DAD Y MAGNETISMO OPERADOR NABLA.

Transcripción

1 qwetuiopsdfghjklcvbnmqwetui opsdfghjklcvbnmqwetuiopsdfgh jklcvbnmqwetuiopsdfghjklcvb nmqwetuiopsdfghjklcvbnmqwe tuiopsdfghjklcvbnmqwetuiops NTECEDENTE DE ELECTRICIDD Y MGNETIMO OERDOR NBL. dfghjklcvbnmqwetuiopsdfghjkl cvbnmqwetuiopsdfghjklcvbnmq wetuiopsdfghjklcvbnmqwetuio psdfghjklcvbnmqwetuiopsdfghj klcvbnmqwetuiopsdfghjklcvbn mqwetuiopsdfghjklcvbnmqwet uiopsdfghjklcvbnmqwetuiopsdf ghjklcvbnmqwetuiopsdfghjklc vbnmqwetuiopsdfghjklcvbnmt uiopsdfghjklcvbnmqwetuiopsdf ghjklcvbnmqwetuiopsdfghjklc

2 Contenido OERDOR NBL.... GRDIENTE DE UN ECTOR DIERGENCI DE UN ECTOR Y TEOREM DE L DIERGENCI ROTCIONL DE UN ECTOR Y TEOREM DE TOKE LLCINO DE UN ECLR.... EJERCICIO Gdiente de un escl Divegenci de un vecto []

3 OERDOR NBL. El opedo NBL, el cul se escibe, es el opedo difeencil del vecto. En coodends ctesins, Este opedo difeencil del vecto, tmbién llmdo opedo gdiente, no es un vecto en sí mismo, peo cundo, po ejemplo, ope sobe un función escl, gene un vecto. Este opedo es útil p defini: El gdiente de un escl, el cul se escibe. L divegenci de un vecto, l cul se escibe. El otcionl de un vecto, el cul se escibe. El lplcino de un escl, el cul se escibe. obtene en téminos de, ϕ, se debe ecod que:, tn De hí que sen cos cos sen De lo nteio se obtiene, en coodends cilíndics. De igul fom, p obtene en téminos de téminos de, ϕ, usmos, tn tn obtene []

4 cos cos sen sen cos cos sen cos sen sen sen cos De lo nteio se obtiene como esultdo que en coodends esféics sen GRDIENTE DE UN ECTOR. El gdiente de un vecto escl es un vecto que epesent tnto l mgnitud como l diección de l máim pide de incemento espcil de. Un epesión mtemátic p este gdiente puede obtenese evlundo l difeenci en el cmpo d ente los puntos, donde, 3 son contonos en los que es constnte. Con bse en el cálculo, d d d d d De donde obtenemos G d G G cos d G cos d d d Donde es el desplmiento difeencil de es el ángulo ente G. De d d G cos se deduce que es máimo cundo ; esto es, cundo está en l diección de G. En consecuenci, d m d dn G [3]

5 d Donde es l deivd noml. sí, l mgnitud diección de G son ls de l dn máim pide de cmbio de. o definición tenemos que G es el gdiente de. De este modo: gd El gdiente de puede epesse en coodends ctesins, cilíndics esféics. De est fom podemos obtene lo siguiente: En coodends ctesins: En coodends cilíndics: En coodends esféics: sen Bsándonos en el cálculo, el gdiente se puede plic de l siguiente fom: ) ( U ) U b) ( U ) U U U U c) U U d) n n n Donde U son escles n es un enteo. Ls popieddes fundmentles del gdiente son ls siguientes:. L mgnitud de equivle l máim pide de cmbio en po unidd de distnci.. punt en l diección de l máim pide de cmbio en. 3. en culquie punto es pependicul l supeficie constnte que ps po ese punto. 4. L poección o componente de en l diección de un vecto unitio es se llm deivd dieccionl de lo lgo de. Ést es l pide de cmbio de en l diección de. 5. i, se dice que es el potencil escl de. [4]

6 DIERGENCI DE UN ECTOR Y TEOREM DE L DIERGENCI. L divegenci de en un punto ddo es el flujo hci fue po unidd de volumen medid que el volumen se conte lededo de. o tnto div lím v d v Donde v es el volumen encedo po l supeficie ced en l que se ubic. Físicmente l divegenci del cmpo vectoil en un punto ddo puede considese un medid del gdo en que ese cmpo divege o emn de tl punto. L divegenci de un cmpo vectoil en un punto es positiv cundo el vecto divege o se pt de. o lo contio cundo el vecto convege hci el punto, tenemos un cmpo vectoil con divegenci negtiv. Tmbién podemos obtene un cmpo vectoil con divegenci ceo hci un punto. d De l definición div lím se puede obtene un epesión p v v en coodends ctesins. upóngse que se dese evlu l divegenci de un cmpo vectoil en el punto (,, ); se que ese punto esté encedo po un volumen difeencil, como se muest en l figu. Figu. [5]

7 L integl de supeficie se obtiene de d d nteio osteio Iquiedo Deecho supeio inf eio Un desollo tidimensionl en seies de Tlo DE lededo de es: (,, ) (,, ) ( ) ( ) ( ) temonos de oden supeio especto del ldo nteio: d d dd d dd nteio Respecto l ldo posteio: d sí, d ( ) te min os de oden supeio d dd d dd nteio ( ) sí, d ( ) te min os de oden supeio En consecuenci d d ddd nteio osteio te min os de oden supeio iguiendo psos nálogos, obtenemos: d d ddd Iquiedo Deecho te min os de oden supeio Y d d ddd upeio Infeio te min os de oden supeio Considendo ls ecuciones nteioes sustituéndol en [6]

8 [7] v d v lím Y considendo que vddd, obtenemos en v d v lím uesto que los téminos de oden supeio tienden ceo confome v. En un sistem ctesino, sí, l divegenci de en un punto (,, ) está dd po: coodends cilíndics l divegenci de en un punto, esult: ( ) En Coodends esféics: ( ) ( ) sen sen sen Ls siguientes son ls popieddes de l divegenci de un cmpo vectoil:. oduce un cmpo escl ( que está implicdo el poducto escl). L divegenci de un escl, div, cece de sentido. 3. ( ) B B 4. ( ) Con bse en l definición de l divegenci de en l ecución v d v lím div, cbe espe que: v dv d Esto se conoce como teoem de l divegenci, o teoem de Guss-Ostogdsk.

9 El teoem de l divegenci estblece que el flujo totl hci fue de un cmpo vectoil tvés de l supeficie ced, equivle l integl de volumen de l divegenci de. compob el teoem de l divegenci, el volumen v se subdivide en gn númeo de pequeñs celds. i l celd de oden k tiene un volumen vk está cicunscit po l supeficie k. d k d d v v k k k k uesto que el flujo hci fue de un celd es p lguns celds vecins un flujo hci dento, h nulción en l supeficie inteio, de modo que l sum de ls integles de supeficie sobe l de k es igul l integl de supeficie sobe l supeficie. L dopción del límite del miembo deecho de l ecución d k d d vk l incopoción de l ecución k k vk d div lím esult en: v v v d dv Es deci, el teoem de l divegenci. Este teoem se plic todo volumen v cicunscito po l supeficie ced, siempe que sen continuos en l egión. ROTCIONL DE UN ECTOR Y TEOREM DE TOKE. e h definido l ciculción de un cmpo vectoil lededo de un tectoi ced L como l integl L El otcionl de es un vecto il cu mgnitud es l ciculción máim de po unidd de áe confome el áe tiende ceo cu diección es l diección noml de áe cundo el áe se oient de tl fom que de ello esult l ciculción máim. [8]

10 Esto es: L ot lím n m Donde el áe está cicunscit po l cuv L n es el vecto unitio noml l supeficie, el cul se detemin plicndo l egl de l mno deech. Figu. fin de obtene un epesión p pti de l definición L ot lím n, considéese el áe difeencil en el plno m de l figu. L integl de líne, de l definición, se obtiene de l siguiente fom: L ( ) b bc cd d e desolln entonces ls componentes del cmpo en desollo en seies de Tlo lededo del punto centl (,, ) se evlú l ecución. En el ldo b, d -d/, de modo que : d b (, ), d En el ldo bc, d d/, de modo que : d bc (, ), d [9]

11 [ ] En el ldo cd, d d/, de modo que : ( ) cd d d,, En el ldo d, d -d/, de modo que : ( ) d d d,, L sustitución de ls ecuciones nteioes en ( ) l d d cd bc b L considendo d d, esult que: ot o lím Y Y L ) ( Ls componentes del otcionl de pueden hllse de l mism mne, sí obtenemos: ot ot ) ( ) ( L definición de X es independiente del sistem de coodends. En coodends ctesins, el otcionl de se encuent fácilmente medinte: o

12 [ ] En coodends cilíndics: ( ) o En coodends esféics: ( ) ( ) ( ) sen sen sen o sen sen sen Ls siguientes son ls popieddes del otcionl:. El otcionl de un cmpo vectoil es oto cmpo vectoil.. El otcionl de un cmpo escl,, cece de sentido. 3. ( ) B B 4. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )B B B B B 5. ( ) 6. L divegenci del otcionl de un cmpo vectoil tiende ceo, esto es: ( ) 7. El otcionl del gdiente de un cmpo escl tiende ceo, esto es, El significdo físico del otcionl de un cmpo vectoil popocion el vlo máimo de l ciculción del cmpo po unidd de áe (o densidd de ciculción) e indic l diección lo lgo de l que ocue este vlo máimo. El otcionl de un cmpo

13 [ ] vectoil en un punto puede considese un medid de l ciculción o del gdo en que el cmpo gi lededo de. sí mismo, de l definición del otcionl de, cbe espe que: ( ) d L Esto se conoce como el teoem de TOKE. El teoem de tokes estblece que l ciculción de un cmpo vectoil lededo de un tectoi (ced) L es igul l integl de supeficie del otcionl de sobe l supeficie biet cicunscit po L, siempe que sen continuos en. LLCINO DE UN ECLR. El lplcino de un cmpo escl, el cul se escibe, es l divegenci del gdiente de.sí en coodends ctesins, lplcino Esto es, Nótese que el lplcino de un cmpo escl es oto cmpo escl. El lplcino de en coodends cilíndics es: Y en coodends esféics: sen sen sen e dice que un cmpo escl es mónico en un egión dd si su lplcino tiende ceo en es egión, es deci, si L ecución se llm ecución de LCE.

14 Como el opedo es un opedo escl, tmbién es posible defini el lplcino de un vecto. En este conteto no debe intepetse como l divegenci del gdiente de, lo cul cece de sentido, sino como el gdiente de l divegenci de menos el otcionl del otcionl de. Es deci: ( ) Est ecución puede plicse l cálculo de en culquie sistem de coodends, se en el sistem ctesino, solo en él, l ecución ( ) conviete en: ] [3

15 EJERCICIO. Gdiente de un escl..- Hlle el gdiente de los siguientes cmpos escles. ) e sencoshh b) U cos c) W sen cos olución: ) e coscosh b) U U U U U cos sen cos c) e sensenh e sencosh W W W W sen W sen cos sen cos sen sen.- ddo W clcule W 34 en (,-,). l deivd dieccionl dw/ en l diección olución. ] [4

16 W W W W W En (,-,), W o tnto, dw W l ,4, 44 ( 4, 8, ) ( ) 3 3 ( ) Divegenci de un vecto..- Detemine l divegenci de estos cmpos vectoiles. ) b) Q sen cos c) T cos sen cos cos olución. ) ( ) ( ) b) Q Q Q Q sen Q sen cos Q ( cos) ] [5

17 c) ( T sen ) T T sen T sen T sen cos cos sen T cos cos T sen sen ( cos ) sen cos ( cos ).- i G( ) e, detemine el flujo de G hci fue de l supeficie ente del cilindo,. olución. i ψ es el flujo de G tvés de l supeficie dd como se muest en l figu, entonces: Ψ G d Ψ Ψ Ψ t b s Donde Ψ Ψ Ψ t b s son los flujos tvés de l pte supeio, infeio supeficie cuv del cilindo. Respecto de Ψ,, d dd t. sí ] [6

18 Ψ G d π e d d e t Ψ πe t Respecto de Ψ,, d dd( ). sí b Ψ b G d b π e dd Ψ π b Respecto de Ψ,, d dd s. sí Ψ s G d s Ψ π e b En consecuenci: ( π ) ( π ) π e dd ( ) ( π ) Ψ Ψ Ψ Ψ π e π π e t b s e ] [7