ALGEBRA Y GEOMETRÍA I

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1 FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS, INGENIERÍA Y AGRIMENSURA ESCUELA DE FORMACIÓN BÁSICA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA ALGEBRA Y GEOMETRÍA I Rect en el plno Inecciones lineles en dos vibles Ricdo Sgistá Ptici Có Mónic del Sste M. Inés González Rúl Ktz Eic Pnell

2 Álgeb Geometí I L ect en el plno F.C.E.I.A.-U.N.R L ect en el plno - Intodcción Fijdo n sistem de coodends ctesins otogonles en el plno, cd pnto P le coesponde n único p odendo (,) de númeos eles ecípocmente cd p odendo (,) le coesponde n único pnto P del plno. Se estblece de este modo n coespondenci binívoc ente pntos del plno (elementos geométicos) pes odendos de númeos eles (elementos lgebicos). Decimos qe: (,) son ls coodends del pnto P es l bscis del pnto P es l odend del pnto P. P (,) - Lg geomético Fig. Se llm lg geomético (en el plno o el espcio) n conjnto de pntos (del plno o del espcio) qe cmplen con n o vis popieddes geométics. Son ejemplos de lges geométicos: El conjnto de todos los pntos P del plno (espcio) qe eqidistn de dos pntos fijos R Q. El conjnto de todos los pntos del plno (espcio) qe eqidistn de n pnto fijo C. Qé epesent en el plno cd no de los lges geométicos?. Dibj lgnos pntos de cd conjnto pede d encont l espest..- Ección de n lg geomético del plno Si (, ) son ls coodends de n pnto clqie de n lg geomético del plno, l popiedd o ls popieddes qe definen dicho lg se tdcen po lo genel n ección en ls vibles e qe llmmos ección ctesin del lg geomético ddo. Ejemplo : Hllemos l ección del lg geomético de los pntos qe eqidistn de los pntos Q ( 3,) R(,4) { P QP RP } A / () Sen (, ) ls coodends de n pnto P peteneciente A. Entonces ( 3, ) RP ( +, 4) QP. P A QP RP ( 3) ( 3) + ( ) + ( ) ( + ) ( + ) ( 4) + ( 4)

3 Álgeb Geometí I L ect en el plno F.C.E.I.A.-U.N.R o eqivlentemente + () Hemos pobdo qe todo pnto P de coodends (, ) qe petenece A veific l ección + ecípocmente todo pnto P cs coodends stisfcen + conjnto A. En este cso decimos qe + es l ección (ctesin) del lg geomético A. L ección () coesponde l ect meditiz del segmento detemindo po los pntos P Q., petenece l L ección (ctesin) de n lg geomético en el plno es n ección en ls vibles e, tl qe todo pnto P(,) del lg, l veific ó stisfce, ecípocmente todo pnto del plno cs coodends veificn l ección petenece l lg. Actividd : ) Petenece el pnto P de coodends (,) l lg geomético de ección ()?. Po qé? b) Encente ls coodends de cinco pntos qe petenecen l lg geomético. Ejemplo : Encontemos l ección del lg geomético de los pntos del plno qe se encentn 3 niddes del oigen de coodends. B { P / P se encent 3niddes del oigen de coodends } Si notmos con O l oigen de coodends con P(, ) n pnto bitio, entonces: P B OP 3 ( ) + ( ) (3) L ección (3) coesponde l lg geomético plntedo epesent n cicnfeenci con cento en (,) dio 3. (, 3 ) ( 3, ) Fig.

4 Álgeb Geometí I L ect en el plno F.C.E.I.A.-U.N.R Hemos pobdo qe todo pnto P de coodends (, ) qe petenece B veific l ección + 9, ecípocmente todo pnto P cs coodends stisfcen + 9 petenece l conjnto B. Lego: B { P(, ) / + 3 } Actividd : Cál es l ección del lg geomético de los pntos del plno qe petenecen l ect bisectiz : ) del pime tece cdnte? b) del segndo cto cdnte? 3. L ect como n lg geomético: Si P es n pnto fijo del plno n vecto no nlo, P el lg geomético ddo po: P { P P P // } { } : P Fig. 3 es el conjnto de todos los pntos del plno qe petenecen l ect qe contiene P es plel. 3. Ección vectoil de l ect en el plno Fijdo n sistem de coodends ctesins otogonles en el plno con l bse { j } ddos n pnto, ) l diección de. P n vecto ( i, socid, (, ), eiste n únic ect qe contiene P tiene P P P // o P P P P t p n cieto R t. P P { P(, ) / P P t ; R} t j i Fig. 4 L ección: P P t ; t R ecibe el nombe de Ección vectoil de l ect. Como OP OP + P P, ó P P OP OP, dich ección se pede escibi: OP OP t OP OP + t, t R o bien: (4), P descibi l ect sndo est ección es necesio tene como dtos n pnto P de l ect n vecto plelo l mism. 3

5 Álgeb Geometí I L ect en el plno F.C.E.I.A.-U.N.R En pticl, si l ect contiene l oigen de coodends podemos elegi P (,) l ección (4) se tnsfom en: OP t, t R (5) Anlicemos el significdo geomético del pámeto t qe pece en l ección vectoil P P t : P P t en consecenci: P P t t, t P P dist ( P, P ) El pámeto t, en vlo bsolto, eslt popocionl l distnci ente el pnto P(,) de l ect qe se obtiene p ese vlo de t el pnto fijo P. En pticl si, entonces t es dich distnci. Obsevmos qe p cd vlo de t qed detemindo n pnto P ecípocmente. L vible t se denomin pámeto no se epesent sobe n eje. Si en l ección (4) eplicitmos ls componentes, se tiene: de modo qe: (, ) (, ) + t ( ) t R, (, ) ( + t + t ),, L igldd ente vectoes implic: + t + t t R Ls ecciones obtenids se denominn: Ecciones pmétics de l ect (6) coodends de n pnto de l ect componentes de n vecto plelo l ect A se los llm coeficientes diectoes de l ect. Estos coeficientes no son únicos qe h infinitos vectoes con l mism diección qe. Si en pticl elegimos n vecto de módlo no (veso) los coeficientes diectoes eciben el nombe de cosenos diectoes de l ect. Actividd 3: ) Escib ls ecciones pmétics de n ect qe conteng l oigen de coodends. Qé epesent en este cso el pámeto t? ) Encente ls ecciones pmétics de l ect qe es plel l vecto (,) contiene l pnto (,3). 4

6 Álgeb Geometí I L ect en el plno F.C.E.I.A.-U.N.R 3) Hlle ls ecciones pmétics de l ect qe contiene l pnto Q(-3,) es: ) plel l eje. b) plel l eje. Gfiqe mbs ects. 4) Sen t R, ls ecciones pmétics de n ect. + t 4t ) Los pntos P (,5) Q (3,-) petenecen? b) P qé vlo del pámeto t se obtiene el pnto (-,7)? c) P qé vloes de t se obtienen los pntos del segmento detemindo po ls intesecciones de l ect con los ejes coodendos? d) Clcle el áe el tiánglo qe fom l ect con los ejes coodendos. e) Escib ots ecciones pmétics de l mism ect. 3.3 Ección genel de l ect en el plno Si de ls ecciones pmétics (6), obtenemos: t, Opendo lgebicmente eslt: ( (con : t de donde ) ( ) ) despejmos el pámeto t (7) + ( ) Si eemplzmos po, po b, ( ) po c, obtenemos l ección: ) + b + c, qe llmmos: Ección Genel de l ect (8) Est es n ección de pime gdo o linel en ls vibles e. Ls vibles e simbolizn ls coodends de n pnto clqie de l ect. Asimismo, clqie pnto del plno de coodends (, ) qe veific l ección (8) petenece l ect. A los númeos, b c se los llm coeficientes de l ección, en pticl c se lo denomin témino independiente de l ección, peo qé significn geométicmente? P encont espest est pegnt le poponemos qe gfiqe en n mismo sistem de n (, b). coodends el vecto (, ) (vecto plelo l ect) el vecto ( ), Cómo son n? Veifiqe nlíticmente. 5

7 Álgeb Geometí I L ect en el plno F.C.E.I.A.-U.N.R Hech est veificción, podemos fim qe el vecto n (, b) es n vecto pependicl (o noml) l diección de l ect. Po este motivo n se lo llm vecto noml l ect. Encontmos n significdo geomético p el p (, b), Bsqemos ho signific geométicmente el coeficiente c. De l ección (8) se tiene qe: c + b (, b) (, ) n OP P (,) de donde: ( b) ( ) n OP c + b,, n OP cos n, OP n d (, ) n d (, ) j i Fig. 5 donde d (, ) simboliz l distnci de l ect l oigen de coodends. (Obsevción: el concepto de distnci de n pnto n ect seá pecisdo más delnte) Si n, entonces c es l distnci del oigen de coodends l ect. Es deci, cndo en l ección genel de n ect los coeficientes de l de l son ls componentes de n veso noml l ect entonces el vlo bsolto del témino independiente es igl l distnci del oigen de coodends l mism. Si n : c n d (, O ) es popocionl l distnci de l ect l oigen. Siendo c c, eslt: c c d(,o ) n d(,o ) si si n n Actividd 4: ) Escib l ección genel de n ect qe conteng l oigen de coodends. ) Cómo son ls posiciones eltivs ente ls ects de ecciones + b con c? + b + c, 3) Hlle l ección genel de n ect gfíqel, si l mism cmple ls sigientes condiciones: ) es plel l eje. b) es plel l eje contiene l oigen de coodends. c) es plel l eje. d) es plel l eje contiene l oigen de coodends. 4) Si en l ección + b + c, es ; b, qé pntos del plno l veificn? 6

8 Álgeb Geometí I L ect en el plno F.C.E.I.A.-U.N.R 5) Dd l ección de l ect + 3, indiqe si los pntos P (-3,-3) P (4,-) petenecen o no ell. Detemine ls coodends de los pntos de intesección de l mism con los ejes coodendos. Repesente gáficmente. + 3t t 6) Dd l ect ) t R, ) epesente gáficmente, b) hlle s ección genel, c) encente l ect pependicl l dd qe conteng l oigen de coodends. 3.4 Ección segmenti de l ect Si + b + c con, b c, entonces + b c. Dividiendo mbos miembos po ( c) eslt: Si llmmos c b c + c p c c b o bien: + c con p q espectivmente, obtenemos l ección: b + q, qe llmmos: Ección segmenti de l ect (9) (, b ) A pti de l ección (9) es fácil detemin los pntos en qe l ect intecept los ejes coodendos. Dichos pntos de mestn en el sigiente gáfico: (, q ) ( p, ) Fig. 6 Qé pticlidd tienen ls ects en cs ecciones, b c? Cndo l ect contiene el oigen de coodends, (c ), no es posible epesl en segmenti. fom Actividd 5: ) ) Hlle l ección segmenti de l ect 3 5. b) Encente ls coodends de los pntos de intesección con los ejes coodendos epesente gáficmente. 7

9 Álgeb Geometí I L ect en el plno F.C.E.I.A.-U.N.R ) Hlle l ección segmenti de l ect qe contiene los pntos (, 5) (-3, ). Repesente gáficmente l mism. 3.5 Ección eplícit de l ect. Si de l ección genel + b + c (con b ) despejmos l vible, obtenemos l sigiente ección: Llmndo b c con m h espectivmente, eslt: b b m + h c b, qe llmmos Ección eplícit de l ect () Qé pticlidd tienen ls ects en cs ecciones es b? Vemos el significdo geomético de los coeficientes m h. Significdo de h: En () p, eslt h. Esto indic qe h es l odend del pnto de intesección de l ect con el eje. Po ello ecibe el nombe de odend l oigen de l ect. En cnto l significdo del coeficiente m: En l Fig. 7 se obsev qe fom n ánglo α m+h R(,m+h) con el semieje positivo. Considendo el tiánglo ectánglo detemindo po los pntos P (,h), Q (,h) R (, m+h), tenemos qe: P(,h) α (m+h) - h m Q(,h) ct.op. ( m + h ) h m tg ct.d. * α m α ( α < π ) (* sponemos qe ls niddes de mbos ejes e son igles) Lego el vlo de m es l tngente tigonométic del ángloα fomdo po l ect el sentido positivo del eje. Po est zón, se lo llm pendiente de l ect o coeficiente ngl de l mism. h Fig. 7 Actividd 6: π α < ) Al nliz el significdo de m tvimos en cent qe ( ). Lleg l mism conclsión si el ánglo α qe fom l ect con el sentido positivo del eje es tl qe π < α π Sgeenci: ecede l elción ente los vloes de ls tngentes de ánglos splementios. ) Le poponemos qe tbje sobe los sigientes csos pticles: ) Escib l fom eplícit de l ección de n ect qe contiene l oigen de coodends. 8?

10 Álgeb Geometí I L ect en el plno F.C.E.I.A.-U.N.R b) Cál es l fom eplícit de l ección de n ect cndo m? En qé posición eltiv los ejes coodendos se encent? Gfiqe. c) Anlice po qé no es posible escibi l ección eplícit de n ect plel l eje. d) Si n ect bisec l pime tece cdnte, cál es s ección eplícit?, si bisec l segndo cto cdnte? Gfiqe mbs ects. 3) Conociendo ls coodends de dos pntos del plno P, ) P (, ), obteng l ección ( eplícit de l ect qe contiene estos dos pntos (considee ). 4) Escib l ección eplícit de l ect qe contiene A(,3) fom n ánglo de º con el eje. 5) Hlle l ección eplícit de l ect qe contiene los pntos P (, -3 ) P (, 5 ). 4. Ánglo ente dos ects Si dos ects son plels o coincidentes, entonces el ánglo ente ls misms es ceo. Si se cotn en n pnto entonces fomn cto ánglos. Dos clesqie de ellos o son opestos po el vétice o splementios. Conocidos n n vectoes pependicles (o vectoes plelos si se tbj con ls ecciones α n, n pmétics) espectivmente, no de los ánglos detemindo po ls ects es el oto s splementio: ( π α ). Si ls ecciones de ls ects son + b + c ) + b + c entonces cos n n ) α, donde n (, b ) n (, b ) n n n α α n Fig. 8 Ejemplo 3: Vmos encont no de los ánglos qe fomn ls ects ) ) - 5-3: n, 5) n (, 5), ( (, 5 ) (, 5 ) 7 cosα α º Condición de pependiclidd ente dos ects π n n n n, n, n () 9

11 Álgeb Geometí I L ect en el plno F.C.E.I.A.-U.N.R Si ls ects están epesds po s ección genel l condición () se tdce : + b b Si ls ecciones de ls ects están dds en fom eplícit, ) m + h ) m + h, ( m ;m ) se pede pob qe l condición () qed epesd como: m m ( ) Anlice los csos m o m. 4. Condición de plelismo ente dos ects // n // n α / n α n () Si ls ects están epesds medinte ss ecciones geneles, l condición () se tdce en: α ; b α b Si b no son nlos, entonces: b // n // n b Qé condiciones deben cmpli los coeficientes de ls ecciones de dos ects, dds en fom genel, p qe eslten coincidentes? Si ls ecciones de ls ects están dds en fom eplícit entonces: // m m (`) Ejemplo 4: Dd ls ects de ecciones: )3 + 4 ) ) ) b) ) es pependicl ) coincide con ) 3 ) ) + 7 pes (-3 ). pes

12 Álgeb Geometí I L ect en el plno F.C.E.I.A.-U.N.R c) ) es plel ) pes Le poponemos qe epese ls ecciones dds en fom eplícit veifiqe lego ls fimciones ), b) c). Actividd 7: ) Hlle el ánglo gdo qe fomn ls ects: b) + + ) ) + + ) 3 ) ) 3 ) + 3 ) ) Dds ls ects +, nlice si son o no plels. 3) Dds s ) t) 3 +, ) encente el ánglo gdo ente ells. b) hlle l ección de l ect qe contiene l intesección de mbs fom n ánglo de 6º con el semieje positivo. 4) Pebe l condición ( ) con l sigiente d: m tg α m tg β β 9º+α β α α Fig Distnci de n pnto n ect L distnci de n pnto n ect es l longitd del segmento detemindo po el pnto po el pie de l pependicl tzd desde el pnto l ect. Dd l ect de ección ) + b + c el pnto, ) P : ( ) si P entonces d (P, ). P o n P P, b) Si P (, ) entonces: d (P, ) siendo P, ) clqie pnto de. ( P o n P P n P Ls coodends de P, ) veificn l ección de ( P d (P, ) l ect, esto es: Fig.

13 Álgeb Geometí I L ect en el plno F.C.E.I.A.-U.N.R + b + c, lego c + b ). (*) ( P o n P P Hbímos visto qe: ( P P n ). n. P o n P P ( P P n ). n P P n n Lego P n P. En consecenci: P o n P P P P n d (P, ) (3) b Como P P (, ) n (, ) + b + b d ( P, ) P P n, eemplzndo en (3) eslt: b b + + b + b + b + b + b + b + ( + b ) + b b + b (*) ( + b + b + c + b + b + b + b + b ) + c Le poponemos qe epese ls distncis de P ) ), cndo: ) b ; P + (, ) b) ) + b + c P + b + c Obsevción: Ls ecciones + b + c son eqivlentes (po lo tnto epesentn n mism ect). + b + b + c L ección + b se llm Ección nomlizd d l ect. Los coeficientes qe mltiplicn ls vibles e son ls componentes de n veso pependicl l ect.

14 Álgeb Geometí I L ect en el plno F.C.E.I.A.-U.N.R El témino independiente, de cedo lo obtenido en l popest b) epesent, slvo el signo, l distnci de l ect l oigen de coodends. 6. Distnci ente dos ects plels L distnci ente dos ects plels es l longitd del segmento detemindo po los pntos de intesección de mbs con n ect pependicl ells. P hll d (, ) bst conside n pnto de n de ls ects clcl s distnci l ot ect. d (, ) Fig. Actividd 8: ) Hlle l distnci del pnto P (-, 4) l ect ) Anlice si ls sigientes ects son plels. En cso de selo, encente l distnci ente ells: ) 3 ) 5 3 3) Los pntos A (,3) B (6,4) son vétices de n ectánglo. Hlle ls coodends de los otos vétices, sbiendo qe n de ls digonles está contenid en l ect de ecciones: + 3t 3 + 5t t R. 4) Ddos los pntos R (9,-9), S (,) T (3,), hlle ls coodends del pnto simético R, especto de l ect detemind po S T. 7. Intesección de ects Dds ls ects: ) + b + c ) + b + c deteminemos el conjnto fomdo po los pntos de intesección de mbs ects. 3

15 Álgeb Geometí I L ect en el plno F.C.E.I.A.-U.N.R Geométicmente pede dse sólo lgn de ests tes sitciones: P(, ) { P, )} / ( Rects plels ects secntes ects coincidentes Fig. Vemos qe: { P, ) / + b + c } { P (, ) / + b + c } ( { P, ) / + b + c + b + c } ( Po lo tnto P(, ) petenece si sólo si ss coodends veificn el sistem: + b + c + b + c (4) De est mne, el poblem geomético de detemin n sistem de dos ecciones lineles con dos incógnits. se tdce nlíticmente en esolve Es sencillo pedeci el tipo de solción del sistem (4) po simple inspección de los coeficientes de mbs ecciones. Esto es: si se veific qe si solción). α b α b c α c α b α b c α c ls ects esltn plels el sistem es incomptible (o no tiene entonces ls ecciones son eqivlentes, es deci epesentn l mism ect po lo tnto el sistem es comptible con infinits solciones. Ls misms esltn se ls coodends de todos los pntos qe stisfcen n clqie de ls dos ecciones dds. b b si se veific qe n únic solción. ls ects son secntes (compébelo) el sistem es comptible con Ejemplo 5: Encontemos, de se posible, ls coodends del pnto intesección de ls sigientes ects: 4

16 Álgeb Geometí I L ect en el plno F.C.E.I.A.-U.N.R Como 3 ) + t) ls ects son secntes po lo tnto se cotn en n pnto. P hll ls coodends del mismo podemos tiliz clqie método de esolción de sistems de ecciones, po ejemplo el de sstitción: De l pime ección eslt: (*). Reemplzndo po (*) en l segnd ección, qed 3 ( ) Reemplzndo en (*) el vlo clcldo p, se tiene qe Lego:, , de donde eslt qe Le poponemos qe elice l epesentción gáfic de mbs ects veifiqe l solción encontd. Actividd 9: Hlle, si es posible, el conjnto intesección de los sigientes pes de ects: ) + ; b) 3 6 ; 6 c) + 5; + 8. Inecciones lineles El conjnto { P (, ) / + b + c } está fomdo po los pntos de n ect c diección es pependicl l del vecto n (, b). Est ect divide l plno en dos semiplnos ecibe el nombe de ect fonte. Pobemos qe los conjntos: n (, b ) A { (, ) / + b + c > } P B { P (, ) / + b + c < } Fig. 3 se coesponden espectivmente con cd no de los semiplnos ntedichos. P ello consideemos l ect ) + b + c, los pntos P ) P (, ) (, P P, los vectoes fijos P P (, ) n (, b) (mbos con oigen en En l Fig. obsevmos qe peden pesentse dos sitciones:, donde P ). 5

17 Álgeb Geometí I L ect en el plno F.C.E.I.A.-U.N.R () los vectoes (b) los vectoes P P n están en el mismo semiplno. P P n no están en el mismo semiplno. P (, ) P o n P P n (, b) n (, b) P, ) P (, ) P, ) ( ( P o n P P () Fig. 4 (b) En el cso () los vectoes n opestos. P P P tienen igl sentido, mients qe en el (b) tienen sentidos o n P log nesto objetivo clclemos el podcto escl: Po ot pte, como P P n P (, + b ( P P ) (, b) ( + b ), eslt qe + b + c n ) + b ( ), po lo tnto P P n + b + c. El podcto escl clcldo es igl l pime miembo de ls inecciones qe pecen cndo se desciben los conjntos A B. Cndo los vectoes n P P P tienen igl sentido, P P n fomn n ánglo gdo, po lo tnto: o n P P n + b + c >. Cndo los vectoes n P o n P P tienen distinto sentido entonces P P n + b + c <. L igldd: P P n + b + c no pede dse ddo qe P no es n pnto de l ect. En síntesis: { P, ) / n P o P P tienen igl sentido } { P(, ) / P P > } ( n n { P, ) / n P o P P tienen distinto sentido } { P(, ) / P P < } ( n n A B Po lo dicho obsevndo l Fig 4 podemos concli qe el semiplno qe se coesponde con el conjnto A es qel qe contiene l etemo del vecto noml n (cndo s oigen está bicdo en l ect) el semiplno qe se coesponde con el conjnto B es qel qe no contiene dicho etemo. 6

18 Álgeb Geometí I L ect en el plno F.C.E.I.A.-U.N.R Los pntos de l ect no petenecen ningno de los dos conjntos. Si en A en B cmbimos los símbolos > < po, espectivmente, los pntos de l ect fonte qedn inclidos en mbos conjntos. Ejemplo 6: Deteminemos los pntos P(, ) del plno cs coodends stisfcen l inección: + 3 > Dibjmos l ect + 3 n todos los pntos del semiplno qe se epesent en l fig. s vecto noml (,3). L solción de l inección son n (,3) (, /3) Fig. 5 (/, ) Obsevciones: ) En l páctic podemos s n método sencillo qe consiste en nliz si n pnto clqie del plno, qe no petenezc l ect, veific l inección plnted. Volvmos l ejemplo nteio tomemos como pnto de peb l oigen de coodends. Vemos qe l inección plnted en el ejemplo no se stisfce p e qe. 3. < +, es flso. Entonces (,) no petenece l conjnto solción de l inección, lo qe nos pemite fim qe dicho conjnto eslt se el semiplno qe no contiene l oigen de coodends. ) Si en ejemplo nteio sstitimos el > po el el conjnto solción qedá detemindo po el semiplno l ect fonte. 9. Sistems de inecciones lineles en dos vibles Nos poponemos epesent gáficmente l egión del plno fomd po todos los pntos cs coodends stisfgn simltánemente dos o más inecciones lineles, es deci, n sistem de inecciones lineles. Dich egión está fomd po l intesección de dos o más semiplnos, epesentdos cd no de ellos po n de ls inecciones dds. Ejemplo 7: Repesentemos l egión R del plno solción del sigiente sistem de inecciones lineles:

19 Álgeb Geometí I L ect en el plno F.C.E.I.A.-U.N.R { P(, ) / ; ; + 3 6} R R pede se epesdo como l intesección de tes conjntos de pntos: { P(, ) / } { P(, ) / } { P(, ) / + 3 6} R Notemos qe cd no de esos tes conjntos epesent n semiplno (obseve fig 3): el pime conjnto define el semiplno l deech especto del eje o (inclido dicho eje). el segndo conjnto descibe el semiplno speio especto l eje o (inclido dicho eje). el tece conjnto se coesponde con el semiplno qe qed detemindo po l ect qe contiene l oigen de coodends. L ect fonte está contenid en este conjnto. (,) n (,3) (3,) Fig. 6 L intesección de los semiplnos eslt se el tiánglo ABC (Fig. 6); es deci, R es el conjnto de los pntos del plno qe petenecen l egión limitd po los ldos del tiánglo (inclidos éstos). Po este motivo R se dice n conjnto cedo. B (,) n (,3) A R C (3,) Fig. 7 Se debe dveti qe n sistem de inecciones lineles pede tene como conjnto solción n egión del plno no cotd o no tene solción (incomptible). Actividd : Repesente gáficmente, si es posible, el conjnto solción de los sigientes sistems de inecciones lineles: 8

20 Álgeb Geometí I L ect en el plno F.C.E.I.A.-U.N.R ) b) 5 5 c) d) Ejecicios dicionles ) Repesente gáficmente ls sigientes ects: ) 3 4 b) c) / / 3 ) En cd cso, escib n ección p l ect qe cmple con ls condiciones pedids epesente gáficmente. ) Contiene los pntos A(, ) B(3, 4). b) Contiene l pnto A(5, 3) es plel l eje. c) Es pependicl l ect cot l eje en el pnto (, ). d) Es plel l ect qe ps po los pntos P (, -3) Q (, ) cot l eje en el pnto (-, ). 3) ) Hlle ls ecciones pmétics de l ect qe contiene l pnto A(-,) es plel l vecto (-.3). b) Detemine si el pnto B(-4, ) petenece l ect. c) A pti de ls ecciones obtenids en ) elimine el pámeto hlle n ección genel p. 4) En cd cso nlice si ls ects son plels o pependicles ente sí, o clcle el ánglo gdo qe fomn: ) + 3 ; b) + 5 ; + 3 c) + + ; 3/ 3/4 d) + - ; + 3 5) Hlle l ección de n ect qe diste niddes del oigen se plel l ect de ección Eiste únic solción? Repesente gáficmente. 6) Ddos los pntos A(-3,), B(-,) C(,b); qé vlo debe tom b p qe los tes pntos petenezcn n mism ect? 7) Considee el pnto A(,3) l ect detemind po los pntos B(,) C(3,). Epese medinte n inección el semiplno detemindo po qe contiene l pnto A, inclendo los pntos de. 8) Cd no de los pntos A(,3) B(-,) fom con el oigen de coodends dos ects. Detemine si el pnto C(-,3) petenece l ect bisectiz de lgno de los ánglos fomdos po ells. 9) L intesección de ) ) l ect bisectiz del ánglo gdo qe fomn mbs ects. es el pnto Q(3,). Ddos los pntos R(5,) de ) S(-,) de ), hlle 9

21 Álgeb Geometí I L ect en el plno F.C.E.I.A.-U.N.R ) Los pntos A(4,5); B(,) C(6,) deteminn el tiánglo ABC. ) Clcle: i) l medid de ss ánglos inteioes, ii) l lt coespondiente l ldo AB, iii) s áe. ) Escib n sistem de inecciones lineles co conjnto solción sen los pntos del tiánglo ABC. ) Dd l ect de ección +, qé distnci se encent del pnto C(4,7)? ) ) Ddos los pntos A(3,) B(4,) detemine n ección de l ect qe los contiene ot p l ect plel qe contiene C(,6). b) Detemine n ección de l ect qe contiene B C del ítem ) ot p l ect plel qe contiene A. c) Hlle el peímeto de l fig qe eslt. 3) Ddos los pntos A(5,-) B(,) detemine l ect qe los contiene l ect pependicl ell qe ps po el pnto medio del segmento AB. 4) Hlle ls ecciones pmétics de l ect qe contiene l pnto P(3,4) qe es pependicl l ect detemind po el pnto C(,5) el oigen de coodends. 5) Hlle l ección de l ect qe contiene l pnto (3,) fom n ánglo de 35º con el sentido positivo del eje. 6) Spongmos bic n p de ejes coodendos sobe n mes de pool de mne qe n ánglo de l mism qede podo en el oigen ss ldos sobe los ejes. De est fom podemos dle cd bol n bicción tl como lo hcemos con los pntos en el plno. Así, n bol bicd en el pnto (3/,) mc s tectoi chocndo en el pnto (,5) (sobe no de los ldos de l mes) entndo en n hoo sitdo en el pnto (3,). Cál es el ánglo descipto po l tectoi? 7) ) Epese tvés de n sistem de inecciones lineles, l egión tingl qe qed detemind po ls sigientes ects. Gfiqe dich egión. w) s) ) + t t t R b) Clcle el pnto de intesección ente ) w). Llámelo P. c) Clcle l distnci del pnto P l ect s). d) Detemine el áe del tiánglo fomdo. ) Sen + b + c + b + c (, pnto P ). ls ecciones de dos ects qe se cotn en el

22 Álgeb Geometí I L ect en el plno F.C.E.I.A.-U.N.R ) Pebe qe p cd k R ( + b + c ) + k ( + b + c ) ección de n ect qe contiene l pnto P, )., ( epesent l ) En cd cso, hlle l ección de l ect qe contiene l pnto de intesección de ) ) ) contiene l pnto A (-3, - 5). b) es plel l ect c) es pependicl l ect qe demás: ) Detemine p qé vloes de k R, l ect de ección: ( k ) + (4 k) 3k 5 ) es plel s) b) contiene l oigen de coodends. c) es pependicl l ect t ) 3 +. d) contiene l pnto P(-,3). 3) Hlle l ección de l ect qe contiene l pnto A(4,) fom con los ejes coodendos n tiánglo de áe 8. 4) Detemine ls coodends de los pntos qe están distnci 3 del pnto A(,-) petenecen l ect de ección: + t ) t t R 5) Epese, medinte n sistem de inecciones lineles en e, el conjnto T de pntos del plno (inclid s fonte) ) (,4) (3,4) 4 (,) T 3 3º (3,)

23 Álgeb Geometí I L ect en el plno F.C.E.I.A.-U.N.R b) (,8) 3 // 3 α º 4 T α (3,) (6,)