Burgos Simón, Clara Cortés López, Juan Carlos; Navarro Quiles, Ana

Transcripción

1 Las Matemáticas para la Gestió de Carteras co Riesgo. Carteras compuestas por activos co correlacioes estadísticas arbitrarias. El caso e que se fija el redimieto esperado de la cartera Apellidos, ombre Departameto Cetro Burgos Simó, Clara Cortés López, Jua Carlos; Navarro Quiles, Aa (clabursi@posgrado.upv.es; jccortes@imm.upv.es; aaqui@posgrado.upv.es) Matemática Aplicada Istituto Uiversitario de Matemática Multidiscipliar Facultad de Admiistració y Direcció de Empresas

2 Resume de las ideas clave E estas págias se estudia el problema de la determiació de los pesos de los activos que costituye ua cartera fiaciera para miimizar el riesgo de la iversió global siedo que el redimieto de la cartera está prefijado. Este problema está muy relacioado, pero es matemática y fiacieramete distito, al que cosiste e determiar los pesos de cada uo de los activos para miimizar el riesgo de la cartera asumiedo que se cooce los riesgos idividuales de cada uo de los activos que forma la iversió global. 2 Itroducció Uo de los problemas cetrales de la Gestió del Riesgo de Carteras Fiacieras está formulado a través del siguiete programa de optimizació Ecuació. Programa de optimizació para la Gestió del Riesgo de Carteras Este problema cosiste e la determiació de los pesos 2 σ w,w 2, w de los activos fiacieros que forma ua cartera para miimizar el riesgo ( ) Miimizar w,, w sujeta a ( ) c ij w j w C w T, de la cartera, siedo C la matriz de variazas-covariazas de los activos que forma la cartera. La solució de este problema está dada por w * C C. T Ecuació. Solució del programa de optimizació de la Ec., siedo E estas págias abordamos u problema estrechamete relacioado co el formulado e la Ec., pero impoiedo ua ueva restricció al problema que la iversió global o cartera tega u redimieto prefijado. Como veremos e el desarrollo del trabajo, este uevo cotexto coduce a ua solució diferete que tiee gra iterés e las aplicacioes fiacieras. j w T. # w [ w,, w ] [,, ]. 3 Objetivos Los pricipales objetivos docetes de este artículo so que el alumo sea capaz de Describir el problema de miimizació del riesgo asociado a ua cartera de iversió cosistete e determiar los pesos de cada uo de los activos que forma la cartera de maera que se miimice el riesgo global de la iversió para u redimieto de la cartera prefijado y asumiedo para ello que se cooce cada uo de los retoros esperados idividuales de los

3 diferetes activos que forma la cartera, así como sus correlacioes estadísticas. Desarrollar los pricipales pasos algebraicos que permite obteer la expresió matemática de los pesos asociados a cada uo de los activos que forma la cartera de míimo riesgo bajo las restriccioes impuestas. 4 Plateamieto del problema El estudio del problema euciado e la Ec. cosiste e determiar los pesos w *, w* 2,, w* de cada uo de los activos a, a 2,, a, respectivamete, que forma ua cartera de modo que el riesgo de la cartera sea míimo. Desde este efoque, ua vez calculados los pesos w *, w*,, 2 w*, y coocidos los retoros esperados µ,µ 2,,µ, de cada activo, queda determiado el retoro esperado, µ, de la cartera. Si embargo, como se ha señalado e la secció Itroducció e este trabajo abordaremos otro problema estrechamete relacioado co el formulado e la Ec.. y tambié de gra iterés desde el puto de vista práctico es la determiació de los pesos w *, w* 2,, w* para u redimieto esperado, µ, de la cartera, que se haya fijado o propuesto el iversor. E este esceario, se trata de resolver el programa de miimizació de la Ec.2. Miimizar w,, w ( ) c ij w j w C w T, sujeta a w T, j µ i w m T µ. Ecuació 2. Programa de optimizació para determiar los pesos miimiza la cartera formada por los activos co matriz de variaza-covariaza, fijado u valor del retoro esperado, µ, de la cartera. Para la resolució de este programa de optimizació se aplicará el método de los multiplicadores de Lagrage []. La fució objetivo auxiliar es h h( w,, w ; α, β) c ij w j + α j ( ) + β µ ( µ i ) w C w T + α w T # w " w, w # 2,, w C que ( ) + β µ w ( m T ) Los putos críticos se determia mediate el siguiete sistema de + 2 ecuacioes.

4 h w 2C w T α T β m T 0 T, h α 0, h β µ µ i 0, ( 2C w T α T + β m T, w T, µ m w T, ( cuyas icógitas so w,w 2,,w,α obtiee y β. De la primera ecuació aterior se 2C w T α T + β m T w T 2 C ( α T + β m T ) w ( 2 α + β m )C, Ecuació 3. Expresió de w para el programa de optimizació dado e la Ec.2. es simétrica, por serlo la matriz de variazas- dode se ha utilizado que C covariazas C. Sustituyedo estas expresioes de w y w T e las ecuacioes de las restriccioes se obtiee u sistema de dos ecuacioes que determia α y β w T ( 2 α + β m ) C T ( C T )α + ( m C T )β 2, µ m w T m 2 C ( α T + β m T ) ( m C T )α + ( m C m T )β 2µ. Para calcular α y β se puede aplicar la regla de Cramer ˆα 2 m C T µ m C m T C T m C T m C T m C m T C T 2 m C T µ, ˆβ C T m C T m C T m C m T. Fialmete, el vector de pesos w, que miimiza el programa de optimizació dado e la Ec., se determia sustituyedo estos dos valores e la expresió de w obteida e Ec.3 µ ŵ m C T m C m C + T C T m C T C T m C T µ m C T m C m T m C Ecuació 4. Vector de pesos que miimiza el riesgo de ua cartera co retoro esperado, µ, prefijado..

5 Co todo ello, se acaba de establecer el siguiete Resultado pricipal I Fijado u retoro esperado,, la cartera co míimo riesgo está determiada por el vector de pesos dado e la Ec.4. 5 La frotera eficiete de Markowitz A partir de este resultado se deriva alguas cosecuecias iteresates que pasamos a cometar. Ateriormete hemos visto que los putos ( σ mi,µ), siedo µ u valor prefijado del retoro esperado de la cartera, determia, al variar el valor de µ, u cojuto que se deomia frotera eficiete de Markowitz. Gracias al resultado aterior se describe este cojuto de putos. E particular, la Ec.4 revela que los pesos de míimo riesgo, ŵ, so ua fució lieal del retoro esperado, µ, de la cartera. Esto implica que al variar µ etre los valores (,+ ), mietras que los pesos de ( ) míimo riesgo dibuja ua líea recta e el hiperplao de pesos, los putos σ mi,µ describe la curva de Markowitz (la raíz cuadrada de ua parábola tumbada ). Esto justifica fialmete el proceso realizado previamete, y dibujado e la Fig.. De este modo, y siguiedo la otació de la Fig., las coordeadas del puto A de la frotera eficiete de Markowitz determia los pesos co meor riesgo, σ de etre todas las carteras que tiee u redimieto esperado dado μ (y que perteece a la recta l ); y recíprocamete, las coordeadas del puto A de la frotera eficiete de Markowitz determia los pesos co mayor redimieto esperado μ de etre todas las que tiee el mismo riesgo, σ. E térmios técicos, el puto A domia al puto B. Las coclusioes ateriores se resume e el siguiete Resultado pricipal II Cualquier puto alcazable (es decir coteido e la parábola de Markowitz) está domiado por u puto alcazable de la frotera eficiete de Markowitz. Por tato, los iversores que busca miimizar el riesgo para u retoro esperado prefijado, solo debe fijarse e la frotera eficiete de Markowitz.

6 Figura. Represetació gráfica de la Frotera Eficiete de Markowitz. 6 U ejemplo E esta secció se ilustra los coceptos y resultados ateriores mediate u ejemplo umérico. Se determiará los pesos de ua cartera de riesgo míimo de modo que la cartera tega u riesgo esperado prefijado, por ejemplo, μ (μ 0.0). Supodremos que la cartera está formada por tres activos para los cuales, se asume que se cooce (a partir de series históricas de cotizacioes y métodos estadísticos) sus retoros esperados m µ,µ 2,µ 3 E R,E R 2,E R 3 0.2,0.,0.3, los riesgos de cada activo, mediate las desviacioes típicas de los retoros σ,,σ 3 + Var R,+ Var R 2,+ Var R 3 0.2,0.0,0.0, y sus coeficietes de correlació de los retoros ρ i, j ρ j,i E (R i E[R i ])(R j E[R j ]), i, j 3, i j, ρ,2 ρ 2, 0.0; ρ,3 ρ 3, 0.05; ρ 2,3 ρ 3, Por tato, tambié se cooce su matriz de variazas-covariazas y su iversa 2 σ ρ,2 σ ρ,3 σ σ 3 C 2 ρ,2 σ ρ 2,3 σ 3 2 ρ,3 σ σ 3 ρ 2,3 σ 3 σ 3 C

7 Utilizado la Ec.4 se obtiee el vector de pesos de la cartera (para lo cual detallamos los cálculos itermedios) m C -. / m C -. m / w C -. C -. / m C , , , , , Como se ha obteido valores egativos para los pesos de los activos y 3, esto sigifica que la cartera debe estar formado por posicioes cortas (short-positio) de dichos activos. 7 Cierre E este trabajo se ha estudiado u problema de iterés e el ámbito de la Gestió de Riesgos Fiacieros, abordado la determiació de los pesos de los activos subyacetes que debe compoer ua cartera iversora de modo que ésta tega u riesgo míimo y u redimieto esperado prefijado. La resolució de este problema se basa e la aplicació de técicas de optimizació de matemática y el uso de u cálculo matricial compacto para maejar de forma efectiva los cálculos operacioales implicados. Si duda el estudio es u excelete ejemplo de la efectividad de las matemáticas e otras disciplias y que debe servir para estimular al lector e las aplicacioes de las Matemáticas e la Gestió de Riesgos Fiacieros. 8 Bibliografía [] Barbollá, R., Cerdá, E. Y Saz, P. Optimizació. Cuestioes, Ejercicios y Aplicacioes a la Ecoomía, Pretice-Hall, Se trata de u texto excelete e el cual a través de umerosos ejercicios se revisa los aspectos más importates de la optimizació libre, co restriccioes de igualdad y co restriccioes de desigualdad.