Vectores y matrices. x 1. x 2. x n. vector columna. X x 1, x 2,...,x n vector fila. a 11 a a 1m. a 21 a a 2m... a n1 a n2...

Transcripción

1 Vectores y matrices x 1 X x 2. x vector columa X x 1, x 2,...,x vector fila a 11 a a 1m A a 21 a a 2m a 1 a 2... a m Matriz traspuesta a 11 a a 1 A a 12 a a a 1m a 2m... a m : 1) A B A B 2) A i A i 3) AB B A 4) A i A A 1...A 1 Matriz simétrica: A x es simétrica si A A Traza de ua matriz cuadrada:

2 a ii Tr A : 1) Tr A Tr A 2) Tr A i Tr A i 3) Tr AB Tr BA 4) Tr ABC Tr BCA Tr CAB 5) Tr A Tr A siedo u escalar Determiate de ua matriz cuadrada de orde : ua permutació del cojuto 1,2,..., i : el i-ésimo elemeto de # : el úmero de iversioes de la permutació det A 1 # a i,i 1) det A det A 2) det diag a 1,...,a 3) det AB det A det B 4) det AA 0 a i Iversa de ua matriz cuadrada Sea A ua matriz cuadrada de orde, si existe B tal que AB BA I, B se deomia iversa de A y se ota A 1.E este caso A se dice o sigular. 1) det A 1 1 det A 2) AB 1 B 1 A 1, si las iversas existe 3) A 1 A 1 4) Si A es simétrica, A 1 tambiéloes 5) Si A es o sigular, det A 0 Rago de ua matriz: es el úmero de filas o de columas liealmete idepedietes : 1) Si A xp,rg A mi,p

3 2) Si A x y rg A, etoces existe A 1 3) rg AB mi rg A,rg B 4) rg A rg A rg AA rg A A Iversa geeralizada: ua iversa geeralizada de A (siedo A ua matriz o ecesariamete cuadrada) es ua matriz A que satisface: AA A A Todas las matrices tiee al meos ua iversa geeralizada Si A es o sigular, A A 1 Si A es sigular, A o es úica Ejemplo Sea X ua matriz de dimesió xp, de rago p, ua iversa geeralizada de X es X X X 1 X ya que XX X X X X 1 X X X Iversa geeralizada de Moore Perose: dada ua matriz A de xp existe ua úica matriz M de px, tal que a) AMA A b) MAM M c) AM es simétrica d) MA es simétrica Si A es cuadrada y o sigular etoces M A 1. MA es la matriz de proyecció e el espacio fila de A. AM es la matriz de proyecció e el espacio columa de A Sea X ua matriz de dimesió xp, de rago p, la iversa geeralizada de Moore Perose de X es M X X 1 X Producto itero o escalar de vectores Sea x e y vectores e, x,y x y y x x i y i 1) x,y y,x 2) ax,y a x,y 3) x 1 x 2,y x 1,y x 2,y

4 2 x i Se defie la orma de x como x x x Desigualdad de Cauchy Schwarz: x,y 2 x 2 y 2 La distacia etre dos vectores x e y se defie como x y Vectores ortogoales x e y so ortogoales si x,y 0 y se escribe x y Teorema de Pitágoras Sea v 1,v 2,...v vectores ortogoales dos a dos e, 2 v i v i 2 Proyecció ortogoal de u vector e la direcció de otro: Dado el vector y, se defie el vector proyecció de dicho vector sobre u vector x como y proy y/x tal que: 1) y bx para algú escalar b 2) y y x o equivaletemete y,x y,x Al buscar el valor del escalar b que satisface dichas codicioes 0 para x 0 y y,x / x 2 y x 0 1) y y 2 y ax 2 cualquiera sea el escalar a 2) proy cy/x cproy y/x 3) proy y/cx proy y/x Vector ortogoal a u subespacio U vector y es ortogoal a u subespacio V de,si es ortogoal a todos los vectores de V Proyecció de u vector sobre u subespacio La proyecció de u vector y e u subespacio V de, es el vector proy y/v y tal que y y V,el vector e y y es el residuo de y relativo a V.

5 Propiedadades 1) Sea v 1,v 2,...v vectores que determia ua base ortogoal de V, proy y/v proy y/v i 2) Sea w V, y w 2 y y 2 Matriz ortogoal: ua matriz cuadrada es ortogoal si AA A A I : sea A y B matrices ortogoales 1) AB es ortogoal 2) det A 1 3) Las filas de A so vectores ortoormales al igual que las columas Matriz idempotete: ua matriz P es idempotete si P 2 P Matriz de proyecció: es ua matriz P idempotete y simétrica 1) Todas las matrices idempotetes excepto la idetidad so sigulares 2) Si P es idempotete I P tambiéloes 3) Si P es ua matriz de proyecció rg P Tr P Teorema Sea x 1,x 2,...,x u sistema de geeradores del subespacio V, si proy y/v y b 1 x 1 b 2 x 2... b x se ecesita que: y,x i y,x i i :1 i, estas codicioes so coocidas como ecuacioes ormales, dichas codicioes e forma matricial se puede expresar como X X b X y siedo X la matriz x 1,x 2,...,x, es decir la matriz cuyas columas so los vectores del sistema de geeradores de V Si X X es o sigular ( equivaletemete x 1,x 2,...,x es ua base de V la proyecció es úica y b X X 1 X y y Xb X X X 1 X y Py siedo P X X X 1 X la matriz de proyecció que

6 proyecta y sobre V. Si V es el complemeto ortogoal de V, I P es la matriz de proyecció de y sobre V Autovalores y autovectores Sea A ua matriz cuadrada de orde, u escalar, v u vector, si se satisface la codició Av v, es u autovalor de A y v es el autovector asociado. Av v es equivalete a det A I 0 (ecuació característica) que es u poliomio e de grado. Los autovalores so etoces las raíces de la ecuació característica. 1) tr A es la suma de los autovalores y det A es el producto de los autovalores 2) Si es u autovalor de A, es u autovalor de A 3) Si A es o sigular y es u autovalor de A, 1 es u autovalor de A 1 4) Si es u autovalor de A,c es u autovalor de ca Teorema Si 1, 2,..., so autovalores distitos de la matriz A y v 1,v 2,...,v so autovectores asociados a 1, 2,..., respectivamete, etoces v 1,v 2,...v so liealmete idepedietes. Autovalores y autovectores de matrices simétricas 1) A tiee autovalores 1, 2,..., reales pero o ecesariamete todos distitos 2) rg A úmero de autovalores o ulos 3) Si v 1 y v 2 so autovectores asociados a autovalores distitos, etoces so ortogoales 4) Si i es raíz de multiplicidad r de la ecuació característica se puede ecotrar r autovectores ortogoales asociados co i 5) Si los autovectores se elige además de orma 1, se puede ecotrar u cojuto de autovectores ortoormales u 1,u 2,...,u correspodietes a los autovalores 1, 2,...,, repitiedo u autovalor r veces si su multiplicidad es r, de modo que geere Descomposició espectral

7 Si diag 1, 2,...,, U u 1,u 2,...,u etoces AU U siedo además U U I etoces U AU y A U U que se cooce como la descomposició espectral de A 1) Si P es ua matriz de proyecció, P tiee rago r si y sólo si tiee r autovalores iguales a 1 y r iguales a cero 2) Si P es ua matriz de proyecció,p tiee los mismos autovalores que P y por lo tato el mismo rago 3) Si A es ua matriz ortogoal y es u autovalor de A, etoces 1/ tambié es autovalor de A Formas cuadráticas Sea A ua matriz simétrica de orde y X u vector de, etoces X AX se deomia forma cuadrática. La matriz A (o su correspodiete forma cuadrática) se dice semidefiida positiva si X AX 0 X La matriz A se dice defiida positiva si X AX 0 X 0 1) Los autovalores de ua matriz semidefiida positiva so todos o egativos 2) Los autovalores de ua matriz defiida positiva so todos positivos y por lo tato A es o sigular 3) A es semidefiida positiva de rago r si y sólo si existe ua matriz de rago r tal que A RR 4) A es defiida positiva si y sólo si existe ua matriz R o sigular tal que A RR 5) Si A es defiida positiva, A 1 tambiéloes 6) Si A es defiida positiva, rg CAC rg A 7) Si X es ua matriz de xp de rago p, etoces X X es defiida positiva