APÉNDICE: TÉCNICAS DE CONTEO

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1 APÉNDICE: TÉCNICAS DE CONTEO Métodos de eumeació La ciecia es la estética de la iteligecia Gastó Bachelad La ESTADÍSTICA es la estética de la atualeza MOVE Co la fialidad de especifica el total de esultados posibles de u espacio muestal S de iteés, especialmete e la costucció de fucioes de pobabilidad de vaiable disceta, como la distibució biomial, expodemos alguas técicas de eumeació: Picipio de multiplicació Si ua opeació se puede ealiza a tavés de fases sucesivas y cada fase es ealizable de i maeas, etoces la opeació global es ealizable de 2... maeas. Ejemplo. Cosidéese los distitos itieaios ete Medellí, Catagea y Sa Adés, utilizado como medios de taspote avió, baco, cao y te; de cuátas maeas se puede ealiza el tou completo Medellí Catagea Sa Adés segú las utas y medios que muesta el siguiete diagama?

2 El itieaio Medellí Catagea se puede efectua de tes maeas, el itieaio Catagea Sa Adés se puede ealiza de dos maeas y el tou completo Medellí, Catagea Sa Adés de 2 6 maeas. Picipio de adició. Si ua opeació global se puede ealiza a tavés de fases excluyetes y cada fase se puede ealiza de i maeas, etoces la opeació global se puede ealiza de i maeas. i Obseve que: La sumatoia es u opeado que goza de las siguietes popiedades: a) x i x i b) x i x j x i j subídice es ua vaiable muda. c), el ( ) o sea la suma de ua costate, veces + i d) Popiedad asociativa geealizada e) Popiedad telescópica 2 i f) Popiedad de opeado lieal ( x + b y ) x i i x i + 2 x i i + ( ai ai ) a ao a a x + b y a y b costates. Estas popiedades so impotates paa la opeació de vaiables aleatoias discetas y valoes espeados. 2

3 Ejemplo 2. Cosidéese el úmeo de maeas paa tempea e clima fío e Pasto, Bogotá o Maizales, o e clima cálido e Baaquilla, Catagea, Tolú o Riohacha. De cuátas maeas se puede tempea segú el diagama siguiete? Veamos: Se puede tempea fío de maeas y cálido de 4 maeas paa u total de maeas. Picipio de pemutació. Defiimos el úmeo de pemutacioes de objetos como el total de maeas como se puede odea o agupa los objetos el cual equivale a 2...!, defiido como factoial de. Obseve que se cumple la fómula de ecuecia! ( )! cuado se defie! 0!. y po cosistecia co ella Ejemplo. Se tiee u equipaje cofomado de Pataloes: P, Camisas: C, Iteioes: I, y Zapatos: Z. De cuatas maeas se puede coloca e u amaio de 4 compatimetos?

4 C C 2 C C 4 PC Ι Z C Ι Z Ι Z Z 4 2 4! E el C podemos coloca ua de las cuato clases de equipaje, es deci, hay 4 maeas de ocupa C, paa C 2 tedemos sólo maeas, paa C 2 maeas, paa C 4 sólo maea de ocupalo, es deci, el total de maeas es 4 2 4! 24 Co fudameto e los picipios de adició, multiplicació y pemutació se defie los coteos de vaiació, combiació y patició. Vaiacioes. Cuado se pemuta solo tomados de los elemetos etoces defiimos, P! ( )! como el úmeo de vaiacioes de objetos tomados de a. Ejemplo 4. E el caso de las cuato pedas de equipaje cosidee que solo se dispoe de compatimetos. De cuatas maeas se puede coloca las cuato pedas e los compatimetos? Calculamos P! ( )! 4!! 4 Combiacioes. Cuado e las vaiacioes se pescide del ode de los objetos se defie las combiacioes de objetos tomados e gupos de como!! (! ) 4

5 Ejemplo 5. De cuatas maeas se puede seleccioa teas, si estitució y si cosidea el ode ete 5 objetos difeetes? Calculamos!! (! ) 5!! 2! 0 Obseve que es deci que el úmeo de subgupos posibles de objetos o de - objetos e u cojuto de tamaño es igual. Y que e paticula co Paticioes El úmeo de paticioes distitas de objetos e los cuales so de ua clase, 2 de ua seguda clase,..., de ua ésima clase, coicide co el úmeo de fomas de hace ua patició de u cojuto de objetos e celdas co objetos e la pimea celda, 2 elemetos e la seguda celda y así sucesivamete dode + y el ode e cada celda y ete celdas o se cosidea; este úmeo es:, 2,..., i! 2!!!...! Ejemplo 6. a) De cuátas maeas se puede seleccioa paejas co estitució y cosideado el ode, ete cuato elemetos difeetes? Veamos, sea a, b, c y d los elemetos, etoces: 5

6 a c b d aa ba c a da ab bb cb db ac bc c c dc ad bd c d dd S # S #S paejas b) De cuátas maeas se puede seleccioa paejas, si estitució, cosideado el ode, ete cuato elemetos difeetes? Veamos: ab ac ad a b ba bc bd S c d c a cb c d da db dc 4 4! # S! 2! 2 paejas 2 2! c) De cuátas maeas se puede seleccioa paejas, si estitució, si cosidea el ode, ete cuato elemetos difeetes Veamos a b ba S c d c a cb da db dc! 4! # S 6 paejas! ( )! 2! 2! Ejemplo 7. a) De cuátas maeas se puede seleccioa 5 paejas hombe muje ete 80 chios y 20 chias? 6

7 Veamos: 20 chias las maeas de seleccioa 5 chias so combiacioes de 20 objetos tomados e subgupos de 5, o sea 80 chios las maeas de seleccioa 5 chios so Y las maeas de cofoma 5 paejas la multiplicació combiacioes de 80 objetos tomados e subgupos de 5, o sea segú el picipio de 5 5 b) Cuál es la pobabilidad de que al seleccioa 0 pesoas salga exactamete 5 paejas? El úmeo de paejas hombe muje posibles dividido po el úmeo total de subgupos de 0. Esto es: Ejemplo a) De cuátas maeas se puede seleccioa ua muesta de tamaño de ua població de tamaño N, < N? b) Si todas las muestas so equipobables, cual es la pobabilidad de seleccioa ua muesta e paticula? a) Se tata seleccioa subgupos de elemetos de ete N objetos posibles, es deci, el total de muestas posibles es 7

8 N! N! ( N ),! b) La pobabilidad de ua muesta es < N ( N ) N!!, < N! N. Ejemplo 9. Coeficietes biomiales, combiacioes y tiágulo de PASCAL Expasió del biomio ( a + b) ( a + b) o... ( a + b)...a + b 2 2 b 2 ( a + b)...a + 2a + b 2 2 ( a + b)...a + a b + ab + b Los coeficietes de estos poliomios se puede epeseta e el deomiado Tiágulo de PASCAL Obseve que e cada subtiágulo la suma de dos úmeos cosecutivos e cada fila es igual al úmeo e el ceto e la fila siguiete. o

9 Obseve que el desaollo de que coespode al cocepto de combiacioes, epoduce los coeficietes biomiales. Ejecicio. Compoba que los úmeos de teas tomados ete cuatetas, e la siguiete epesetació, coicide co los cálculos coespodietes, segú los picipios de coteo. Seleccioes de teas de letas ete (a, b, c, d) 9

10 De cuátas maeas se puede seleccioa objetos tomados ete, co estitució y cosideado el ode? De cuátas maeas se puede seleccioa objetos tomados ete, si estitució y cosideado el ode? De cuatas maeas se puede seleccioa elemetos tomados ete, si estitució y si cosidea el ode? PROBLEMAS SELECCIONADOS. Cuátas placas de automóvil se puede hace usado dígitos y letas del abecedaio? (Cosidéese los dígitos del 0 al 9 y 26 letas). 2. De cuátas fomas difeetes se puede seta 5 paejas e 0 butacas e las filas de u teato, de maea que o quede igua paeja sepaada?. Cuátos úmeos se puede foma usado todos los siguietes dígitos: 2, 4, 5, 7, 9. a) Si o se puede epeti los dígitos? b) Cuátos de estos úmeos so múltiplos de 5? c) Cuátos de ellos so mayoes de ? d) Cuátos de ellos so meoes de ? e) Cuátos de ellos so paes? 4. Seis pesoas fueo ivitadas a u baquete a ua mesa ectagula co capacidad paa seis. De cuátas fomas difeetes puede setase las seis pesoas si: a) Todas aceptao la ivitació? b) Dos de ellas o aceptao la ivitació? 0

11 5. Cuátos úmeos de teléfoo de 7 dígitos se puede establece si todos los dígitos se puede utiliza co epetició peo o puede comeza co ceo? 6. Seis pesoas que va e u tou llega a u hotel dode hay 6 cuatos, uo a cotiuació del oto a lo lago de u coedo, los cuales seá asigados al aza a las 6 pesoas, dos de ellas so coocidas de atemao. De cuátas fomas difeetes se puede coloca las 6 pesoas e sus espectivos cuatos si las dos coocidas solicitao esta e cuatos cotiguos? 7. Cosidéese ua caja co 4 bolitas umeadas del al 4. De cuátas fomas se puede saca bolitas ua po ua, si: a) o se eemplaza e la caja las sacadas peviamete? b) se eemplaza e la caja las sacadas peviamete? 8. De cuátas fomas difeetes se puede coloca 6 llaves e u llaveo e foma de ao? 9. Se desea seta 5 señoes y 5 señoas alededo de ua mesa cicula. De cuátas fomas puede setase si o se puede seta dos damas ua al lado de la ota? 0. E u expeimeto psicológico de apedizaje, ua ata tiee la opció de escoge ua de cico tayectoias. Si se escoge dos atas paa el expeimeto, cuátos evetos simples está asociados co este expeimeto? Cuátos elemetos hay e el espacio muestal?. Ua pizzeía ofece pizzas co cualquie combiació (icluyedo la que sólo tiee queso y la que cotiee todo) de los siguietes igedietes: pimieto, cebolla, champiñó, choizo, achoas y jamó. Cuátas

12 pizzas difeetes se puede odea si hay la posibilidad de escoge pizzas co iguo, uo o más igedietes y hasta co todos ellos? 2. Ua bolsa cotiee 5 caicas blacas y 7 ojas. Si se desea saca 5 caicas al aza, de cuátas fomas posibles puede se sacadas si: a) las caicas puede se de cualquie colo? b) se quiee exactamete blacas? c) las 5 debe se del mismo colo?. E u laboatoio hay 4 difeetes tabajos que ealiza e ua tade e paticula y hay 5 pesoas paa hacelos. De cuátas fomas puede se asigadas las 5 pesoas paa hace los cuato tabajos? 4. Ua ivestigadoa tiee 4 dogas que desea poba, peo sólo dispoe de aimales suficietes paa poba de las dogas. puede poba las cuato dogas? De cuátas fomas 5. Se le sumiista dogas a 8 aimales de la siguiete foma: Tipo A a tes de ellos, tipo B a otos tes y tipo C a los dos estates. Luego se coloca cada uo de los aimales e ua de las 8 difeetes cajas adyacetes paa su obsevació. Si los aimales sólo se distigue e base al tipo de doga ecibida, de cuátas fomas difeetes puede se colocados? 6. E el biomio ( 2x) ecota: a) el quito témio del desaollo. b) el décimo tece témio del desaollo. c) los dos témios cetales del desaollo. d) el témio idepediete. 7. Ecota el coeficiete del témio que cotiee a: 2

13 a) b) x 2 y 4 e el desaollo de ( x y) 6 5 x e el desaollo de ( x + x ) A pati del cojuto de letas de la palaba VIDA se escoge 2 letas ua po ua. Eliste el espacio muestal, o sea, el cojuto de todas las paejas posibles. 9. Si las letas ORMA se aegla e líea al aza, cuál es la pobabilidad de que e el aeglo apaezca ROMA? 20. Ua muesta de 6 idividuos paa cieta pueba es seleccioada de u gupo de 20 fumadoes y 0 o fumadoes. De cuátas maeas se puede seleccioa muestas que cotega 4 fumadoes? 2. E u expeimeto de Modelos Aimales, los hámstees puede clasificase de acuedo co su sexo: hemba o macho; de acuedo co su edad: juveil o adulto, y de acuedo co la cepa que seá ioculada: L. paamesis,,, L. Baziliesis y L. Guayaesis. Ecuete el úmeo total de fomas posibles de clasifica a u hámste.