Coeficientes de Influencia

Transcripción

1 Coeficietes de Ifluecia 5

2 Cetémoos ahoa e la maea de obtee los coeficietes de ifluecia. E uesto caso esto se educe al cálculo de las itegales d k ik elemeto _ k d ik σ, σ σ sobe elemeto _ k k elemeto _ k d ik u tiágulo geéico defiido po las coodeadas,, de cada vétice. Se pesetaá dos métodos de esolució: el de Hess Smith el de Newma. Ambos métodos coduce a solucioes aalíticas de las itegales ealmete so equivaletes, salvo po la mao geealidad del método de Newma su mao facilidad a la hoa de pogamalo de etedelo a itegales co témios lieales, bilieales de cualquie gado. Cometaemos ambos métodos paa el desaollo de la pimea itegal, si témios lieales posteiomete ampliaemos los esultados de Newma paa las itegales co témios lieales. k El método de paeles implemetado e el pesete poecto usa picipalmete el método de Newma, auque se utilió el método de Hess paa cálculos sobe la estela dode el potecial se distibue de foma cotiua sobe los elemetos. Método de Hess Smith La pimea itegal puede poese de la siguiete foma: elemeto _ k ( ) dσ k d d (4.) / elemeto _ k [( ) ( ) ] A cotiuació se taduce [7] paa facilita la compesió del lecto. Dicho atículo se ecueta aquí de foma pacial, cetádoos úicamete e la obteció de los coeficietes de ifluecia. 5

3 E esta ecuació (,,) so las coodeadas del puto dode hemos colocado la sigulaidad (puto P). La distacia ete este puto u puto geéico del plao (,,) viee dada po. P(,,) (, ) (, ) (, ) Ilustació : Elemeto tiagula, umeació de los vétices Obsévese que el ode de los vétices es favoable al setido de las agujas del eloj a difeecia de uesto sistema de ogaiació de los elemetos, es ecesaio eodealos ates de pocede a la itegació. Vamos a ealia la itegal segú el pocedimieto seguido e [7]. E este caso lo que se obtiee es el coeficiete de ifluecia coespodiete a ua distibució uifome ( de itesidad uidad) de maatiales sobe el pael. El coeficiete de ifluecia coespodiete a dobletes puede obteese po deivació. elemeto d σ dd (4.) elemeto ( ) ( ) 5

4 Paa la itegació se adopta u sistema de coodeadas cilídico, cuo eje es paalelo al sistema de efeecia local del pael. El águlo θ es ceciete e el setido de las agujas del eloj medido desde ua efeecia coveiete, po ejemplo desde el eje egativo el oige se ecueta e el puto P. (, ) R (, ) (, ) θ P(,,) Ilustació 4: Defiició del sistema de coodeadas cilídico La distacia de u puto cualquiea del pael al puto se puede obtee como: R (4.) Dode R es la distacia media e el plao del pael desde u puto cualquiea del pael hasta el puto P. Tas estos cambios la ecuació se pesetaá del siguiete modo: R RdRdθ R (4.4) 54

5 Dode la itegació se hace desde R hasta u puto del peímeto la itegació e θ se ealia ecoiedo el peímeto e el setido de las agujas del eloj. La cotibució a la itegal de cada lado del polígoo epesetaá el valo de la itegal paa u tiágulo defiido po los putos etemos del lado el puto P. A medida que el peímeto es ecoido e setido de las agujas del eloj, el águlo dθ es positivo si el puto P está a la deecha del lado del polígoo egativo si está a la iquieda. Cuado los poteciales de los tiágulos coespodietes a los cuato lados se sume paa obtee la itegal, las cotibucioes de las pates de los tiágulos fuea del polígoo sumaá ceo po tato el esultado seá la itegal total. Ilustació 5: Ifluecia de cada lado e la itegació Ahoa de la defiició de teemos que: 55

6 d R RdR (4.5) Y uesta itegal se coviete e: d d ( ) θ dθ (4.6) Como o depede de la posició a lo lago del peímeto podemos escibi: dθ k (4.7) Dode k valdá ceo si se ecueta fuea del tiágulo, π si está fuea o π si se ecueta justo e el lado. El pime témio de la última epesió se evalúa ahoa calculado la cotibució de u lado a la itegal sumado paa los tes lados del tiágulo. (Obviamete estos esultados puede se geealiados a polígoos que tega cualquie úmeo de lados). Paa epesa la cotibució a la itegal del lado ete los putos (,,) (,,) itoducimos las siguietes defiicioes geométicas. La logitud del lado es: d ( ) ( ) (4.8) El coseo el seo del águlo que foma el lado co el eje se calcula de: cos si d d (4.9) 56

7 Taamos ahoa ua pepedicula al lado que pasaá po el puto (,,) (poecció de P e el plao), co lo que defiimos la coodeada s como la distacia medida desde el puto de itesecció de la pepedicula co la pologació del lado. El setido positivo de s va desde (,,) a (,,). Po lo que paa u puto (,) del lado del tiágulo teemos que la coodeada s se defie como: ( ) cos ( ) (4.) s si E paticula, la coodeada s asociada a los putos etemos del lado (,,) (,,) es espectivamete: s s () () ( ) cos ( ) si ( ) cos ( ) si (4.) La distacia (medida e el setido pepedicula al lado) ete el puto (,,) la pologació al lado seá: ( ) si ( ) (4.) R cos Que seá positiva si el puto (,,) está a la deecha del lado co especto a la diecció fomada po (,,) a (,,) egativa si está a la iquieda. Las distacias desde el puto P hasta los putos etemos del lado so, espectivamete: ( ) ( ) ( ) ( ) (4.) Fialmete, la itegal puede epesase e témios de las siguietes catidades s l s d d () Q () l (4.4) 57

8 () () s s J sg( R ) ta ta ta R R R R () () ( s s ) () () s s (4.5) Es pefeible utilia la seguda foma de la ecuació supeio, a que la pimea o está defiida a lo lago de la etesió del lado. E la pimea foma de (4.5), las acotagetes está defiidas e la ama picipal ([-π/, π/]), e la seguda foma e el ago ([-π, π]). La cotibució del lado ete los putos (,,) (,,) a la itegal de líea de es : I RQ J (4.6) Haciedo lo mismo paa todos los lados del tiágulo teemos fialmete que la itegal vale: I I I θ (4.7) Paa el caso del doblete basta co deiva el ateio esultado co especto a el esultado seá: ( / ) ( ) dσ sg( [ k J J J ] ) elemeto (4.8) Dode k valdá si os ecotamos fuea del tiágulo, π si os ecotamos justo e el lado π si os ecotamos deto de él. Coeficietes de ifluecia segú Newma J. N. Newma obtuvo ua foma más geeal de obtee estos coeficietes de ifluecia (véase [8]). Se basó e la utiliació del teoema de Gauss-Boet A cotiuació se taduce [8] paa facilita la compesió del lecto. Dicho atículo se ecueta aquí de foma pacial, cetádoos úicamete e la obteció de los coeficietes de ifluecia. 58

9 de geometía difeecial, de tal maea que se evita la itegació diecta sobe la supeficie del pael. Además, co el desaollo popuesto po Newma queda clao que la itegació tambié es válida paa cualquie pael cuvilíeo cuos cotoos esté compuestos po segmetos ectos. Como e el caso de Hess patiemos de u pael cuos vétices se odea e el setido de las agujas del eloj (a difeecia de uesta umeació, que habá que altea ates de la itegació). El puto de evaluació P seá u puto cualquiea del espacio (,,). Recodemos la itegal de patida, el potecial geeado po ua distibució de dobletes costate es el siguiete: S / dd [ ] ( / ) dσ ( / ) dσ (.) ( ). S S (4.9) Po comodidad pescidiemos del sigo egativo paa lleva a cabo la itegal. La última foma de la ecuació puede asociase co el flujo a tavés del pael debido a ua fuete e puto P. Se sigue de esto que el valo de la itegal seá igual al águlo sólido del pael, visto desde el puto P, estableciedo que el sigo de seá el mismo que el del águlo sólido. Ω S dσ (4.) El águlo sólido del pael puede poese e fució de popiedades idepedietes paa cada vétice. Paa este popósito se defie tes sectoes co especto a los coespodietes vétices, como se muesta e la figua, de 59

10 foma que la difeecia ete los domiios de el pime segudo secto, más el teceo, es el domiio del tiágulo. Si el valo de la itegal de supeficie sobe cada secto se defie como I, se sigue que: Total I I I De acuedo a la defiició teemos que cada ua de las itegales es igual al águlo sólido del coespodiete secto efeido al puto P (dode estamos midiedo el potecial). Del teoema de Gauss-Boet de geometía difeecial se sigue que el águlo sólido del pael desde el puto P es igual a la suma: Total I I β β β π (4.) I Dode β es el águlo iteio de cada vétice e el plao tagete a la esfea. Paa u pael ectagula, el último témio de la ecuació seá π, paa u polígoo co N lados seá (N-) π. Obtegamos el témio β coespodiete a u vétice cualquiea. Paa simplifica las ecuacioes que sigue se asumiá que el vétice está e el oige del sistema de efeecia geealiado el esultado a u vétice cualquiea e (,,). 6

11 El objetivo picipal es detemia el águlo ete dos segmetos cosecutivos (estado defiido cada segmeto po dos vétices cosecutivos) del polígoo (ótese que los segmetos está icluidos e el plao al estalo los vétices). Se defie el águlo θ como el águlo pola del segmeto que ue el vétice co el vétice. Paa detemia el águlo β visto desde P lo que hacemos es gia el sistema de efeecia hasta hacelo coicidi co u sistema de efeecia (u,v,w). Paa ello se gia u águlo α (el águlo α viee defiido po la poecció de P e el plao el eje local) alededo del eje, después u águlo φ alededo de eje (águlo ete P el eje ), co lo que la tasfomació seía: cosφ cosα cosφ siα siφ T siα cosα (4.) siφ cosα siφ siα cosφ Ó i Rsi R cosφ e i φ α (4.) De tal foma que el eje w coicide co el adio vecto que va desde el oige hasta el puto P. Si aplicamos la tasfomació a la ecuació del segmeto ta( θ ) teemos la elació: u v cosφ cos si ( θ α ) ( θ α ) (4.4) 6

12 Lo que epeseta la poecció de u segmeto co águlo pola θ e el plao (u,v). Ahoa podemos epesa el águlo β (visto desde P) de la siguiete foma: β ta( θ α ) ta( θ α ) ta ta (4.5) cosφ cosφ Podemos obtee ua foma alteativa defiiedo u pa de otacioes difeete, otado pimeo u águlo ψ alededo del eje, después u águlo alededo del eje hasta llega al sistema u,v,w dode el eje v coicide co el adio vecto que va desde el oige hasta el puto P. Ahoa la tasfomació os popocioa la siguiete ecuació paa el segmeto: u w cosθ cosψ cos siθ si cosθ siψ (4.6) Co lo que: β ta ta ta taθ si cosψ cos ta siψ θ ( ) taθ ( ) R ta taθ R si cosψ cos siψ (4.7) Dode se ha teido e cueta que la tasfomació puede epesase como: i R si R cos e i ψ (4.8) Debido a que la acotagete o es úica, se debe detemia la ama coecta a usa. El águlo sólido es ua catidad compedida ete -π π, co el mismo sigo que. 6

13 6 Paa u polígoo co tes vétices cócavos teemos que π β <. Paa > los deomiadoes de la ecuació so positivos, co la ama picipal de la acotagete ([-π/, π/]), β tedá el mismo sigo que ta ta θ θ idepedietemete de las coodeadas. Paa u tiagulo omal, dos de estas difeecias so positivas la ota egativa. Etoces paa ua de las tes itegales ha que añadi π a la ecuació paa obtee coectamete el águlo sólido. Al cacelase este π co el último valo del teoema de Gauss-Boet podemos eemplaa la ecuació diectamete po la suma de los cuato témios de β. Desde el puto de vista computacioal puede se iteesate simplifica la epesió dada po la ecuació. Paa ello otemos que: ta ta θ θ (4.9) Sustituedo agupado teemos que: ( ) ( ) [ ] ( )( ) ta / S R d σ ( ) [ ] ( )( ) R ta (4.) Los paes de acotagetes e la ecuació puede agupase utiliado la siguiete idetidad tigoomética: ta ta ta c s c s c s (4.)

14 Dode s c so los coespodietes factoes e el umeado deomiado de cada témio de la ecuació paa, s c viee dados po: s c s c c c s s s c (4.) Si utiliamos esta última epesió, la última acotagete de la ecuació debe se evaluada e la ama ([-π, π]) si cosidea de foma sepaada los agumetos de la acotagete del miembo de la iquieda. El pime miembo de (4.) está mal codicioado uméicamete cuado el puto P está situado diectamete ecima o debajo de u vétice, po lo que es pefeible la utiliació del segudo miembo de (4.). E el aálisis ateio se ha supuesto u pael plao situado e el plao. Si embago, los esultados de las ecuacioes so válidos paa el caso más geeal de u pael cuvo cuo cotoo so segmetos ectos. Itegales de coeficietes lieales Paa etede el aálisis pecedete e iclui ua distibució lieal de dobletes e cada pael, cosideaemos dos itegales defiidas como: dd S (4.) dσ k ik Lo que es equivalete a las itegales d k ik elemeto _ k σ colocadas e foma maticial. elemeto _ k 64

15 La pimea itegal puede epesase de la siguiete maea mediate el teoema de Gee (de uevo obviamos el sigo egativo): S d d d d ( ) I dd I d I S S C (4.4) Dode I epeseta el valo de la itegal si témios lieales que se calculo e ateioes apatados. Opeado de la misma foma paa la itegal depediete de : d d d I (4.5) S C Al esta defiidos los vétices lados e el setido de las agujas del eloj al cotaio que la defiició de la itegal de líea, debemos vaia el sigo paa llega a la siguiete epesió, que peseta el valo de las itegales como la suma del apote de cada lado: d d siθ cosθ ± I S Lado dl (4.6) La última itegal se esuelve fácilmete siedo su valo: dl Q l d, d Lado, (4.7) Dode es la distacia ete el puto P el vétice d, la logitud del segmeto ete. El esultado fial es: d I σ m S S d d siθ Q cosθ (4.8) 65

16 De maea que a podemos esolve todas las itegales ecesaias paa afota el poblema. 66