ÁLGEBRA Algunas soluciones a la Práctica 2

Transcripción

1 ÁLGEBRA Alguas solucioes a la Práctica 2 Combiatoria (Curso ). Sea A u cojuto co elemetos. Cuátos subcojutos tiee el cojuto A?. Probar que el úmero de subcojutos de cardial par y el úmero de subcojutos de cardial impar coicide. Método I: Dado u subcojuto de A cada elemeto puede estar o o e el subcojuto. Es decir hay dos posibilidades para cada elemeto de A. Por tato, e total habrá 2 posibles subcojutos. Veamos ahora que coicide el úmero de subcojutos de cardial par e impar. Para ello defiiremos u criterio que hace correspoder a cada cojuto co u úmero par de elemetos otro co u úmero impar, y viceversa. Fijamos u elemeto a 0 A. Dado u subcojuto B de A, costruimos u subcojuto B de la siguiete maera: { o par de elemetos} { o impar de elemetos} B B {a 0 } si a 0 B B \ {a 0 } si a 0 B Es decir, si a 0 o está e B, se lo añadimos (B = B {a 0 }); si a 0 está e B se lo quitamos (B = B \{a 0 }). De esta forma establecemos ua correspodecia biuívoca etre subcojutos de A co u úmero par de elemetos y subcojutos de A co u úmero impar de elemetos. Por tato hay el mismo úmero de uos y de otros. Método II: El úmero de subcojutos de k elemetos que tiee A correspode precisamete a las combiacioes si repetició de elemetos tomado de k e k, C,k = ( ) k. El úmero total de subcojutos será: ( ) ( ) ( ) T otal = C,0 + C, C, = Pero por el biomio de Newto esto es exactamete (1 + 1) = 2. Co este mismo razoamieto el úmero de subcojutos co u úmero par de elemetos es: ( ) ( ) ( ) P ares = C,0 + C, C,m = m dode m = si es par y m = 1 si es impar. El úmero de subcojutos co cardial impar es: ( ) ( ) ( ) Impares = C,1 + C, C,m = m dode m = 1 si es par y m = si es impar. Si ahora calculamos la diferecia etre ambos queda: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P ares Impares = ( 1)

2 Por el biomio de Newto esto es exactamete (1 1) = 0 y probamos la igualdad etre P ares e Impares. 5. Queremos cubrir ua quiiela de fútbol compuesta de 15 partidos. (a) Cuátas quiielas distitas podemos cubrir si utilizar resultados múltiples?. E cada partido puede haber tres posibles resultados 1x2; por tato las posibilidades so: 15 = Si lo queremos razoar e la forma usual se trata de cotar cuatos grupos ordeados de 15 elemetos podemos formar utilizado tres símbolos que puede repetirse. Es decir, variacioes co repetició de elemetos tomados de 15 e 15. (b) Cuátas quiielas distitas podemos cubrir si utilizamos tres resultados dobles y dos triples?. Primero determiamos e que partidos está los resultados dobles y e cuales los triples. Se trata de escoger partidos de etre 15 para los dobles, y 2 partidos de etre los 12 restates para los triples. So respectivamete combiacioes si repetició de 15 elemetos tomados de e y de 12 elemetos tomados de 2 e 2: C 15, C 12,2 = ( )( ) = = 000 Ahora teemos que elegir e los dobles que resultado poemos (1x, 12 o x2). Por tato hay tres opcioes para cada uo de ellos. Para los triples hay ua úica opció. Mietras que para los 10 resultados restates hay opcioes. El úmero total de posibilidades será: C 15, C 12,2 1 = (a) Tres persoas sube e la plata baja al ascesor de u edificio que tiee cico pisos. De cuátas maeras diferetes puede ir saliedo del ascesor si e igú piso baja más de ua persoa?. Resolver el problema tato si se distigue como si o etre las persoas. - Primero supogamos que distiguimos etre las persoas. Por cada persoa elegimos u piso, teiedo e cueta que o se puede repetir piso, ya que e cada uo o se baja más de ua persoa. Por tato se trata de variacioes si repetició de 5 elemetos tomados de e : V 5, = 5 4 = 60 - Ahora supogamos que o distiguimos etre las persoas. La diferecia es que ahora o importa el orde e que elijamos los pisos. Por tato se trata de combiacioes si

3 repetició de 5 elemetos tomados de e : ( ) 5 C 5, = = = 10 (b) De cuátas maeras puede aliearse siete persoas, si tres de ellas debe estar jutas? Cotabilizamos primero el grupo de tres que o debe de separarse como ua solo elemeto. Cotamos etoces de cuatas maeras puede aliearse 5 elemetos (4 persoas y el grupo de ). So permutacioes de 5 elemetos. Ahora por cada ua de esas alieacioes, los tres del grupo especial puede itercambiar sus posicioes. El úmero posible de posicioes que puede tomar so permutacioes de elemetos. E defiitiva las posibilidades totales so: (Exame parcial, eero 2004) P 5 P = 5!! = = Co mujeres y 5 hombres (a) Cuátos grupos de tres persoas que icluya dos del mismo sexo se puede formar? Nos referimos a grupos co EXACTAMENTE dos persoas del mismo sexo, es decir, grupos de dos hombres y ua mujer, o u hombre y dos mujeres. Cotamos grupos de 1 o 2 persoas, elegidas etre o 5 posibilidades (depediedo de si so mujeres u hombres) si importaros el orde. Utilizaremos por tato combiacioes si repetició: ( )( ) 5 C 5,2 C,1 + C 5,1 C,2 = ( 5 1 )( ) = = 45 2 (b) Cuátas hileras de 8 persoas se puede formar si las mujeres o puede ocupar i el primer i el último lugar? Ahora importa el orde, por tratarse de hileras. Sabemos que e el primer y último puesto ecesariamete hay u hombre. Por tato, las posiblidades para elegir al primero y al último so V 5,2 = 20. Ahora para los otros seis puestos itermedios os queda hombres y mujeres. Las posilbidades totales so: V 5,2 P 6 = = (c) Cuátas hileras de 6 persoas se puede formar si persoas del mismo sexo o puede ocupar lugares cosecutivos? Las posiblidades por sexos so HMHMHM o MHMHMH, dode H repreta u hombre y M ua mujer. Teiedo e cueta que hay 5 hombres y mujeres, el úmero de hileras que podemos formar será: 2 V 5, V, = = 720

4 8. E ua caja de bomboes hay uidades de cada uo de los 5 tipos existetes. Los bomboes de cada tipo so idistiguibles etre sí. (a) Se saca de la caja bomboes (a la vez). Determiar el úmero de cofiguracioes posibles. Cada uo de los bomboes que se saca puede ser de cualquiera de los 5 tipos existetes, ya que hay de cada clase. Se trata por tato de combiacioes co repetició de 5 clases distitas tomados de tres e tres: ( ) ( ) CR 5, = = = 5 (b) Lo mismo si se saca 4 bomboes. Ahora hay que teer e cueta que los cuatro bomboes o puede ser iguales porque sólo hay uidades de cada tipo. Por tato al úmero total de combiacioes co repetició le restamos las 5 posiblidades correspodietes a los 4 bomboes iguales de cada tipo: ( ) ( ) CR 5,4 5 = 5 = 5 = (Exame fial, juio 200) 9. Teemos siete sobres de siete colores distitos. (a) Calcular de cuátas formas podemos distribuir etre los sobres siete tarjetas de los mismos colores, si cada sobre ha de coteer ua tarjeta y exactamete cico de las tarjetas ha de ir e el sobre de su mismo color. Observamos que si EXACTAMENTE cico tarjetas va e el sobre de su propio color, etoces las dos tarjetas restates hay ua úica maera de asigarlas: métiedolas e el sobre que o es de su propio color. Por tato sólo hay que elegir los 5 colores que queremos que coicida para hacer la distribució. Como o importa el orde y o se puede repetir colores, se trata de combiacoes de 7 elemetos tomados de 5 e 5: ( ) 7 C 7,5 = = 21 5 (b) Calcular de cuátas formas podemos distribuir etre los sobres siete tarjetas de las cuales tres so de tipo A, tres de tipo B y ua de tipo C (las tarjetas de cada tipo so idistiguibles etre sí y cada sobre ha de coteer ua tarjeta). A cada sobre hay que asigarle ua tarjeta. Si fuese todas de tipos diferetes, habría P 7 = 7! permutacioes posibles. Como hay de tipo A y de tipo B, hay que dividir por las permutacioes que podemos hacer etre los elemetos de cada tipo, es decir por! y!. E defiitiva se trata de permutacioes co repetició de 7 elemetos, etre los cuales hay,, 1 iguales: P (7;,, 1) = 7!!!1! = 140

5 (Exame fial, septiembre 200) 10. E ua caja teemos piedras de varios pesos: de 1 gramo, de 10 gramos, de 100 gramos y de 1 kilogramo. Sabemos que hay 10 piedras de cada tipo. Escogemos cico de ellas al azar y las pesamos e cojuto: (a) cuátos resultados distitos podemos obteer?. Dado que 5 piedras de cualquier tipo o alcaza el peso de otra piedra mayor, lo que diferecia ua pesada de otra es el úmero de piedras de cada tipo que aparece. Por tato, se trata de calcular cuatos grupos de cico piedras se puede formar teiedo e cueta que lo que diferecia u grupo de otro es el úmero de piedras de cada tipo que hay. So combiacioes co repetició de 4 elemetos tomados de 5 e 5: ) ( CR 4,5 = 5 = ( ) 8 = 5 ( ) 8 = 56 (b) cuátos resultados supera los 00 gramos?. E primer lugar teemos e cueta que co cico de estas piedras uca alcazamos exactamete 00 gramos. Además los grupos, que NO supera este peso sólo puede coteer pidedras de 1 gramo, de 10 gramos y a la sumo 2 piedras de 100 gramos. Etoces: - Grupos co piedras de 1 y 10 gramos: CR 2,5. - Grupos co 1 piedra de 100 gramos y el resto de 1 o 10: CR 2,4. - Grupos co 2 piedras de 100 gramos y el resto de 1 o 10: CR 2,. Por tato los grupos que supera los 00 gramos so: CR 4,5 CR 2,5 CR 2,4 CR 2, = 56 ( ) 6 5 ( ) 5 4 ( ) 4 = = 41 (Exame extraordiario, septiembre 2004) 11. E ua cea de atiguos compañeros de clase hay doce comesales que ha reservado ua mesa redoda e u restaurate de moda. Por ua vieja recilla dos de ellos o se trata. El orgaizador, preocupado por la situació, se preguta: (a) De cuatas formas puede setarse a la mesa los doce comesales, de maera que los eemistados o se siete jutos?. Método I: Primero calculamos de cuatas formas puede setarse los 12 si igua restricció. Teiedo e cueta que es ua mesa redoda, lo que diferecia ua cofiguració de otra es la posició relativa de uos respecto a otros. Por tato fijamos u comesal. Los oce restates puede setarse e oce sillas, de maera que el orde e que se coloque diferecia ua cofiguració de otra. Se trata por tato de permutacioes

6 de 11 elemetos, es decir: P 11 = 11! Ahora vemos e cuatas de estas posibilidades los dos eemistados A y B se sieta jutos. Fijado A como referecia, B puede setarse a su derecha o a su izquierda, y los 10 restates e las 10 sillas que queda. So por tato 2 P 10 opcioes. Restado uas de otras queda: P 11 2 P 10 = 11! 2 10! = 9 10! Método II: Directamete: si los eemistados so A y B, fijamos la posició de A. Etoces B puede setarse e cualquier silla que o este al lado de A, es decir, 9 opcioes. Los otros 10 e las restates. Obteemos que las posibilidades totales so: 9 P 10 = 9 10! (b) De cuatas formas puede setarse a la mesa los doce comesales, de maera que los dos eemistados o se siete uo efrete del otro?. Método I: A las posibilidades totales le descotamos e las que A y B está efrete. Fijadas sus posicioes los otros 10 se puede setar e las 10 sillas restates. So P 10 combiacioes. Por tato aquellas e las que o está efrete so: P 11 P 10 = 11! 10! = 10 10! Método II: Directamete: fijada la posició de A, si B o esta efrete puede setarse e las 10 sillas restates. Ahora los otros ivitados puede setarse e cualquier silla o ocupada. Las opcioes totales so: 10 P 10 = 10 10! (c) De cuatas formas puede setarse a la mesa los doce comesales, de maera que los dos eemistados o se siete i jutos i uo efrete del otro?. Método I: A las posibilidades totales les restamos aquellas e las que A y B está jutos o efrete: P 11! 2 P 10! P 10! = 11! 10! = 8 10! Método II: Directamete: fijada la posició de A, si B o esta efrete i al lado puede setarse e 8 sillas. Los otros comesales elige etre las 10 sillas restates. Queda: 8 P 10 = 8 10! (Exame fial, juio 2004)

7 12. E u toreo iteracioal se ha iscrito seis teistas procedetes de Sildavia. Co ellos se ha de formar tres equipos de dos persoas cada uo para participar e la modalidad de dobles. De cuátas formas se puede formar los equipos? Supogamos primero que costruimos los equipos e u orde determiado. Para el primer equipo podemos escoger etre 6 cadidatos. Por tato teemos C 6,2 posiblididades. Para el segudo equipo os queda cuatro cadidatos. Por tato teemos C 4,2 posibilidades. Para el tercer equipo ya sólo os queda dos cadidatos, luego teemos ua úica posibilidad (C 2,2 = 1). E total tedremos: C 6,2 C 4,2 = ( ) 6 2 ( ) 4 = 90 2 posibilidades. Fialmete, si e uestra distribució de equipos o distiguimos etre primero, segudo y tercero, hay que teer e cueta de cuatas maeras puede permutar sus posicioes. Hay P =! = 6 posibilidades. Por tato e uestro coteo iicial hemos repetido cada distribució de equipos 6 veces. Nos quedará etoces 90 6 = 15 distribucioes. 1. Vives e ua urbaizació que se puede represetar esquemáticamete co el siguiete diagrama: Ua mañaa te dispoes a desplazarte desde A hasta B. Es claro que para hacerlo tedrás que recorrer al meos 11 tramos (u tramo es la logitud del lado de ua mazaa). (a) Cuatos recorridos formados por 11 tramos lleva desde A hasta B? Para hacer el recorrido e oce tramos ecesariamete e cada cruce sólo puedes, o bie subir, o bie ir a la derecha. Si bajas o vas a la izquierda ecesitarías más de 11 tramos para completar el recorrido. E cocreto hay que subir 4 mazaas e ir 7 a la derecha. Por tato ua ruta de oce tramos cosiste simplemete e decidir e que orde hacemos los tramos de subida y los de ir a la derecha. So permutacioes co repetició

8 de 11 elemetos dode hay 7 de ua clase y 4 de la otra: P (11; 7, 4) = 11! 7!4! = 0 (b) Cuátos de 12 tramos? Sabemos que el úmero míimo de tramos es 11, 4 hacia arriba y 7 a la derecha. Si recorremos algú tramo a la izquieda o hacia abajo, hemos de volver a recorrer otro hacia la derecha o hacia arriba respectivamete, para recuperalo. Por tato para completar el recorrido de A a B, ecesariamete hemos de añadir u úmero par de tramos al úmero míimo 11. Deducimos que es imposible hacerlo e 12 tramos. (c) Si deseas evitar a toda costa la itersecció C marcada e el dibujo (por motivos que o viee al caso), cuátos recorridos de 11 tramos puedes seguir? Cotamos el úmero de recorridos de 11 tramos que pasa por la itersecció C y los descotamos del úmero de recorridos total calculado e (a). Para ir de A a C ecesitamos tramos a la derecha y 2 hacia arriba. Las posibilidades so P (5;, 2). Para ir de C a B ecesitamos 4 tramos a la derecha y 2 hacia arriba. Es decir, P (6; 4, 2) posiblidades. E total hay recorridos de 11 tramos pasado por C. P (5;, 2) P (6; 4, 2) = 5!!2! 6! 4!2! = 150 Por tato el úmero de recorridos de 11 tramos que o pasa por C es: 11! 7!4! 5!!2! 6! 4!2! = = Tres persoas se sube al ascesor e la plata baja de u edificio co 5 platas más. Calcular de cuátas formas puede bajar del ascesor (a) si distiguimos etre las tres persoas. Cada ua de ellas puede elegir ua cualquiera de las 5 platas, pudiedo bajarse dos o más e la misma. So por tato variacioes co repetició de 5 elemetos tomados de e : V R 5, = 5 = 125 (b) si o distiguimos etre las tres persoas Ahora, como o distiguimos etre las persoas o os importa el orde e que se elija las platas. Por tato so combiacioes co repetició de 5 clases de elemetos tomados de e : ( ) CR 5, = = 5

9 15. Cuátas circuferecias e el plao pasa por al meos tres de los putos (0,0), (0,1), (0,2), (1,0), (1,1), (1,2), (2,0), (2,1), (2,2)? Sabemos que por cada tres putos o alieados pasa ua úica circuferecia. Calculemos primero el úmero de posibilidades para escoger putos etre los 9 que os da. Como o se puede repetir y o impora el orde, este úmero so las combiacioes si repetició de 9 elemetos tomados de e : C 9, = ( ) 9 = 84 Ahora bie, de estos grupos de putos hay 8 que correspode a putos alieados. Luego teemos e pricipio 84 8 = 76 circuferecias. Si embargo hay que teer e cueta que algua de las circuferecias la hemos cotabilizado repetida, ya que pasa por por 4 putos. Cada circuferecia que pasa por 4 putos, la hemos cotado exactamete C 4, = 4 veces, luego por cada ua de ellas habrá que descotar casos: Vemos que hay 14 circuferecias pasado por 4 putos. Por tato el úmero fial de circuferecias es: ( ) = 4