EL PROCESO ANALÍTICO JERÁRQUICO (AHP) 1. Características Principales

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1 A DECISION CON APOYO CUANTITATIVO E PROCESO ANAÍTICO JERÁRQUICO (AHP). Caacteísticas Picipales El Poceso Aalítico Jeáquico (Aalytic Hieachy Pocess, AHP), popuesto po Saaty e 980, se basa e la idea de que la complejidad iheete a u poblema de toma de decisió co citeios múltiples, se puede esolve mediate la jeaquizació de los poblemas plateados. Este método puede cosidease, segú la oietació dada al mismo, de muy divesas maeas. Su cotibució es impotate e iveles opeativos, tácticos y estatégicos, siviedo paa mejoa el poceso de decisió debido a la ga ifomació que apota y a la mejoa e el coocimieto del poblema. Se puede etede como: Ua técica que pemite la esolució de poblemas multiciteio, multietoo y multiactoes, icopoado e el modelo los aspectos tagibles e itagibles, así como el subjetivismo y la icetidumbe iheete e el poceso de toma de decisió. Ua teoía matemática de la medida geealmete aplicada a la ifluecia ete alteativas especto a u citeio o atibuto. Ua filosofía paa aboda, e geeal, la toma de decisió. a picipal caacteística del AHP es que el poblema de decisió se modeliza mediate ua jeaquía e cuyo vétice supeio está el picipal objetivo del poblema, meta a alcaza y, e la base, se ecueta las posibles alteativas a evalua. E los iveles itemedios se epeseta los citeios (los cuales a su vez se puede estuctua tambié e jeaquías) e base a los cuales se toma la decisió. El diseño de las jeaquías equiee expeiecia y coocimieto del poblema que se platea, paa la cual es idispesable dispoe de toda la ifomació ecesaia. a seguda caacteística del método es que, e cada ivel de la jeaquía, se ealiza compaacioes ete paes de elemetos de ese ivel, e base a la impotacia o cotibució de cada uo de ellos al elemeto de ivel supeio al que está ligados. Este poceso de compaació coduce a ua escala de medida elativa de pioidades o pesos de dichos elemetos. as

2 compaacioes po paes se ealiza po medio de atios de pefeecia (si se compaa alteativas) o atios de impotacia (si se compaa citeios), que se evalúa segú ua escala uméica popuesta po el método, que más adelate se peseta. os pesos o pioidades elativas debe suma la uidad. a tecea caacteística del AHP es que la ifomació obteida es geealmete edudate y más o meos icosistete. as matices de compaacioes po paes cotiee juicios edudates e el setido de que e ua matiz de tamaño x se suele emiti x ( - ) / juicios (ya que coocido u témio a ij se obtiee fácilmete el témio a ji po la popiedad de ecipocidad), cuado de hecho solo se ecesitaa - juicios si se utilizase el álgeba (pues si se cooce el témio a ij y el témio a jk es posible cooce, mediate secillos cálculos, el témio a ik ). Esta difeecia e el úmeo de juicios supoe tiempo ivetido que se podía habe evitado y puede poduci icosistecias deto de la matiz. Si embago, desde oto puto de vista, esta edudacia esulta útil paa mejoa la exactitud de los juicios y se apovecha paa, mediate la técica matemática, educi los eoes y mejoa la cosistecia de la matiz. Po último, ua vez evaluada la cotibució de cada elemeto a los elemetos del ivel de la jeaquía imediatamete supeio, se calcula la cotibució global de cada alteativa al objetivo picipal o meta mediate ua agegació de tipo aditivo. E esume, segú Saaty, el método AHP es u modelo de decisió que itepeta los datos y la ifomació diectamete mediate la ealizació de juicios y medidas e ua escala de azó deto de ua estuctua jeáquica establecida. Es u método de selecció de alteativas (estategias, ivesioes, etc.) e fució de ua seie de citeios o vaiables, las cuales suele esta e coflicto.. Axiomas Básicos os axiomas básicos e los que se basa la teoía AHP so: Axioma de compaació ecípoca: El deciso debe se capaz de ealiza compaacioes y establece la fueza de sus pefeecias. a itesidad de estas pefeecias debe satisface la codició ecípoca: "Si A es x veces

3 pefeido que B, etoces B es x veces pefeido que A". Axioma de homogeeidad: "as pefeecias se epeseta po medio de ua escala limitada". Axioma de idepedecia: "Cuado se expesa pefeecias, se asume que los citeios so idepedietes de las popiedades de las alteativas". Axioma de las expectativas: "Paa el popósito de la toma de ua decisió, se asume que la jeaquía es completa". 3. etodología del Poceso Aalítico Jeáquico as etapas geeales de la metodología AHP popuestas po Saaty e su fomulació iicial so: etapa) odelizació: E esta etapa se costuye ua estuctua jeáquica e la que queda epesetados todos los aspectos cosideados elevates e el poceso de esolució: actoes, esceaios, factoes, elemetos e itedepedecias. a jeaquía esultate debe se completa, epesetativa, o edudate y miimalista. Su costucció es la pate más ceativa del poceso de esolució, pudiedo apaece posicioes efetadas ete los distitos paticipates. a etapa) Valoizació: E la seguda etapa se icopoa las pefeecias, gustos y deseos de los actoes mediate los juicios icluidos e las deomiadas matices de compaació po paes. Estas matices cuadadas efleja la domiació elativa de u elemeto fete a oto especto a u atibuto o popiedad comú. El sigificado teóico es el siguiete, de los dos elemetos compaados, se toma como efeecia el que posee e meo medida o gado la caacteística e estudio y se da u valo uméico de las veces que "el mayo" icluye, ecoge, domia o es más pefeido que "el meo" especto al atibuto estudiado. a 3 etapa) Pioizació y sítesis: Esta última etapa popocioa las difeetes pioidades cosideadas e la esolució del poblema. Se etiede po pioidad ua uidad abstacta válida paa cualquie escala e la que se itega las pefeecias que el idividuo tiee al compaa aspectos tagibles

4 e itagibles. E el poblema de decisió se cosidea tes tipos de pioidades: as pioidades locales: Que so las pioidades de los elemetos que cuelga de u odo comú. as pioidades globales: Que so la impotacia de esos elemetos especto a la meta global fijada paa el poblema. a foma de calculalas pioidades globales cosiste e aplica el picipio de composició jeáquica: multiplicado los difeetes pesos que apaece e el ecoido de la jeaquía desde el elemeto ifeio hasta la meta. a pioidad fial o total: De ua alteativa se obtiee agegado las pioidades globales obteidas paa esa alteativa e los difeetes camio a que la ue co la meta. El método habitualmete empleado e AHP paa la agegació es el equivalete a la suma podeada. a 4 etapa) Aálisis de sesibilidad: Se suele hace paa examia el gado de sesibilidad del esultado obteido e ua decisió al ealiza cambios e las pioidades de los citeios picipales de u poblema. o que se lleva a cabo es u cambio e la pioidad de u detemiado citeio mateiedo las popocioes de las pioidades de los otos citeios, de maea que todos ellos, icluido el citeio alteado, al modificase siga sumado la uidad. Estas etapas geeales se puede coceta e ua seie de pasos, los que se esume e el diagama flujo de la Figua : Paso : Estuctua el poblema como ua jeaquía El pime paso del método AHP cosiste e modela el poblema de decisió que se petede esolve como ua jeaquía. Este hecho es ua de las picipales caacteísticas del método, de ahí que el témio "jeáquico" apaece e su deomiació. E la Figua, se peseta la foma geeal que adopta ua jeaquía. E el vétice supeio de la jeaquía se sitúa la meta u objetivo que se petede alcaza. El poblema de decisió cosiste e elegi la alteativa que mejo cotibuye a la cosecució de la meta del ivel supeio de la jeaquía.

5 E el siguiete ivel, e ode descedete desde la meta, se sitúa los citeios. Como ya se cometó, los citeios de decisió coespode a aspectos tales como atibutos, objetivos o paámetos que costituye los ejes fudametales a pati de los cuales el deciso justifica, tasfoma y agumeta sus pefeecias. a selecció adecuada de los citeios costituye ua etapa

6 fudametal e cualquie poceso de toma de decisió, ya que u plateamieto iadecuado de los mismos puede lleva a esultados poco satisfactoios o icluso a ivalida todo el poceso: se debe defii los citeios que so impotates e el poblema. Figua : Jeaquía e AHP eta u Objetivo Citeio Citeio Citeio 3 Citeio 4... Citeio Alteativa Alteativa Alteativa Alteativa Alteativa Alteativa Alteativa Alteativa Alteativa Alteativa Alteativa 3 Alteativa 3 Alteativa 3 Alteativa 3 Alteativa 3 Alteativa Alteativa Alteativa Alteativa Alteativa Ua vez defiidos los citeios puede dase el caso e que éstos a su vez se pueda descompoe e otos subciteios fomado ota jeaquía descedete. Duate la costucció de esta jeaquía de citeios y subciteios se debe aaliza el poblema e pofudidad co el fi de epesetalo de la foma más completa y global posible (auque dejado abieta la posibilidad de alguos cambios e los elemetos), cosidea el etoo que odea al poblema, idetifica los atibutos que cotibuye a la solució y cosidea a las pesoas iteesadas e el poblema. Fialmete, e el último ivel de la jeaquía se sitúa las alteativas, que so el cojuto de posibles opcioes defiidas sobe las que la uidad decisoa ealiza ua decisió. El Poceso Aalítico Jeáquico petede se ua heamieta de ayuda al deciso e el poceso de elecció de la alteativa que mejo cotibuye a alcaza la meta del poblema plateado. Paso : Establecimieto de las pioidades ete los citeios El objetivo de este paso es costui u vecto de pioidades o pesos que evalúa la impotacia elativa que la uidad decisoa otoga a cada citeio. El poblema clave que se platea e este puto es espode a cómo se puede

7 asiga u valo uméico a cada citeio que epesete, del modo más ajustado posible, la pefeecia del deciso de u citeio fete a oto. El método AHP utiliza ua estategia de asigació idiecta po la que el deciso sólo tiee que ealiza ua valoació sobe la impotacia del citeio vebalizada e témios cualitativos y después acudi a ua escala, que peviamete ha sido establecida, paa obtee los valoes uméicos que se coespode co su valoació. Po tato, como paso pevio a la esolució del poblema de asigació de pesos, se debe defii la coespodecia ete la valoació cualitativa del deciso y la asigació uméica. a escala sugeida po Saaty es la siguiete: Tabla : Escala Fudametal Escala uméica Escala vebal Explicació Igual impotacia. Dos actividades cotibuye po igual al objetivo. 3 Impotacia modeada de u elemeto sobe oto. a expeiecia y el juicio está a favo de u elemeto sobe oto , 4, 6, 8 Icemetos 0, Impotacia fuete de u elemeto sobe oto. Impotacia muy fuete de u elemeto sobe oto. Extema impotacia de u elemeto sobe oto. Valoes itemedios ete dos juicios adyacetes. Valoes itemedios e icemetos. U elemeto es fuetemete favoecido. U elemeto es muy domiate. U elemeto es favoecido po al meos u ode de magitud de difeecia. Se usa como compomiso ete dos juicios. Utilizació paa gaduació más fia de juicios. uego el deciso debe establece las pioidades mediate compaació ete paes y, así, detemia los pesos elativos de los citeios. os úmeos de la escala epeseta la popoció e la que uo de los elemetos que se cosidea e la compaació paeada domia al oto especto a ua popiedad o citeio que tiee e comú. El elemeto meo tiee el valo ecípoco o iveso especto al mayo, es deci, si x es el úmeo de veces que u elemeto domia a oto, etoces este último es x - veces domiado po el pimeo, de tal modo que x - x = x x - =. Este es el picipio del axioma de compaació ecípoca que ya se ha cometado.

8 Paa detemia los pesos de los citeios el deciso, haciedo uso de la escala fudametal, debe costui ua matiz R, de tal modo que el témio ij epeseta la pioidad elativa ete el citeio C i y el citeio C j especto a la meta del poblema. Este témio seá mayo, igual o ifeio a uo depediedo de cual de los dos citeios sea más impotate paa el logo de la meta. a matiz obteida es de la foma: = O R Dode ij. ji =. Ua atiz co esta popiedad se deomia matiz ecípoca. Paa establece las pioidades de los citeios ( ), este método emplea los coceptos matemáticos de valo popio (autovalo) y vecto popio (autovecto). i Si los pesos (, i=,,, ) fuea coocidos la matiz de compaacioes paeadas seía la siguiete: i = W O Si se quisiea obtee el vecto de pesos a pati de esta matiz se debe esolve el siguiete sistema de ecuacioes: W. = λ = λ O Dode λ es u valo popio de W y el vecto popio asociado. a matiz W tiee ua foma especial, además de se ua matiz ecipoca, su ago es igual debido a que cada fila es múltiplo costate de la pimea. Po ello esta matiz tiee u úico valo popio distito de ceo. Como la suma de los

9 valoes popios de ua matiz es igual a su taza (suma de los elemetos de la diagoal picipal) y todos los elemetos de la diagoal picipal so iguales a, puede afimase que el úico valo popio distito de ceo de W es igual a la dimesió de la matiz, es deci igual a (λ = ). Se puede obseva que la suma de los elemetos de la matiz de cualquie columa j es igual a: i = j i= j Po tato, si se omaliza la matiz W mediate la suma de las columas, e cada ua de ellas se obtiee el vecto, po lo que el pomedio de cualquie fila i seá igual a i. Dado que los pesos o so coocidos y la matiz de compaacioes R se costuye co los juicios del decido, los que o ecesaiamete seá totalmete cosistetes, la matiz R puede cocebise como ua petubació de la matiz W. Po tato puede que posea más de u valo popio distito de ceo. El máximo valo popio (λ max ) está asociado a u vecto popio z y se cosidea que z es ua buea apoximació del vecto de pioidades o pesos. Po tato, puede escibise: R. ŵ = λ max ŵ Basado e todos estos coceptos Saaty popoe estima el vecto de pesos (vecto popio) aplicado el siguiete pocedimieto: º. Obtee la matiz omalizada (R Nom ), dividiedo cada elemeto de la columa j-ésima po la suma de todos los elemetos de dicha columa: R Nom = ijnom = ij ij i= º. Estima el vecto de pesos ( ŵ ) calculado el pomedio de cada fila de la matiz omalizada. El vecto ŵ de pesos seá igual a:

10 = = = = = ŵ ŵ jnom, ŵ jnom,..., ŵi ijnom,..., ŵ j= j= j= j= Paso 3: Compoba la cosistecia de los juicios jnom Si R fuea ua matiz completamete cosistete, etoces el λ max seía igual a. Si embago, el decido cometeá cietas icosistecias e sus juicios y esulta coveiete medi el gado de icosistecia de los juicios emitidos po el decido, dado que si o se ha sido cuidadoso co las valoacioes, el vecto de pioidades o pesos obteido puede se poco epesetativo. a cosistecia se puede medi mediate el ídice de cosistecia (IC), que tiee la siguiete expesió: λ = IC max Esta medida puede utilizase paa mejoa la cosistecia de los juicios si se la compaa co el úmeo apopiado de la Tabla, que ecoge el ídice de cosistecia aleatoio (IA): Tabla : Ídice de cosistecia aleatoio (IA) e fució de la dimesió de la matiz () RI RI El ídice de cosistecia aleatoio (IA) se defie como el ídice de cosistecia aleatoio medio obteido mediate la simulació de matices ecípocas geeadas aleatoiamete utilizado la escala de Saaty (/9, /8,...,,..., 8, 9). Si se calcula el cociete ete el ídice de cosistecia (IC) y el ídice de cosistecia aleatoio (IA), se obtiee el deomiado atio de cosistecia (RC). IC RC = IA U matiz es cosistete si satisface la codició ik. kj = ij

11 Si RC = 0, la matiz es cosistete. Si RC 0,0, la matiz R tiee ua icosistecia admisible, lo que sigifica que se la cosidea cosistete y el vecto de pesos obteidos se admite como válido. E caso de que RC > 0,0, la icosistecia es iadmisible y se acoseja evisa los juicios. Paa calcula el ídice de cosistecia el valo de λ max se obtiee de la ecuació R. ŵ = λ max ŵ Se multiplica la matiz R po el vecto ŵ y se obtiee u vecto columa, luego cada compoete de él se divide po las del vecto ŵ y se geea oto vecto columa fomado po los valoes popios de la matiz R. Se pomedia dichos valoes y se obtiee λ max. Paso 4: Establecimieto de las pioidades locales ete los subciteios Si e la modelizació del poblema de decisió como ua jeaquía se ha cosideado la descomposició de alguos o todos los citeios e subciteios, ates de cotiua debe calculase el vecto de pesos asociado a dichos subciteios. El pocedimieto es el mismo que el descito e el paso ateio, peo e este caso se debeá ealiza las compaacioes paeadas ete subciteios paa detemia su impotacia elativa especto al citeio imediatamete supeio e la jeaquía. De este modo, es posible calcula el vecto de pesos asociados a u cojuto de subciteios especto a su citeio "pade". Paso 5: Establecimieto de las pioidades locales ete las alteativas Ua vez obteida la podeació de los citeios y subciteios e los pasos ateioes, se pocede a la valoació de las alteativas paa así pode calcula las pioidades locales coespodietes. Paa ello, co cada citeio o subciteio del último ivel de la jeaquía se platea la matiz R de juicios po compaació paeada ete alteativas. El pocedimieto a segui es el explicado e el paso, peo esta vez se establece el ivel de pioidad de ua

12 alteativa sobe ota tomado como base de compaació el gado de cumplimieto o satisfacció de cada citeio o subciteio. a escala a utiliza es la misma. Ua vez plateada la matiz R de compaació ete alteativas, se pocede como ya se ha cometado: se calcula el vecto de pesos o pioidades y el ídice de cosistecia de los juicios. Ua vez ealizadas estas opeacioes, si el ídice de cosistecia es aceptable, paa cada citeio o subciteio se obtiee u vecto de pesos locales de las alteativas. Paso 6: Establecimieto de las pioidades totales asociadas a cada alteativa. Obteidos los vectoes de pioidad de todas las alteativas especto de cada subciteio, se obtiee ua matiz, la que se multiplica po el vecto de pioidad de los subciteios especto al citeio del cual se despede. Así se obtiee el vecto de pefeecias de cada alteativa co especto a ese citeio. Este pocedimieto se epite paa cada citeio. uego se obtedá tatos vectoes de pioidad de las alteativas especto de los citeios como citeios exista y co ellos se costuye ua matiz que se multiplica po el vecto de pioidad de los citeios especto del objetivo geeal, lo que da po esultado el vecto de pioidades de cada alteativa especto del objetivo picipal. Esto pemite detemia cuál alteativa es la más coveiete paa la solució del poblema plateado.

13 A A A 3 A X = Vectoes de pioidad de cada alteativa especto a los citeios Vecto de pioidad de los citeios especto al objetivo Vecto de pioidad de cada alteativa especto al objetivo Si o existiea subciteios, se cofeccioa diectamete la matiz coteiedo los vectoes de pioidades de las alteativas co especto a cada citeio. Esta matiz se multiplica po el vecto de pioidades de los citeios especto al objetivo, obteiedo el vecto de pioidades de las alteativas co especto al objetivo, llegado así al vecto de pioidades totales. Paso 7: Aálisis de sesibilidad. Como último paso de la metodología AHP puede ealizase u aálisis de sesibilidad que cofime que ealmete los esultados obteidos so obustos y o so futo del aza. a ealizació de este aálisis puede facilitase y agilizase si se emplea paa ello heamietas ifomáticas de cálculo. Este aálisis cosiste e ealiza vaiacioes e el valo de u peso y obseva uméica y gáficamete cómo este cambio afecta al esto de los pesos del poblema y a la pioizació de alteativas. 4. Vetajas e Icoveietes del AHP E todas las técicas de decisió multiciteio se puede ecota aspectos positivos y egativos, bie desde u puto de vista teóico o bie desde la páctica. Alguas de las vetajas del método AHP so:

14 Teoía: El AHP es ua de las pocas técicas multiciteio que ofece ua axiomática teóica. Páctica: El AHP es ua de las técicas multiciteio que mejo compotamieto páctico tiee. Uidad: El AHP popocioa u modelo úico fácilmete compesible, flexible, paa ua amplia gama de poblemas estuctuados. Complejidad: El AHP itega efoques deductivos y de sistemas paa esolve poblemas complejos. Estuctua jeáquica: El AHP efleja la tedecia atual de la mete a clasifica elemetos de u sistema e difeetes iveles y a agupa elemetos similaes e cada ivel. edida: El AHP popocioa ua escala paa medi impodeables y u método paa esclaece pioidades. Sítesis: El AHP coduce a ua estimació completa de la coveiecia de cada alteativa. Compesacioes: El AHP toma e cosideació las pioidades elativas de los factoes e u sistema y pemite seleccioa la mejo alteativa e vitud de objetivos. Juicio y coseso: El AHP o isiste e el coseso, peo sitetiza u esultado epesetativo de divesos juicios. Repetició del poceso: El AHP pemite que la gete afie su defiició de u poblema y mejoe su juicio y compesió mediate la epetició del poceso. No obstate, el método AHP tambié peseta ua seie de icoveietes, como se cita a cotiuació: a justificació de la idepedecia exigida e la modelizació jeáquica. a escala fudametal empleada paa expesa los juicios elativos e las compaacioes paeadas. os pocedimietos de pioizació de los elemetos mediate el cálculo del autovecto. a foma de evalua la cosistecia de los juicios emitidos. a itepetació de las pioidades totales obteidas e el pocedimieto. a itoducció de ua ueva alteativa puede hace vaia la estuctua de pefeecias del deciso o poe de maifiesto algua icosistecia

15 5. Bibliogafía: Saaty, T (980): The aalytic hieachy pocess. cga-hill, Ne Yok. Ho, W., Dey, P. K. y Higso, H. (006): ultiple citeia decisio-makig techiques i highe educatio, Iteatioal Joual of Educatioal aagemet, vol. 0, o. 5, pp Albeto C y Caigao C. (007): Apoyo Cuatitativo a las Decisioes. Asociació Coopeadoa de la FCE de la UNC. Gacía Cascales,. (009): étodos paa la compaació de alteativas mediate u Sistema de Ayuda a la Decisió (S.A.D.) y "Soft Computig. Tesis Doctoal. Uivesidad Politécica de Catagea.