, d) el ángul que fmn ls vectes mn, e) el áe del plelgm que fmn dichs vectes f) m n, mn, m, n 2m 8. Dd un fuez 2 3 F i j k ( N) plicd en el punt 3i 7 j ( m), clcul: ) el mment de l fuez espect del igen b) el mment de l fuez espect del punt (1,1,-2). 9. Qué difeenci eiste ente ls ptencis escles vectiles de un vect?. 10. Si un vect tiene módul cnstnte, su deivd puede n se nul. Eplícl cit un ejempl Cálcul vectil. Ejecicis Dds ls vectes At i t j 2t1k B2t2i j 3k, clcul p t = 1 ls siguientes epesines: da/, db/, d/ ( AB), d/ ( AdB/ ) 12. Hll l epesión nlític del vect velcidd del vect celeción clcul ls móduls de mbs vectes cund un ptícul se mueve l lg de l cuv de ecucines: = 3 cs2t, = 3 sen2t z = 5t. 13. Indic de l siguiente list que mgnitudes sn escles cuáles vectiles: ms, pes, cl específic, tbj, lngitud, ptenci, enegí, pesión, velcidd, intensidd de cmp eléctic, intensidd de ciente eléctic, intensidd de luz, tiemp, tempetu, densidd, celeción cntidd de mtei. 14. Un bjet se mueve en un ciet instnte cn un velcidd de 120 km/h fmnd un ángul de 30º cn l hizntl. Epes el vect velcidd en función de sus cmpnentes veticl hizntl. 15. Un bque está emnd sbe su bc queiend mntenese siempe pependicul l ill del i cuzl cn un velcidd medi de 36 km/h. Cn qué velcidd h de impuls l bc en qué diección si el gu del í flue cn un velcidd de 9 km/h?