Cálculo de raíces de ecuaciones no lineales.

Transcripción

1 4 Cálculo de raíces de ecuacioes o lieales. Itroducció. La resolució de ecuacioes e ua variable es uo de los problemas clásicos de la aproimació umérica. Se trata de hallar ua raíz de ua ecuació de la forma f ( ) = 0 para ua fució dada f. Al valor de que verifica la ecuació se lo suele llamar tambié cero. Todos los métodos ecesita comezar por ua aproimació iicial a partir de la cual geera ua sucesió que coverge a la raíz de la ecuació. Si [a, b] es u itervalo e el que la fució cambia de sigo, y f es cotiua e dicho itervalo, etoces eiste u valor c perteeciete al itervalo (a, b) e el que la fució se aula. Los métodos de bisecció y de falsa posició parte de dicho itervalo para costruir ua sucesió que siempre coverge a la raíz. Estos dos métodos se deomia métodos cerrados. Los métodos abiertos so aquellos e los que el proceso iterativo de cálculo de la raíz de la ecuació f ( ) = 0 se realiza si cosiderar e cada etapa itervalos detro del cuales se ecuetre costatemete ecajada la raíz. Por tato los métodos abiertos, a diferecia de los métodos cerrados, o asegura la covergecia a la solució del problema. De los distitos métodos abiertos para la resolució de ua ecuació o lieal se verá el método de puto fijo, el de Newto-Raphso y el de la secate. Método de bisecció. Se trata de u método cerrado, e el que el puto p, raíz de la ecuació f ( ) = 0, se ecuetra siempre detro del itervalo de trabajo [ a, b ]. No es u método de cálculo de la raíz estrictamete, sio que es u método mediate el cual se cosigue dismiuir progresivamete la achura del itervalo hasta que sea suficietemete pequeña. E este método e cada etapa se divide el itervalo por la mitad, obteiedo u puto a + b c =. 56

2 C Á L C U L O D E R A I C E S D E E C U A C I O N E S N O L I N E A L E S A cotiuació se aaliza e cuál de los dos subitervalos [ a, c ] o [, ] Aplicado el teorema de Bolzao, si f ( a) f ( c) 0 se reombra los etremos del itervalo a a ; b c subitervalo [, ] c b se ecuetra la raíz. <, la raíz está e el itervalo [, ] a c de maera que = =. E caso que f ( a) f ( c) > 0 la raíz está e el c b, co lo que se reombra los etremos del itervalo a = c ; b = b. Este proceso se cotiúa hasta que la logitud del itervalo resultate [ a, b ] sea ta pequeña como se desee. f() f(a) a i + bi c i + = a p c b b a Esquema del método de bisecció f(b) Proceso de cálculo: Primera etapa: a = a Si f ( a) f ( c ) < 0 a + b b = c c = a = c Si f ( a) f ( c ) > 0 b = b Etapa eésima: c a = a Si f ( a ) f ( c ) < 0 = c a b + b = a Si f ( a ) f ( c ) 0 > b = = c b Teorema de covergecia del método de bisecció. Dada ua fució ( ) f, cotiua e u itervalo [, ] a b, si f ( a) f ( b) 0 <, la sucesió { c } = de los putos medios de los itervalos geerados por el método de bisecció, coverge a ua raíz p de la ecuació f ( ) = 0, es decir, lim c = p. 57

3 C Á L C U L O D E R A I C E S D E E C U A C I O N E S N O L I N E A L E S Además b a p c para =,, Demostració: b a La cota máima de error cometida e la primera etapa será p c b a b a La cota máima de error cometida e la seguda etapa será: p c = Por iducció se puede demostrar que la cota de error e la etapa eésima será b a b a p c =. b a Tomado límites: lim p c lim = 0 lim p c = 0 lim c = p Ejemplo : Se desea calcular la raíz de la fució mediate el método de bisecció. f ( ) si( ) 3 = +, que se ecuetra e el itervalo [,3 ] E primer lugar comprobamos que la raíz se ecuetra detro del itervalo. Para ello se calcula el valor de la fució e los etremos del itervalo y se aplica el teorema de f () = Bolzao. f () f (3) < 0 f (3) = Primera etapa: a + b + 3 c = = =.5. A partir de este puto c se busca el uevo itervalo [ a, b ]. a = f (.5) = ; f () f (.5) < 0 b =.5 Seguda etapa: a + b +.5 c = = =.5. Se calcula el uevo itervalo, a =.5 f (.5) = ; f () f (.5) > 0 b =.5 De esta maera se cosigue ua sucesió de valores c que va acercádose progresivamete al valor de la raíz. 58

4 C Á L C U L O D E R A I C E S D E E C U A C I O N E S N O L I N E A L E S Después de dieciséis iteracioes resulta c =.677, evaluado la fució e ese puto resulta 6 f (.677) = muy próimo a cero. E el siguiete apartado se ha realizado el cálculo co el programa Mathematica, realizado u total de veite iteracioes. Ejemplo co Mathematica. I[]:= f@_d = Si@D + 3 Out[]= 3 + Si@D I[]:= a= ; b = 3; I[3]:= DoAc= a+ b ; iz@id = a;der@id = = c;if@f@ad f@cd < 0, b= c, a = cd,8i,, 0<E I[4]:= Table@8i, iz@idêê N, der@id êê N<,8i,, 0<D; I[5]:= Preped@%, 8k, "Etremo izquierdo", "Puto medio", "Etremo derecho"<d; I[6]:= TableForm@%D Out[6]//TableForm= k Etremo izquierdo Puto medio Etremo derecho El método de bisecció os permite coocer a priori el úmero de etapas que hay que realizar para que el error cometido sea meor que ua catidad determiada. b a La cota de error cometido e la etapa eésima, como se eplicó previamete es p c, de modo que si se pretede que esa cota sea meor que ua catidad determiada ε, se tiee: b a b a ε. b a ε ε Tomado logaritmos es la epresió, se puede despejar el valor de. l( b a) l( ε ) l() l( b a) l( ε ) l() 59

5 C Á L C U L O D E R A I C E S D E E C U A C I O N E S N O L I N E A L E S Como se puede apreciar e el ejemplo aterior, cuado se desea que el error sea meor que 0 3, el 3 l(3 ) l( 0 ) úmero de iteracioes que se debe realizar es: 9.96, por lo tato como l() debe ser u úmero etero, so ecesarias =0 iteracioes para que el error sea meor que 0 3. Efectivamete, c0 c9 = = < Método de falsa posició. El método de bisecció es útil para obteer ua raíz e u itervalo [ a, b] co ua cierta precisió, si embargo, el úmero de etapas que se debe realizar para llegar a dicha precisió es elevado. Por otro lado, e cada iteració se debe evaluar la fució e el puto c, auque posteriormete solamete se utiliza ese resultado para determiar el subitervalo e que se ecuetra la raíz de la ecuació, mediate el teorema de Bolzao. Para mejorar el método se pretede utilizar los datos coocidos e cada iteració para coseguir ua mejor aproimació e la siguiete etapa. Parece razoable pesar que si el valor de la fució f ( ) es más próimo a cero cerca del puto a que del puto b, la raíz de la ecuació f ( ) = 0 esté tambié más próima al etremo a del itervalo. De esta maera se cosigue utilizar el valor de la fució ( ) para obteer el uevo puto c. f e los etremos del itervalo [ a, b ] El puto c se obtiee calculado el puto de itersecció de la recta que pasa por los putos ( a, f ( a )) y ( b, f ( b)) co el eje de abscisas. Recta que pasa por los putos ( a, f ( a )) y ( b, f ( b )) : f ( b) f ( a) y f ( a) = ( a) b a La itersecció de dicha recta co el eje de abscisas, c, se obtiee despejado para el valor de y = 0. a b b a f ( a) = c a c = a f ( a) f ( b) f ( a) f ( b) f ( a) f ( a) b f ( a) a f ( b) a f ( a) a f ( a) b + f ( a) a c = a = ; f ( b) f ( a) f ( b) f ( a) c = f ( b) a f ( a) b f ( b) f ( a) Tambié se puede obteer esta epresió mediate semejaza de triágulos como se idica e la figura siguiete. 60

6 C Á L C U L O D E R A I C E S D E E C U A C I O N E S N O L I N E A L E S y b a b c f ( a ) b f ( b ) a = c = f ( b ) f ( a ) f ( b ) f ( a ) f ( b ) y=f() (b, f(b)) a c=a c=a p b Ejemplo : (a, f(a)) (a, f(a)) (a, f(a)) Esquema del método de falsa posició Se desea calcular la raíz de la fució mediate el método de falsa posició. f ( ) si( ) 3 = +, que se ecuetra e el itervalo [,3 ] E primer lugar comprobamos que la raíz se ecuetra detro del itervalo. Para ello se calcula el valor de la fució e los etremos del itervalo y se aplica el teorema de f () = Bolzao. f () f (3) < 0 f (3) = Primera etapa: f ( b) a f ( a) b (.35888) c = = =.348. f ( b) f ( a) (.35888) A partir de este puto c se busca el uevo itervalo [ a, b ]. a =.348 f (.348) = ; f () f (.348) > 0 b = 3 Seguda etapa: f ( b) a f ( a) b (.35888) c = = =.699. f ( b) f ( a) (.35888) Se calcula el uevo itervalo, 6

7 C Á L C U L O D E R A I C E S D E E C U A C I O N E S N O L I N E A L E S a =.699 f (.699) = ; f (.348) f (.699) > 0 b = 3 De esta maera se cosigue ua sucesió de valores c que va acercádose progresivamete al valor de la raíz. Después de seis etapas, el error cometido es c6 c5 = 5, E el siguiete apartado se ha realizado el cálculo co el programa Mathematica, realizado u total de seis iteracioes. Ejemplo co Mathematica. Método de Falsa Posició I[]:= f@_d = Si@D + 3 Out[]= 3 + Si@D I[]:= a= ; b = 3; f@ad b f@bd a I[3]:= DoAc= ;iz@id = a; der@id = b;@id = c; If@f@aD f@cd < 0, b = c, a= cd, f@ad f@bd 8i,, 6<E I[4]:= Table@8i, iz@idêê N, der@id êê N<,8i,, 6<D; I[5]:= Preped@%, 8k, "Etremo izquierdo", "Puto itermedio", "Etremo derecho"<d; I[6]:= TableForm@%D Out[6]//TableForm= k Etremo izquierdo Puto itermedio Etremo derecho Método de puto fijo o de aproimacioes sucesivas. Este método sustituye el cálculo de la raíz de la fució f ( ), por el cálculo de u puto fijo de la fució g(). De modo que la raíz p que cumple f(p)=0, cumple simultáeamete g(p)=p Fució de puto fijo. El puto p, se dice que es puto fijo de la fució g( ) si g( p) = p. Para resolver la ecuació f ( ) = 0, se debe ecotrar fucioes g( ) que cumpla que cuado f ( p ) = 0, tambié g( p) = p. E geeral la fució g( ) se puede obteer como g( ) = + h( ) f ( ) ; de modo que cuado se evalúa la fució g( ) e el puto p, resulta: g( p) = p + h( p) f ( p). 6

8 C Á L C U L O D E R A I C E S D E E C U A C I O N E S N O L I N E A L E S Como el puto p es raíz de la fució f ( ), f ( p ) = 0, de modo que la fució g( ) tiee u puto fijo e p g( p) = p + h( p) 0 g( p) = p. Como se puede apreciar e la epresió de cálculo de la fució g( ), eiste ifiitas fucioes que cumple la codició de teer u puto fijo e p cuado f ( p ) = 0. Basta co utilizar diferetes fucioes h( ) para coseguir distitas fucioes g( ). Cálculo del puto fijo Como se acaba de eplicar, calcular el puto fijo de g( ) es equivalete a calcular la raíz de la fució f ( ). El puto fijo de g( ) se calcula mediate aproimacioes sucesivas (de ahí el ombre del método). Se parte de ua aproimació iicial a la solució del problema, 0 y se obtiee ua ueva aproimació, = g( 0), así se cotiua sucesivamete de maera que el cálculo de la aproimació i + se realiza mediate la epresió = i+ g( i ). Si el proceso es covergete, lim g( ) = p. Por tato el cálculo de la raíz p de la fució f ( ), se puede realizar mediate aproimacioes sucesivas a través de la fució g( ). Para realizar este proceso, previamete, se debe aalizar si la fució g( ) que se ha elegido, de etre las ifiitas posibles, tiee u puto fijo e p, si es úico y además si el proceso de cálculo es covergete. Por tato, deberemos aalizar, la eistecia y uicidad del puto fijo, y posteriormete la covergecia del método a partir de la fució g( ). Teorema del puto fijo.. Si ( ) g es ua fució cotiua e el itervalo [ a, b ] y g( ) [ a, b] [ a, b] eiste al meos u puto fijo p e el itervalo [ a, b ] tal que g( p) = p.. Si además la fució ( ) g es derivable e el itervalo [, ] [ ], etoces a b y se cumple que: K < / g '( ) K a, b, etoces el puto fijo p de la fució g( ) e el itervalo [ a, b ], es úico. Demostració de (i): Si g( a) = a ó g( b) = b la coclusió es cierta, al meos eiste u puto fijo e a ó e b respectivamete. 63

9 C Á L C U L O D E R A I C E S D E E C U A C I O N E S N O L I N E A L E S Supogamos que o se cumple igua de esas dos codicioes. E ese caso, para que se cumpla el teorema a < g( a) b y a g( b) < b. Por tato, si se cosidera ua fució auiliar h( ) = g( ), se cumple que h( a) = a g( a) < 0 y h( b) = b g( b) > 0, por el teorema de Bolzao, esto implica que la fució h( ) tiee ua raíz e el a b, por tato [ ] u puto fijo e el itervalo [ a, b ]. itervalo [, ] p a, b / h( p) = p g( p) = 0 p = g( p). Es decir eiste al meos y y= b p=g(p) y=g() a a b Esquema de la eistecia de puto fijo Demostració de (ii): Supogamos que e lugar de u solo puto fijo eiste dos, p y p, aplicado el teorema del valor g( p) g( p ) medio, se deduce que eiste u puto c [ a, b] tal que g '( c) =, dado que p y p so p p p p putos fijos, g( p) = p y g( p) = p, por tato, g '( c) = =, lo que cotradice la hipótesis p p de partida, de que g '( ) [ a, b] itervalo, por tato, g( ) tiee u úico puto fijo e el itervalo [, ] <, así que o es posible que eista dos putos fijos e el a b. Teorema de la covergecia del método de puto fijo. Dada ua fució ( ) - ( ) g, defiida e u itervalo [, ] a b y que cumple las siguietes codicioes: g es ua fució cotiua e el itervalo [ a, b ] y g( ) [ a, b] [ a, b] g es ua fució cotiua e el itervalo [, ] - '( ) a b.. 64

10 C Á L C U L O D E R A I C E S D E E C U A C I O N E S N O L I N E A L E S Etoces, si g '( ) K < [ a, b], para cualquier valor [ a b] coverge al puto fijo p. Demostració:, la iteració g( ) 0, Para demostrarlo, se plateará el error cometido e la eésima iteració: = + p = g( ) p = g( ) g( p), aplicado el teorema del valor medio resulta, p = g( ) g( p) = g '( c)*( p) = g '( c) p K p Esto implica que está más próimo a p que -, ya que K<. Ahora se demostrará que lim p = 0. Por iducció se puede demostrar que p 0 p. K Como 0 < K <, K tiede a cero cuado tiede a ifiito y por tato, 0 lim lim K p 0 p, así, lim p = 0, lo que implica que lim = p. Iterpretació gráfica del método de aproimacioes sucesivas. A cotiuació se preseta las situacioes posibles que se puede dar aplicado el método del puto fijo, tato las covergetes como las divergetes: 3 =g( ) =g( ) =g( 0 ) y ( 0, ) (, ) y= (, 3 ) y=g() ( 3, 3 ) (, ) (, ) 3 =g( ) =g( ) y (, ) y=g() (, 3 ) (, ) y= ( 3, 3 ) =g( 0 ) ( 0, ) (, ) 0 Caso covergete, derivada positiva 0 < g '( ) < 0 Caso divergete, derivada positiva g '( ) > 65

11 C Á L C U L O D E R A I C E S D E E C U A C I O N E S N O L I N E A L E S y y= y y=g() y= =g( ) (, ) (, ) =g( ) (, ) (, ) 3 =g( ) =g( 0 ) (, ) ( 0, ) =g( 0 ) 3 =g( ) (, ) ( 3, 3 ) ( 0, ) (, 3 ) y=g() 3 0 Caso covergete, derivada egativa < g '( ) < Caso divergete, derivada egativa g '( ) < E las figuras que represeta las situacioes e que el método es covergete, se puede apreciar como e el caso e que g '( ) es positiva, el proceso coverge a la solució a partir del puto 0 de forma moótoa, mietras que cuado el proceso es covergete co g '( ) egativa, las aproimacioes sucesivas oscila a izquierda y derecha del puto fijo p solució del problema. Ejemplo : Se desea coocer la raíz de fució [ 0, π / 6] f ( ) 8 cos( ) =, que se ecuetra e el itervalo, aplicado para ello el método de aproimacioes sucesivas a la fució cos( ) + g( ) =. 8 E primer lugar se aalizará las codicioes de eistecia y uicidad del puto fijo y la covergecia g( ) 0, π / 6 0, π / 6 y que del método, para ello se debe comprobar que [ ] [ ] g '( ) < [ 0, π / 6] Evaluamos g (0) = 0 y ( ) [ 0, π / 6] es el siguiete: g π / 6 = , además el gráfico de la fució g( ) e el itervalo Represetació de la fució g ( ) e el itervalo 0, π /6 66

12 I N T E R P O L A C I Ó N P O L I N Ó M I C A Evaluamos la derivada de g( ) ; 4 si( ) g '( ) =. 8 g '(0) = 0 y g '( π / 6) = , ambos valores so meores que uo, lo que asegura la covergecia del método de maera moótoa. La fució derivada e el itervalo [ 0, π / 6] se represeta así: Represetació de la derivada g '( ) e el itervalo 0, π /6 Se comezará el proceso de cálculo = g( 0) utilizado como aproimació iicial el puto medio 0 + π / 6 π del itervalo: 0 = = Primera etapa: g g ( π ) = ( ) = / = ; el error cometido será el valor absoluto de la 0 diferecia error = 0 = Seguda etapa: g g ( ) = ( ) = = ; error = = Después de seis iteracioes se llega a ua solució co error < 0-6 y solució 6 =

13 I N T E R P O L A C I Ó N P O L I N Ó M I C A Ejemplo co Mathematica. Método de Puto Fijo I[]:= f@_d = 8 Cos@D ^ Out[]= 8 Cos@D I[]:= g@_d = Cos@D + ^ 8 Out[]= 8 H + Cos@DL 0+ Piê6 I[3]:= 0= ;error = ; Iterma= 00;i = 0; WhileAerror> 0 6 &&i< Iterma, = g@0d;error = Abs@ 0D;0 = ; i++; Prit@"iteració ", i, " =", 0êê N, " error=", errorêê ND;E iteració = error=0.394 iteració = error= iteració 3 =0.80 error= iteració 4 = error= iteració 5 = error= iteració 6 = error= I[5]:= FidRoot@f@D 0,8, 0.<D Out[5]= < Covergecia de la iteració de puto fijo. Orde de covergecia. Supogamos que { } coverge a p y sea = 0 E = p para cada 0. Si eiste dos costates positivas A > 0 y R > 0 tales que lim p E = lim = A p E + + R R etoces se dice que la sucesió coverge a p co orde de covergecia R, y el úmero A se llama costate asitótica del error. Los casos R =, merece especial cosideració: Si R = la covergecia de { } = 0 Si R =, la covergecia de { } = 0 se llama lieal se llama cuadrática. Si R es grade, etoces la sucesió { } coverge rápidamete a p; esto es, para valores grades de teemos la aproimació E + A E R. Por ejemplo, si R = y E 0 -, etoces cabe esperar que E + A0-4. Alguas sucesioes coverge co u orde que o es u úmero atural. Por ejemplo, el orde de covergecia del método de la secate es R = ( + 5) Orde de covergecia de la iteració de puto fijo. 68

14 I N T E R P O L A C I Ó N P O L I N Ó M I C A Cuado g '( p) 0 : E + = + p = g( ) g( p) = g ( ξ ) ( p) = g ( ξ ) p = g ( ξ ) E y p. Cuado, g ( ) g ( p) g '( ξ ) se matedrá, a partir de cierto, suficietemete cerca de g '( ) co ξ compredido etre E g ( p) E + co lo que la covergecia es lieal. ' ξ ' 0, y siedo g ' cotiua, p, de modo que Cuado g '( p ) = 0, escribiedo el poliomio de Taylor co resto de orde de g : g ( ξ ) g ( ξ ) g( ) = g( p) + g ( p) p + p = g( p) p!! ( ) ( ) ( ) g ( ξ ) g ( ξ ) E = p = g( ) g( p) = ( p) = E!! + + y si g ''( p) 0, cuado : E + g ( p)! E co lo que la covergecia es cuadrática. Método de Newto-Raphso Este método es u caso particular del método de puto fijo, e el que se busca que la derivada de la fució g( ), valga cero e el puto fijo p g '( p ) = 0. Co esto se cosigue mejorar la velocidad de covergecia del método ya que se obtiee ua covergecia cuadrática. Cualquier fució de puto fijo, como se eplicó e el apartado aterior es ua epresió del tipo g( ) = + h( ) f ( ) de modo que evaluada e p, raíz de la fució f ( ), g( p) = p. Esto se cumple idepedietemete de la fució h( ) que se utilice. E este apartado, se buscará ua fució h( ) que haga que g '( p ) = 0, además de eistir u puto fijo e p cuado f ( p ) = 0. Desarrollo: g( ) = + h( ) f ( ) ; derivado esta epresió: g '( ) = + h( ) f '( ) + h'( ) f ( ) ; evaluado la epresió e el puto p e igualádola a cero resulta: 69

15 I N T E R P O L A C I Ó N P O L I N Ó M I C A g '( p) = + h( p) f '( p) + h'( p) f ( p) = + h( p) f '( p) = 0 h( p) = f '( p) Eiste ifiitas fucioes h( ) que cumple esa codició e el puto p, de etre todas ellas tomamos la mas secilla que es h( ) = f '( ). Como cosecuecia de esto, la fució g( ) de puto fijo del método de Newto-Raphso es: f ( ) g( ) = f '( ), y el método de aproimacioes sucesivas aplicado la epresió de Newto- f ( ) Raphso resulta: = + f '( ). Iterpretació gráfica del método de Newto-Raphso. Trasformado la epresió obteida para el método de Newto-Raphso, se obtiee ecuació de ua recta. f ( ) = f '( ) = 0 f ( ). ( ) ( ) + f '( ) + Esta epresió represeta la recta que pasa por el puto (, f ( )), tiee ua pediete igual a la derivada de la fució e el puto, pediete = f '( ), y pasa tambié por el puto (,0). De esta maera se puede determiar el uevo puto +, a partir del puto (, f ( )) de la siguiete maera: Trazar la recta tagete a la fució f ( ) e el puto y obteer el uevo puto + como la itersecció de dicha recta co el eje de abscisas. Repitiedo esta costrucció varias veces la sucesió de valores obteidos se va aproimado a la solució del problema, el puto p raíz de la ecuació f ( ) = 0, tal y como se represeta e el siguiete gráfico. 70

16 I N T E R P O L A C I Ó N P O L I N Ó M I C A y f ( ) = + f '( ) (, f( )) y=f() (, f( )) 0 p 3 Ejemplo : ( 0, f( 0 )) Iterpretació gráfica del método de Newto-Raphso 3 Se desea calcular la raíz de la ecuació si( ) 0 u error meor que 0 6 mediate el método de Newto-Raphso. + =, que se ecuetra e el itervalo [ ],3, co E primer lugar se calcula la derivada de la fució f ( ) = se( ) + 3 / : f '( ) = cos( ). f ( ) Aplicado la epresió del método de Newto-Raphso + =, y sustituyedo fució y f '( ) derivada por su valor resulta: + si( ) + 3 / =, epresió a utilizar e el método de aproimacioes sucesivas. cos( ) Primera etapa: Se cosidera como aproimació iicial 0 el puto medio del itervalo dode se ecuetra la raíz: 0 = =. Se calcula a cotiuació el siguiete térmio de la sucesió: si( ) + 3 / 5 ( ) ( ) si 5 / 5 / + 3 / 0 0 = 0 = = cos( 0) cos 5 /.7707 El error cometido e esta primera etapa es error = 0 = / = Realizado cuatro iteracioes el valor aproimado de la raíz es 4 =.677 y el error cometido e esta etapa es del orde de

17 I N T E R P O L A C I Ó N P O L I N Ó M I C A Ejemplo co Mathematica. Método de Newto-Raphso I[]:= f@_d = Si@D + 3 Out[]= I[]:= Out[]= 3 + Si@D df@_d = D@f@D, D +Cos@D I[3]:= a = ; b = 3; I[4]:= 0 = a + b ; error = ; i = ; MaIter = 00; WhileAerror > 0 6 && i < MaIter, = 0 f@0d ; error = Abs@ 0D; 0 = ; df@0d Prit@"Iteració ", i, " =", 0 êê N, " error=", error êê ND; i++;e Iteració =.7707 error=0.99 Iteració =.679 error= Iteració 3 =.677 error= Iteració 4 =.677 error= Método de la secate. El método de Newto-Raphso es u método muy empleado para el cálculo de raíces de ecuacioes o lieales. Si embargo tiee u icoveiete fudametal que es el cálculo y la evaluació de la derivada de la fució f ( ). Para la mayoría de las fucioes, el cálculo de la derivada, auque o es complicado de realizar, implica que la posterior evaluació de la misma tedrá u gra úmero de operacioes. Por este motivo, se buscó u método que pudiera evitar la evaluació de la derivada e el puto para obteer el valor de la ueva aproimació a la solució del problema. Así surge el método de la secate. Se sustituye el valor de la derivada de la fució e el puto, (pediete de la recta tagete), por el valor de la pediete de la recta secate a la fució e dos putos muy próimos, que es u valor aproimado de la pediete de la tagete. Si los resultados de las dos últimas iteracioes está suficietemete próimos, se puede aproimar el f ( ) f ( ) valor de la derivada mediate la epresió: f '( ). Co lo que la fórmula del método de Newto-Raphso se trasforma e : f ( ) = = f ( ). + f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) 7

18 I N T E R P O L A C I Ó N P O L I N Ó M I C A La epresió que se ha obteido evita teer que evaluar la derivada de la fució e el puto, y utiliza valores ya coocidos previamete de etapas ateriores, salvo f ( ), que se evalúa para realizar la ueva etapa. Dismiuye por tato el úmero de operacioes que se debe realizar, pero coverge más letamete que el método de Newto-Raphso debido a la simplificació que se ha realizado. Se puede demostrar que el orde de covergecia del método de la secate es R = ( + 5) Debe poerse de maifiesto tambié que el método de la secate o es u método de puto fijo, puesto que para obteer el valor de + se emplea los valores ya coocidos de dos etapas previas (, f ( )) y (, f ( )). Por este motivo, al iiciar el proceso de cálculo es ecesario utilizar dos valores iiciales 0 y a diferecia de los métodos de puto fijo que solo utiliza uo 0 Iterpretació gráfica del método de la secate. Tal y como se ha idicado, el método de la secate modifica el de Newto-Raphso empleado la recta secate que pasa por dos putos (, f ( )) y (, f ( )) e lugar de la tagete a la curva e el puto (, f ( )). y y=f() (, f( )) ( 4, f( 4 )) ( 0, f( 0 )) ( 3, f( 3 )) (, f( )) ( 5, f( 5 )) p Iterpretació gráfica del método de la secate E cada etapa del método se traza la secate etre dos putos sucesivos y posteriormete se calcula el uevo puto como la itersecció de dicha secate co el eje de abscisas. 73

19 I N T E R P O L A C I Ó N P O L I N Ó M I C A Como se ve e el grafico, para calcular 4, tercera etapa, se utiliza la recta que pasa por los putos (, f ( )) y ( 3, f ( 3)), obteiédose e el puto de corte de esa recta co el eje de abscisas el puto 4. Ejemplo : Se desea calcular la raíz de la ecuació si( ) 3 / 0 co u error meor que 0 6 mediate el método de la secate.,3, + =, que se ecuetra e el itervalo [ ] El método de la secate ecesita de dos aproimacioes iiciales para comezar el proceso, por tato, tomaremos los etremos del itervalo como valores iiciales; 0 = y = 3. Partiedo de este resultado se calcula el valor de. 3 = f ( ) = 3 f (3) =.348. f ( ) f ( ) f (3) f () 0 0 El error cometido es: error = = = Realizado cico iteracioes el valor de la raíz es 5 =.677 y el error cometido e esta etapa es del orde de Comparado co los resultados del método de Newto-Raphso se ecesita ua iteració mas para obteer la solució y el error cometido e esta iteració es mayor que el cometido e cuatro iteracioes del método de Newto-Raphso. Ejemplo co Mathematica. Método de la secate I[]:= f@_d = Si@D + 3 Out[]= 3 + Si@D I[]:= 0= ; = 3; error= ;i = ; MaIter= 00; WhileAerror> &&i< MaIter, = f@d; error= Abs@ D; 0= ; f@d f@0d = ; Prit@"Iteració ", i, " =", êê N, " error=", errorêê ND; i++;e Iteració =.348 error= Iteració =.699 error= Iteració 3 =.67 error= Iteració 4 =.677 error= Iteració 5 =.677 error=

20 I N T E R P O L A C I Ó N P O L I N Ó M I C A Ejercicios.- Determiar el úmero de raíces reales de la ecuació o lieal: + e = 0.- Resolver gráficamete la ecuació: Log ( ) = Utilizado el método de bisecció resolver la ecuació o lieal : e = 0, partiedo del itervalo iicial [0, ]. 4.- Determiar la raíz real de la fució: f ( ) = e 5.- Aplicado el método de la bisecció a la ecuació: sobre u itervalo de logitud meor o igual a = 0, localizar la raíz cúbica de Empezado co el itervalo [,3] realizar tres iteracioes del método de falsa posició a la 4 3 fució: f ( ) = Resolver la ecuació o lieal f ( ) = e = 0 co el método de falsa posició, sabiedo que la raíz eacta es r = , partiedo del itervalo iicial [ 0, ]. Obteer, trabajado co redodeo a cuatro cifras decimales, la aproimació de la raíz co u error relativo iferior al %. 8.- Resolver, co u error relativo iferior al 0.05%, la ecuació o lieal f ( ) = e = 0, mediate el método de la secate, tomado como valores iiciales = 0, 0 =, sabiedo que r = Trabajar co cuatro cifras decimales y redodeo simétrico La ecuació iteració g () estudiado la covergecia e cada caso. + = tiee ua úica raíz e [ ],. Obteer diversas fucioes de La fució f ( ) = e tiee dos raíces. Hallarlas por el método de aproimacioes sucesivas, trabajado co redodeo a cuatro cifras decimales..- Hallar, co u error o superior a 0., la úica raíz real de la ecuació algebraica 3 f ( ) = = 0, utilizado el método de aproimacioes sucesivas. Nota: Seleccioar los valores iiciales de e el itervalo, y trabajar co cico cifras decimales..-efectuar la iteració del método de Newto-Raphso para resolver la ecuació o lieal f ( ) = 0. se( ) partiedo del valor iicial 0 = Trabajar co redodeo a cuatro decimales. 75

21 I N T E R P O L A C I Ó N P O L I N Ó M I C A 3.- Realizar tres iteracioes del método de Newto-Raphso para hallar la raíz de la fució f ( ) = e, utilizado como aproimació iicial de la raíz buscada 0 = 0 y trabajado co redodeo a seis cifras decimales. 4.- Ecotrar ua raíz aproimada de la ecuació 3 = 0 e el itervalo,, co precisió de 0 5, primero por el método de Newto y luego por el método de la secate. 5.- Resolver la ecuació 4 cos ( ) = e co ua eactitud de 0 4, usado: - El método de Newto co 0 =. - El método de la secate co 0 = π 4 y = π. 6.- Determiar, trabajado co redodeo a cico cifras decimales, la raíz positiva de la ecuació si( ) / = 0, utilizado los métodos de falsa posició y de la secate. 7.- E el itervalo 0. 5, la fució f ( ) = 0.si ( ) 0.5 tiee ua raíz f ( 0. 5 = , f ( ) = Aplicar los métodos de bisecció, falsa posició, secate y Newto para determiar dicha raíz co 3 3 ua precisió de 0.( f ( ) 0 ). 8.- Calcular la raíz de la ecuació Log ( ) = co tres cifras decimales eactas, mediate la aplicació de la técica de Newto-Raphso. 9.- Determiar, co ua precisió 6 ε 0 ( f ( ) 0 6 ) = <, las raíces cuadradas de 0.5 utilizado el método de Newto-Raphso, y defiir los dos itervalos (uo para cada raíz) e los que el método es covergete. 0.- Deducir ua ley de recurrecia que permita obteer c. Aplicarla al valor c = Deducir ua ley de recurrecia que permita calcular c. Aplicarla al cálculo de Resolver la ecuació o lieal 4si( ) = 0 sabiedo que u valor aproimado de la raíz es 0 = Siedo =, y sabiedo que f y f ( π ) f ( ) 8 cos ( ) (0) < 0 / 6 > 0, justificar cos( ) ( ) que la epresió g ( ) = + permitirá obteer ua sucesió cuyo límite sea ua 8 4 raíz de la ecuació f ( ) = 0. Hallar la raíz co ua precisió ε = Determiar la raíz cuadrada egativa de 0.5 co cuatro decimales cosiderado la fució F ( ) = 0.5 y resolviedo la ecuació = mediate el método de 76

22 I N T E R P O L A C I Ó N P O L I N Ó M I C A aproimacioes sucesivas, tomado 0 = Puede determiarse la raíz cuadrada positiva por este método? 5.- Compruébese de forma gráfica que la ecuació 4 si ( ) = + tiee tres raíces reales r < r < r3. Determíese, co ua precisió 0 3 y trabajado co redodeo a seis cifras decimales: - r utilizado el método de la secate - r utilizado el método de bisecció - r 3 utilizado el método de Newto Comparar estos métodos. 6.- Hacer ua represetació gráfica aproimada de las fucioes f ( ) = cos( ) y g ( ) = e para obteer uas estimacioes iiciales de las raíces de la ecuació cos( ) e 0 = Cuátas raíces tiee? Cuátas so positivas? - Determiar las raíces positivas co ua precisió f ( r) 0 3 utilizado: i) el método de la secate ii) el método de Newto-Raphso Notas: Utilizar 3 cifras decimales. Trabajar e radiaes. 7.- Dada la ecuació = 5 a) Realizar ua represetació gráfica aproimada para determiar el úmero localizació de sus raíces. b) Determiar el itervalo a, b e el cual el proceso iterativo de puto fijo verifique la codició de covergecia. c) Tomado como aproimació iicial el valor 0.5 aplicar el proceso iterativo para obteer la solució co ua precisióε = 0. Nota: Trabajar co cuatro decimales y redodeo. 77