Ejercicios resueltos de Geometría Afín Euclídea

Transcripción

1 IES Ramón Gialdo Ejecicios esueltos de Geometía Afín Euclídea Dados los planos xyz0 y yz 0, encuenta azonadamente la ecuación geneal o implícita de la ecta paalela a los planos y que pase po el punto P0,,, sabiendo que y son secantes xyz0 La ecta está deteminada po el vecto diecto de la ecta y z 0 P 0,, El vecto diecto de la ecta es: u det 4i jk 4,, 0 Po tanto, la ecuación continua de la ecta pedida es: x y z s 4 y, como consecuencia, la ecuación geneal o implícita es: x y 4 x 4y40 s s y z yz50 y el punto Dado el punto P,0, y las ectas x y z x yz40 y s 0 x z 0 Encuenta azonadamente la ecuación geneal del plano que pasando po P es paalelo a y s El plano está deteminado po el punto P y po los vectoes diectoes de las ectas: Pu,, us La ecuación geneal del plano es: x det y 0 xzz y 0 x yz 0 z 0 De ota foma : El plano está deteminado po P y po el vecto nomal n uus El vecto nomal es: nuus det 0ikk j,, ipi

2 IES Ramón Gialdo Po tanto, el plano es de la foma x yzd 0 P, 0, : Imponiendo que 0D 0 D Así, la ecuación del plano es: x yz 0 x yz Dada la ecta x z P,, pasa po el punto, da la ecuación implícita del plano pependicula a que El plano tiene como vecto nomal, el vecto diecto de la ecta, y el punto P n u det,, 0 Así, la ecuación nomal del plano es: n PX 0 donde X es un punto genéico del plano,, x, y, z 0 x y z 0 xyz6 0 xyz x y 0 4 Dadas las ectas y s, da la ecuación implícita de un x yz xyz plano que contenga a y s El plano está deteminado po P (punto de intesección de y s) y po los vectoes diectoes de las ectas Pu,, us Calculamos el punto de intesección de y s: xyz yyz yz x y z y yz yz x y 0 xy yyz yz xyz De : z 0 z 0 Sustituyendo en []: yz y Como xyz x Po tanto, el punto de cote es P,, 0 y el plano pedido es: x 5 y 4 04xy5z4zx5y0 xyz 0 z ipi

3 IES Ramón Gialdo xz 5 Dados el plano x y 4 y la ecta, da la ecuación implícita de un x yz 0 plano ' que contenga a y cote pependiculamente a El plano ' está deteminado po R, po el vecto diecto de la ecta y po el vecto nomal del plano: R R0,, ' u,, n,, 0 Así: x ' y 0yzzx0 ' x y0 z 0 x 6 Sea y con z ecuación implícita de un plano de ambos planos sea una ecta contenida en el plano xyz 7 Obtén la ' que cote pependiculamente a, de modo que la intesección El plano ' es aquel que, peteneciendo al haz de planos geneados po la ecta, tenga vecto nomal pependicula al plano Hallamos las ecuaciones implícitas de la ecta: x x y x z xz0 y con z y z yz0 z La ecuación del haz de ectas es: xz yz 0 Como consecuencia la ecuación del haz de planos es (efectuando opeaciones): H xy z 0 Los vectoes nomales de y de H son: n,, nh,, y como tienen que se pependiculaes: n n H 0,,,, 00 Sustituyendo en la ecuación de H obtenemos la ecuación del plano pedido: ' xz 0 7 Dados los planos xyz 0 y x yz 4, obtén unas ecuaciones paaméticas de la ecta paalela a y a que pasa po el punto P,, ipi

4 IES Ramón Gialdo La ecta que nos piden está deteminada po P,, y el vecto u n n Calculamos el vecto diecto de la ecta: u n n 8i j k 4k i 4j 9i 6j k 9,6, 4 Po tanto, las ecuaciones paaméticas de la ecta pedida son: x 9 y 6 con z 8 Dados el plano yz y la ecta x y con, da unas ecuaciones z paaméticas de la ecta s paalela a que cota a pependiculamente en el punto P 0,, La ecta que nos piden está deteminada po 0,, P y el vecto us n u Calculamos el vecto diecto de la ecta: us n n 0 i jk,, Po tanto, las ecuaciones paaméticas de la ecta pedida son: x 9 s y con z 9 Dados los planos xyz0 y yz 0, encuenta azonadamente la ecuación geneal o implícita de la ecta paalela a los planos y que pase po el punto P 0,, La ecta que nos piden está deteminada po 0,, P y el vecto u n u Calculamos el vecto diecto de la ecta: u n n iki j 4,, 0 Po tanto, la ecuación continua de la ecta pedida es: 4 ipi

5 IES Ramón Gialdo x y z = = 4 y sus ecuaciones geneales o implícitas: x 4y40 y z50 x y z x yz40 0 Dado el punto P,0, y las ectas y s, 0 x z 0 encuenta azonadamente la ecuación geneal del plano que pasando po P es paalelo a y a s El plano que nos piden está deteminado po,0, nomal) P y el vecto n n us (como vecto s Calculamos el vecto nomal: n n u 0 i k k j,, Así, la ecuación nomal del plano pedido es: x, y0, z,, 0 x yz 0 x yz 0 De ota foma :,, 0 y,, El plano que nos piden está deteminado po P,0, y los vectoes u u La ecuación del plano pedido es: x y 0xzz y 0 x yz0 z 0 s 5 ipi