Integración IV. Revisión de Métodos Numéricos Aplicables en Simulación de Estado Estacionario 2017

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Mercedes Castilla Maestre
hace 5 años
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1 Itegració IV Revisió de Métodos Numéricos Aplicables e Simulació de Estado Estacioario 07 Profesor: Dr. Nicolás J. Scea JP: Dr. Néstor H. Rodríguez Au. ra: Dr. Jua I. Maassaldi

2 Itroducció Abiertos Secate Aproimacioes Sucesivas Sustitució directa (simple) Método de Wegstei (acelerado) Acotados Newto Rhapso Bisecció Regla Falsa radicioal Múltiples Raíces

3 Itroducció Abiertos Secate Aproimacioes Sucesivas Sustitució directa (simple) Método de Wegstei (acelerado) Acotados Newto Rhapso Bisecció Regla Falsa radicioal Múltiples Raíces

4 Aproimacioes Sucesivas (uivariable) Sea la fució: y f ( ) Se desea hallar tal que y f ( ) 0 Para aplicar el método se debe defiir ua ueva fució F() del tipo: F( ) F( ) Se obtiee sumado miembro a miembro e la epresió origial Despejado de algú termio F l 4 f l 4 F F 4 l 4 e

5 0 0 Sustitució directa A partir de u valor iicial (puto de arraque o valor semilla) se geera u uevo valor utilizado F() F 0 F k k F k,,..., k k k k k k ma F r Se geera valores hasta satisfacer la toleracia del error o alcazar el umero máimo de iteracioes

6 F() Iterpretació Grafica

7 Iterpretació Grafica

8 Iterpretació Grafica

9 Iterpretació Grafica

10 Iterpretació Grafica

11 Método de Wegstei Mejora el proceso de sustitució directa. A partir del valor iicial se geera dos valores de maera tradicioal y luego se aplica la siguiete ley recursiva: q q q k k F k k F k k k k k F k, 3,..., k k k k k k ma F r Se geera valores hasta satisfacer la toleracia del error o alcazar el umero máimo de iteracioes

12 Paso a paso para ua mejor compresió: F 0 F F 3 Método de Wegstei F q F q q 3 3 F 4 3 q q q k k F k k F k k k k k F k, 3,..., k k k k k k ma F r

13 F() Iterpretació Grafica El uevo valor geerado e la iteració k, o sea 6 k 4 correspode a la itersecció de la k k k recta que ue los putos, F y, F co la recta y= k

14 Método de Newto-Rhapso (uivariable) A partir de u valor iicial (puto de arraque o valor semilla) se geera u uevo valor que correspode a la itersecció de la recta tagete a la curva co el eje de las abscisas f f ' f f ' 0 0 k,,..., k ma k k f f ' k k k k k k f r Se geera valores hasta satisfacer la toleracia del error o alcazar el umero máimo de iteracioes

15 f() Iterpretació Grafica

16 Modificació para múltiples raíces Las raíces múltiples correspode a putos e dode la fució es tagete al eje. u f f ' Ralsto ad Rabiowitz (978) propusiero la fució u() que tiee las mismas raíces que f() Por lo tato, al aplicar N-R a la ueva fució u() se obtiee: luego, ' u f f u' f ' f f '' k k u u' k k k k k k f f ' k k k '' f ' f f k,,..., k k k k k f ma r Se geera valores hasta satisfacer la toleracia del error o alcazar el umero máimo de iteracioes

17 f() Iterpretació Grafica

18 f() Iterpretació Grafica (N-R tradicioal) 4 iteracioes N-R tradicioal

19 f() Iterpretació Grafica (N-R modificado) 5 iteracioes N-R modificado

20 Sistema de ecuacioes algebraicas o lieales f,,, 0 f,,, 0 f,,, 0 m R i,,, i f : R R j,,, m j -m: grados de libertad Si perdida de geeralidad supodremos m= f,,, 0 f,,, 0 f,,, 0

21 Sistema de ecuacioes algebraicas o lieales Se defie la fució vectorial f asociada al sistema de ecuacioes origial y el vector de icógitas : f f,,, f,,, f,,, R f : R R Por lo tato, la epresió compacta de u sistema de ecuacioes algebraicas o lieal correspode a: f 0

22 Sistema de ecuacioes algebraicas o lieales Para aplicar algú método de aproimacioes sucesivas se debe reformular la fució vectorial origial a ua del tipo: F F,,, F,,, F,,, Por lo que el sistema equivalete correspode a: F R F : R R

23 Ejemplo f, cos 0 f, e e 0 f cos e e F cos e e f 0 F R ; f : R R ; F : R R

24 Sustitució directa (multivariable) El valor de arraque o semilla correspode a u vector: 0 La primera aproimació se obtiee a partir de la fució vectorial F asociada al sistema origial. 0 F Fialmete se desarrolla el proceso iterativo hasta satisfacer la toleracia o alcazar el máimo de iteracioes: k k F k,,..., k k k k k k ma r 0 Al tratarse de vectores el error correspode a la orma de la diferecia etre dos aproimacioes sucesivas

25 Implemetació e el ejemplo F cos e e F F e e El error de la iteració 7 correspode a: e El sistema o coverge!

26 F F 3 F Método de Wegstei (multivariable) Correspode a ua etesió de lo presetado para ua variable. q q 0 Q q k k Fi F i i i k k i i i qi i a i k k F a k k k Q I Q Q q i a ii i k,3,..., k k k k k k ma F r

27 Implemetació e el ejemplo F F F i i Fi F i i i a i qi i a i Q q i a ii i Q Q I Q 3 i i i i

28 Implemetació e el ejemplo e e F El error de la iteració 90 correspode a: e Este es el meor error que se pudo ecotrar e 00 iteracioes. La solució ecotrada o es de buea calidad F 3.35 f

29 Método de Newto-Rhapso (multivariable) La formula recursiva de N-R multivariable correspode a: k,,..., k ma k k k k J f k k k r Iversa de la matriz J evaluada e el puto k f f f f f f f J f f f Matriz Jacobiaa de la fució f R f : R R J : R R

30 Implemetació e el ejemplo cos f e e J se se e e e e e

31 Implemetació e el ejemplo e e e Podemos afirmar que es solució del sistema. El error es del orde de 0 - f F.96976

32 Modelo de u Compresor P m i, h s W RC h is P m i, h s C m m m 0 m m i, i,, i, i 0 W mh mh 0 W mh h W m h i

33 Ejemplo: Compresió de Metao Hipótesis: Si cambio de fase Gas Ideal Redimieto isetrópico coocido Relació de compresió Coocida h cp d i=metao : 98.5 K P :.035 bar W/m? RC=4 h is =0.8 C :? P : bar h is h h h cp d cp P s d R P l 0 cp d R l RC 0

34 Estrategia de resolució Paso a Paso cp s d R RC l 0 Newto-Rhapso Sustitució Directa Wegstei h cp d h Cálculo directo h is h h h h h is h Cálculo directo h cp d cp d h 0 Newto-Rhapso Sustitució Directa Wegstei

35 Paso : emperatura ideal de descarga J J molk molk a RC cp a b c d e R b c e d h 0.8 is 98.5 cp d l cp a cp b c d e d a l b c d e C a l b c d e l l

36 Paso : emperatura ideal de descarga (N-R) f l f ' e Rl4 cp e f 0 r f ' e r e r K

37 Paso y 3: Saltos de etalpía h 98.5 cp d cp a b c d e C h a b c d e h K h J mol h h h is h J mol

38 Paso 4: emperatura real de descarga h cp d cp d h 0 cp d f f ' cp e r e r e r Hysys K K

39 Resolució como sistema de ecuacioes 98.5 cp h h is d R l RC h h cp d 98.5 cp d h h 0 is 98.5 cp d h 0 h d R l RC f cp d hish 98.5 cp cp d h

40 Resolució como sistema de ecuacioes 98.5 cp d R l f cp d hish 98.5 cp d h 98.5 RC h l f h h

41 Resolució utilizado el método de Wegstei l f h h l h h l F h

42 Resolució utilizado el método de Wegstei e F Rl4 cp er er 0 h cp cp e r -9

43 Efriamieto fial P m i, h s W RC h is P m i, h s C Q UA LMD 3 P 3 m 3 i,3 h 3 s 3 3 IC Simulació modular secuecial Simulació global u orietada a ecuacioes

44 Compresió por etapas P m i, h s W RC h is P m i, h s C Q UA LMD IC 3 3 P 3 m 3 i,3 h 3 s 3 W RC h is 4 P 4 m 4 i,4 h 4 s 4 C 4 Q UA LMD IC 5 5 P 5 m 5 i,5 h 5 s 5 Simulació modular secuecial Simulació global u orietada a ecuacioes

45 Compresió por etapas y recirculació 0 P 0 m 0 i,0 h 0 s 0 0 R P R m R i,r h R s R P m i, h s W RC h is P m i, h s C Q UA LMD IC 3 3 P 3 m 3 i,3 h 3 s 3 R W RC h is 4 P 4 m 4 i,4 h 4 s 4 C 4 Q UA LMD 5 P 5 m 5 i,5 h 5 s 5 IC P 6 m 6 i,6 h 6 s 6 Simulació modular secuecial Simulació global u orietada a ecuacioes

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