VECTORES. A partir de la representación de, como una recta numérica, los elementos

Transcripción

1 VECTORES VECTORES Los ectores, que era utilizados e mecáica e la composició de fuerzas y elocidades ya desde fies del siglo XVII, o tuiero repercusió etre los matemáticos hasta el siglo XIX cuado Gauss usa implícitamete la suma ectorial e la represetació geométrica de los úmeros complejos e el plao y cuado Bellaitis desarrolla sus "equipolecias", u cojuto de operacioes co catidades dirigidas que equiale al cálculo ectorial de hoy. El paso siguiete lo da Hamilto. Co Hamilto iicia el estudio de los ectores. Se le debe a él el ombre de 'ector' producto de la creació de u sistema de úmeros complejos de cuatro uidades, deomiado "cuaterioes'', muy usados hoy e día para el trabajo co rotacioes de objetos e el espacio D. Actualmete, casi todas las áreas de la física so represetadas por medio del leguaje de los ectores. E este tema, estudiaremos los ectores e, las operacioes y sus propiedades. Además de alguos ejemplos, se desarrolla actiidades iteractias e D para facilitar la apropiació de los coceptos estudiados. Vectores a, b R se A partir de la represetació de, como ua recta umérica, los elemetos asocia co putos de u plao defiido por dos rectas perpediculares que al mismo tiempo defie u sistema de coordeadas rectagulares dode la itersecció represeta a ( 0, 0 ) y cada ( a, b ) se asocia co u puto de coordeada e la recta horizotal (eje ) y la coordeada e la recta ertical (eje ). Aálogamete, los elemetos a, b, c R se asocia co putos e el espacio tridimesioal defiido co tres rectas mutuamete perpediculares. Estas rectas forma los ejes del sistema de coordeadas rectagulares (ejes, y ).

2 VECTORES Los ectores se puede represetar mediate segmetos de recta dirigidos, o flechas, e y e. La direcció de la flecha idica la direcció del ector y la logitud de la flecha determia su magitud. Vector e el plao ector e el espacio Ejemplo graficar el ector: u 8,0, para ello: ) Localicemos e el plao xy el puto ( 8, 0 ) y sobre este puto ubicamos e el eje z ) Uimos mediate u segmeto dirigido el puto ( 0, 0, 0 ) y ( 8, 0, )

3 VECTORES Notació Los ectores se deotará co letras miúsculas co u flecha arriba tales como,. Los putos se deotará co letras mayúsculas tales como,,. E el cotexto de los ectores, los úmeros reales será llamados escalares y se deotará co letras miúsculas cursias tales como,,,. Si el puto iicial de u ector es y el puto fial es, etoces 0 El ector ulo se deota co 0,0,0,..., 0 x x, x,... x, U ector e el es u euple de úmeros reales, x i R. A cada x i se le llama compoete i-ésima del ector. U ector e U ector e R tiee la forma x, x, x R tiee la forma x, x, x, x

4 VECTORES U ector e 6 R tiee la forma x, x, x, x, x5, x6 Los ectores e el espacio geeralmete los deotamos e la forma x, y, z Operacioes Básicas Igualdad Dos ectores so iguales si tiee, e el mismo orde, las mismas compoetes. Cosideremos los ectores X x x, x,... y Y y y, y,... que Y X si y sólo si. i i EJEMPLO, x x y para cada i,,...,, y. Decimos Sea los ectores,, ;,,, etoces ya cada compoete correspodiete es diferete, así la compoete e x del ector es y la del ector es. Haga la represetació grafica de los ectores. Nota. Dados dos ectores, si ua de las compoetes correspodietes es diferetes los ectores o so iguales, así los ectores,, ;,, so diferetes ya que tiee diferete la primera compoete.

5 VECTORES 5 OPERACIONES CON VECTORES. Suma y resta La suma y resta de ectores se hace compoete a compoete. Para sumar ectores se debe teer e cueta que estos perteezca al mismo espacio ectorial. Cosideremos los ectores,,... R y,,... R.,,... EJEMPLO Sea,,,,... y,,, etoces,,,,8

6 VECTORES 6,,,,0 Multiplicació por u escalar.cuado multiplicamos u ector cualquiera de u espacio ectorial por u escalar k, se multiplica cada compoete del ector por el alor del escalar. El resultado es u ector que a a teer la misma direcció del ector dado y cuyo modulo es k eces el modulo del ector dado. Cosideremos el ector,,... R y el escalar k R, etoces k k, k,... k R EJEMPLO Sea,, u ector e el espacio tridimesioal, etoces Si k =, se tiee que k,, *,*,*,6,8

7 VECTORES 7 Propiedades de los ectores Cosideremos el ector, u, R y R, etoces NORMA, MODULO, MAGNITUD DE UN VEC TOR Cosideremos el ector la orma del ector, deotada por,,... R y el escalar k R, etoces se defie como la distacia que hay desde orige del ector hasta su puto termial, si el orige del ector coicide co el orige del sistema cartesiao se tiee... Asi, el modulo del ector,,, es igual a ( ) 9 6

8 VECTORES 8 Producto puto y orma El producto puto (o escalar) es ua operació etre ectores cuyo resultado siempre es u escalar. Esta operació es itroducida para expresar algebraicamete la idea geométrica de magitud. Si coocemos los módulos de los ectores, y el águlo etre ellos, se defie el producto puto como el escalar Cos,,... Cuado se cooce las compoetes de los ectores,,... se defie de la siguiete maera perteecietes al espacio ectorial... i i i R. El producto puto (o escalar) y Nota ; sea el ector,,... etoces i i i i i 0

9 VECTORES 9 Propiedades del producto puto Cosideremos los ectores R u,, y R etoces 0 0 u u u u u Obseració: NO hay propiedad asociatia pues, u o tiee setido dado que es u úmero real. VECTOR UNITARIO U ector se dice uitario si su orma es. Asi por ejemplo. El ector, es u ector uitario puesto que Si es u ector diferete del ector cero, etoces u ector uitario e la direcció del ector, se defie como el ector diido e el modulo de : U Los ectores 0,0,, 0,,0,,0,0 i i i so ectores uitarios e la direcció de los ejes coordeados.

10 VECTORES 0 Águlo etre ectores Dados los ectores,,... obtiee a partir del producto puto y,,..., el águlo etre ellos se Cos Despejado Coseo, se llega a Cos VECTORES PERPENDICULARES U ORTOGONALES Los ectores so perpediculares si el águlo que forma etre ellos es de 90 grados, luego reemplazado e el producto escalar se tiee Cos90 (0) 0

11 VECTORES EJEMPLO i.) Sea,0, y 6,, etoces y so ortogoales pues ( 6) 0() () Paralelismo, perpedicularidad, coseos directores. Dados los ectores,,... y,,..., se dice que A) Los ectores so perpediculares si se cumple que el producto puto sea igual a cero B) Los ectores so paralelos es uo es u múltiplo escalar del otro, es decir existe u escalar k, de tal maera que k

12 VECTORES Proyecció ortogoal Geométricamete lo que queremos es determiar el ector que se obtiee al proyectar ortogoalmete el ector sobre el ector deotado por proy u. Se defie como Pr oy u u Al ector u Pr oy u se le cooce como la compoete de ortogoal a.

13 VECTORES Producto Cruz e El producto cruz etre dos ectores de se defie de la siguiete maera,, Dados los ectores producto ectorial y,,, se defie el producto cruz o como el ector que resulta del desarrollo del determiate i j k El ector producto ectorial es u ector que es perpedicular a cada uo de los ectores y

14 VECTORES y,, Sea,, etoces i j 5 k 5 i j k 5 9i j k Propiedades del producto cruz Cosideremos los ectores,, u R y, etoces... (igualdad d Lagrage)

15 VECTORES 5 NOTA:De la propiedad y la propiedad podemos deducir que si dos ectores so paralelos, el producto cruz es cero ) EL MODULO DEL PRODUCTO VECTORIAL REPRESENTA GEOMETRICAMENTE EL AREA DEL PARALELOGRAMO QUE TIENE POR LADOS LOS VECTORES DADOS. ) EL VALOR ABSOLUTO DEL TRIPLE PRODUCTO ESCALAR REPRESENTA GEOMETRICAMENTE EL VOLUMEN DEL PARALELEPIPEDO QUE TIENE POR ARISTAS LOS VECTORES DADOS.