Sistemas de ecuaciones lineales. Métodos iterativos.

Transcripción

1 3 Sistemas de ecuacioes lieales. Métodos iterativos. Normas vectoriales y matriciales. Norma vectorial. Dado u espacio vectorial E de dimesió, se dice que ua aplicació de E sobre R es orma cuado verifica las siguietes propiedades: E R E ; = = E, α R α = α, y E + y + y Las ormas más utilizadas e el espacio vectorial R so: - = i. Norma del valor absoluto. i= - =. Norma euclídea. i= i - ma{ i } =. Norma del máimo. i La distacia etre dos vectores se defie como la orma del vector diferecia, d(, y) = y. Por otro lado, e la resolució de u sistema de ecuacioes lieales mediate u proceso iterativo, se cosigue ua sucesió de vectores { } R, si esta sucesió de vectores se mide co la orma, se tiee la caracterizació de la covergecia. La sucesió { } coverge a, si las distacias d(, ) = so mas pequeñas que u ε prefiado a partir de u cierto térmio N, es decir para >N. 4

2 Todas las ormas e covergete y verifica { } cosidere e R. Norma matricial. Dado u espacio vectorial R so equivaletes. Es decir, ua sucesió { } de vectores de R es, si y solo si co cualquier orma vectorial que se M de las matrices cuadradas de orde, se dice que ua aplicació de M sobre R es orma cuado verifica las siguietes propiedades: M A R A A M A ; A = A = A M, α R α A = α A A, B M A + B A + B A, B M A B A B E este apartado cosideraremos úicamete aquellas ormas matriciales que se puede obteer como cosecuecia de las ormas vectoriales defiidas ateriormete. Esto es lo que se defie como orma atural o iducida por ua orma vectorial. Partiedo de todas ellas se defie ormas matriciales de la siguiete maera: A = ma A = De este modo, para cada ua de las ormas vectoriales ateriormete defiidas se obtiee ua orma matricial: - Norma espectral, obteida a partir de la orma euclidea. = t ( ) A = ma A = ρ A A Geométricamete se puede eplicar para matrices de forma secilla. 4

3 Norma espectral de ua matriz 4 4 Sea la matriz A =. E la figura se represeta el lugar geométrico de todos los vectores de 3 orma uidad (Círculo pequeño). A cotiuació se calcula el lugar geométrico de los vectores A dode es u vector de orma uidad (Elipse). La orma de la matriz A coicide co la logitud del semiee mayor de la elipse, es decir co la orma del vector A de máima orma. Se puede demostrar que, algebraicamete, la orma de la matriz A se calcula como t ( ) A = ρ A A, es decir la raíz cuadrada del radio espectral de la matriz El radio espectral de ua matriz es el máimo del valor absoluto de los autovalores de dicha matriz. - Norma obteida a partir de la orma del valor absoluto. t A A. A A a = ma = ma = i= Se puede demostrar que esta orma se calcula como el máimo de la suma de los valores absolutos de los elemetos de cada columa. 4

4 Sea la matriz A =. E la figura se represeta el lugar geométrico de todos los vectores de 3 orma uidad (Rombo pequeño). A cotiuació se calcula el lugar geométrico de los vectores A dode es u vector de orma uidad (Rombo deformado). La orma de la matriz A coicide co la logitud de la mitad de la diagoal mayor del rombo deformado, es decir co la orma del vector A de logitud máima. - Norma obteida a partir de la orma del máimo. A A a = ma = ma = i = Se puede demostrar que esta orma se calcula como el máimo de la suma de los valores absolutos de los elemetos de cada fila. 43

5 Sea la matriz A =. E la figura se represeta el lugar geométrico de todos los vectores de 3 orma uidad (Cuadrado pequeño). A cotiuació se calcula el lugar geométrico de los vectores A dode es u vector de orma uidad (Rombo deformado). La orma de la matriz A coicide co la logitud de la mitad de la diagoal mayor del rombo deformado, es decir co la orma del vector A de logitud máima. Número de codició E ocasioes, pequeñas perturbacioes e los datos de u problema puede derivar e grades errores e la solució del mismo. E particular, vamos a estudiar cómo afecta pequeñas perturbacioes e el vector de térmios idepedietes de u sistema de ecuacioes lieales a la solució fial de dicho sistema. Para realizar este aálisis es ecesario estudiar el codicioamieto del sistema de ecuacioes. Para ello es ecesario coocer el úmero de codició de la matriz de coeficietes del sistema. Dado u sistema de ecuacioes lieales A = b, se pretede coocer cómo afecta a la solució del mismo, los errores cometidos a lo largo del proceso de resolució o iheretes al vector de térmios idepedietes b. Aplicado las propiedades de las ormas, se tiee que: b A o equivaletemete, multiplicado los dos miembros por A (), b b, resulta: Si se produce pequeñas perturbacioes e el vector de térmios idepedietes, e lugar de utilizar el vector b se utilizará el vector b + δb, lo que implica que se obtiee ua solució distita de la eacta + δ. El sistema de ecuacioes lieales queda por tato epresado como 44

6 ( ) ( ) A + δ = b + δb A δ = δb. Como la matriz A es regular dado que es la matriz de coeficietes de u sistema compatible determiado, premultiplicado por su iversa e los dos miembros resulta: δ = A δb δ A δb (). Multiplicado miembro a miembro las epresioes () y () se tiee: δ δb A A. b De este modo se relacioa los errores relativos del térmio idepediete y la solució. E particular habrá algú térmio idepediete b y solució para los que la desigualdad se covierta e igualdad. Así que la desviació máima relativa que puede sufrir la solució del problema esta relacioada co la perturbació relativa de los datos del problema mediate el producto A A. Dada ua orma, se defie el úmero de codició de ua matriz A como Este úmero es mayor o igual a uo ya que = =. I A A I A A =. K( A) A A Si el úmero K( A ) es grade, etoces el sistema es sesible a posibles perturbacioes del vector b y se dice que el sistema está mal codicioado. Por tato, para coseguir sistemas bie codicioados se debe utilizar matrices de coeficietes cuyo úmero de codició sea lo más próimo a uo posible. Eemplo : El sistema de ecuacioes lieales. +.y =., tiee como solució eacta..y =. =.. y =. Supogamos que el térmio idepediete del sistema de ecuacioes aterior se ha coseguido redodeado a u decimal el sistema de ecuacioes origial, co dos decimales, de forma que b = (.,.4) t. +.y =.. Resolviedo el sistema, se obtiee como solució..y =.4 = 4. eacta y =.6 Aalicemos los resultados: Aalizado los resultados se obtiee que la variació relativa e el térmio idepediete del sistema δb.4.4 es: = = =.9.9%. b

7 La variació relativa e la solució del sistema es: δ = = = = % Esta diferecia etre el error relativo de los datos de partida y el error relativo de la solució obteida se debe a que se está resolviedo u sistema de ecuacioes lieales co matriz de coeficietes mal codicioada. La matriz de coeficietes del sistema tiee u úmero de codició K( A) = A A =, que es u valor muy aleado a. Esto idica que puede eistir térmios idepedietes, b para los que la solució del sistema tedrá u error relativo veces más grade que el error relativo del térmio idepediete. Procesos iterativos para sistemas de ecuacioes lieales. Los procesos iterativos se utiliza e la resolució de sistemas de ecuacioes lieales cuado el úmero de ecuacioes es elevado, de modo que puede ser preferible obteer ua buea aproimació a la solució del sistema A = b, realizado pocas operacioes que obteer la solució eacta del problema mediate u método directo realizado u gra úmero de operacioes. Otra de las situacioes e que es más iteresate utilizar métodos iterativos es el caso e que la matriz de coeficietes A sea dispersa, (tiee muchos elemetos ulos). E este caso, los métodos iterativos solo opera co aquellos elemetos que so o ulos, mietras que los métodos directos modifica los elemetos ulos cuado se realiza las operacioes de escaloamieto de la matriz de coeficietes o la factorizació de la misma. Para resolver u sistema de ecuacioes lieales A = b mediate u método iterativo, este sistema se trasforma, como veremos posteriormete, hasta coseguir u sistema equivalete de la forma: = T + c. Partiedo de este sistema equivalete al sistema de partida, se realiza u proceso iterativo de la forma: ( + ) ( ) ( ) T c, etoces la cotiuidad de la aplicació = +. Si el proceso es covergete, { } lieal defiida por T implica que = T + c, por lo que el vector es solució del sistema A = b. Proposició: Si para algua orma matricial se cumple que T <, y la ecuació = T + c tiee solució úica, etoces el proceso iterativo () del vector aproimació iicial elegido. = + coverge a, idepedietemete ( + ) ( ) T c ( ) El vector e = es vector que permite medir lo leos que se ecuetra + sistema. Como ( ) ( ) ( ) ( ) e = = T + c T + + c = T = T e ( ) de la solució del Se tiee por tato que : e = T e = T e = = T e. 46

8 Por tato : ( ) = e = T e T e T e. La hipótesis de partida de T < implica que Método de Jacobi. ( ) e por tato { }. E este método, para coseguir trasformar el sistema A = b e = T + c se despea de la i- esima ecuació la icógita i. ( esto implica que el elemeto a i de sistema tiee que ser o ulo) El sistema se trasforma, hasta quedar de la siguiete forma: = b a, a,3 3 a, a, = b a, a,33 a, a, i = bi a 3 b3 a3, a3, a3, a = i = a 3,3 i = b a, a, a, a, De forma que se puede ir obteiedo los valores de las distitas icógitas e iteracioes sucesivas mediate la epresió geeral: ( + ) ( ) i = i a i = i b a Criterio de parada: U proceso iterativo, teóricamete, ecesita de u úmero ifiito de etapas para coseguir la solució fial del problema. Si embargo, cuado el proceso es covergete, la sucesió de solucioes aproimadas: ( ) tiede a la solució del sistema de forma que Lim ( ) =. Cuado esto sucede, a partir de cierto valor de los térmios s y so muy próimos a la solució del sistema. ( ) y ( ) + está muy próimos etre Para fializar el proceso de cálculo, lo que se hace es fiar u valor ε que represeta ua cota del error aproimado o lo que es igual, la máima distacia permitida etre dos iteracioes sucesivas, para cosiderar que se ha llegado a obteer la solució del sistema. ( + ) ( ) e ε + = 47

9 Eemplo : Cosidérese el sistema de ecuacioes: 3 y + z = 4 + 5y z = 6, que tiee por solució y 3z = 6 = y = z = Las ecuacioes del sistema se puede escribir como = (4 + y z) / 3 y = ( 6 + z) / 5. z = (6 + y) / 3 Por tato el proceso iterativo a seguir será el siguiete: + = (4 + y z ) / 3 y + = ( 6 + z ) / 5 z + = (6 + y ) / 3 Se comieza co u vector aproimació iicial α = y =. Sustituyedo los valores e la z 4 / 3 epresió aterior se obtiee u uevo vector α = y = 6 / 5. z El uevo puto α está más cerca de la solució que el puto α y el error e esta primera etapa, 4 / 3 utilizado se obtiee como e = α α = 6 / 5 =. Las iteracioes sucesivas que se ha ido realizado para el método, queda represetadas e la siguiete tabla: ( ) y ( ) ( ) z Covergecia del método iterativo de Jacobi. e 48

10 Epresió matricial del método de Jacobi: El sistema de ecuacioes lieales A = b se trasforma e u sistema equivalete = T + c, para ello se despea de i-ésima ecuació la icógita i. Para represetar esto matricialmete se descompoe la matriz de coeficietes de la siguiete maera A = ( L + D + U ), dode las matrices L, D y U so: Matriz L : Matriz D : Matriz U : l = a < i i =,, l = i d i = ai, i i i =,, =,, d = i u = a > i i =,, u = i De forma que se puede reescribir la epresió matricial como: D = b ( L + U ). Para despear el vector del primer miembro basta co premultiplicar ambos miembros por la iversa de D y resulta : D b D = ( L + U ), de esta forma T = D ( L + U ) y c = D b. Eemplo co Mathematica: Método de Jacobi Mcoef= 9 4 id= :5,, 5 6 >; Valores iiciales ; old = 8,, <; ew = Table@, 8Legth@McoefD<D; tol= 3 ; Iterma = 4; = ; sol= 88old, <<; Clear@errorD Método de Jacobi WhileB Iterma, i Legth@McoefD DoBew@@iDD = id@@idd Mcoef@@ DD old@@dd Mcoef@@ DD old@@dd ì Mcoef@@ idd, = =i+ 8, Legth@McoefD<F; error = Ma@Abs@ew olddd; sol = Apped@sol, 8ew, error<d; If@error < tol, Prit@" "D; Prit@"Después de ",, " iteracioes la solució es:"d; Prit@ ew êê ND; Brea@D, = + ; old = ewdf; Después de 3 iteracioes la solució es: , , < sol = Table@Flatte@sol@@iDDD, 8, Legth@solD<D; Style@TableForm@N@Traspose@solD, 4D, TableHeadigs 88"", "y", "z", "error"<, Rage@, Legth@solD D<D, FotSize D y z error Método de Gauss-Seidel Alguas veces se puede meorar la covergecia del método de Jacobi. Al realizar el proceso de cálculo del método de Jacob e cada iteració, se va calculado los valores de las icógitas de forma 49

11 secuecial, es decir, primero se calcula, a cotiuació se calcula +, partiedo de todos los valores de las icógitas e la etapa +, y así sucesivamete. E el método de Gauss-Seidel se pretede realizar la siguiete meora, utilizar la meor aproimació a la solució posible para el cálculo de cada ua de las icógitas e cada etapa. Es decir, para calcular + solo se dispoe de los valores de todas las icógitas e la etapa, y so los que se utilizará, si embargo, para calcular + ya es coocido el valor +, de modo que si el proceso es covergete, + será ua meor aproimació a la solució fial que le valor que se utilizaba e el método de Jacobi. El resto de valores que se emplea so los valores de la etapa. Así sucesivamete, de maera que para calcular + 3 se empleará tato + como + y para el resto de icógitas el valor de la etapa. El esquema que se emplea es el siguiete: + = b a, a,3 3 a, a, = b a a a + +,,3 3, a, = b a a a = b a a a , 3, 3, a 3, ,,, a, El esquema compacto del método es: b a a i + + i = i a i = = i+ El criterio de parada del método es idético al del método de Jacob y e geeral al de todos los métodos iterativos. Eemplo : Cosidérese el sistema de ecuacioes: 3 y + z = 4 + 5y z = 6. Que tiee por solució y 3z = 6 = y = z = Las ecuacioes del sistema se puede escribir como = (4 + y z) / 3 y = ( 6 + z) / 5. z = (6 + y) / 3 5

12 Por tato el proceso iterativo a seguir será el siguiete: + = (4 + y z ) / 3 y + = ( z ) / 5 z + = (6 + + y + ) / 3 Comezamos co u vector aproimació iicial α = y =, sustituyedo los valores e la z 4 ( 4 + ) / epresió aterior se obtiee u uevo vector α = y 6 / 5 = + =. 3 5 z / El uevo puto α está más cerca de la solució que el puto α y el error e esta primera etapa se 4 / 3 6 obtiee como e = α α = 6 /5 = / 45 Las iteracioes sucesivas que se ha ido realizado para el método, queda represetadas e la siguiete tabla: ( ) y ( ) e ( ) z Covergecia del método iterativo de Gauss-Seidel. Epresió matricial del método de Gauss-Seidel: El sistema de ecuacioes lieales A = b se trasforma e u sistema equivalete = T + c. A diferecia del método de Jacob e este método el sistema de ecuacioes lieales queda represetado de la siguiete maera: + a, = b a, a,3 3 a, + + a, + a, = b a,33 a, a3, + a3, + a3,33 = b3 a3, a + a + + a + a = b ,,,, 5

13 Epresado matricialmete resulta: a a a a a a a a a a a a + a, a, a,3 a, b b +,,,3, +,,,3, b + 3, 3, 3,3 = 3 3, + b 3 3 Si se orgaiza la matriz de coeficietes del sistema A como L + D + U, la epresió matricial + resultate es: ( L + D) = b U. Despeado +, resulta: ( ) ( ) L D b L D U + = + +. Por tato, T ( L D) = + U y ( ) Eemplo co Mathematica: Método de Gauss-Seidel I[8]:= Mcoef= 9 4 I[9]:= id= :5,, 5 6 >; Valores iiciales ; c = L + D b. I[4]:= old= 8,, <; ew = Table@, 8Legth@McoefD<D; tol= 6 ; Iterma= 4; = ; sol= 88old, <<; Clear@errorD Método de Jacobi I[5]:= WhileB Iterma, i Legth@McoefD DoBew@@iDD = id@@idd Mcoef@@ DD ew@@dd Mcoef@@ DD old@@dd ì Mcoef@@ idd, = =i+ 8, Legth@McoefD<F; error = Ma@Abs@ew olddd; sol = Apped@sol, 8ew, error<d; If@error < tol, Prit@" "D; Prit@"Después de ",, " iteracioes la solució es:"d; Prit@ ew êê ND; Brea@D, = + ; old = ewdf; Después de iteracioes la solució es: ,.5, < I[6]:= sol = Table@Flatte@sol@@iDDD, 8, Legth@solD<D; I[7]:= Style@TableForm@N@Traspose@solD, 4D, TableHeadigs 88"", "y", "z", "error"<, Rage@, Legth@solD D<D, FotSize D Out[7]= y z error Covergecia de los métodos iterativos. E este apartado se estudia diversas características de los métodos iterativos que permite determiar si el proceso de cálculo será o o será covergete. E primer lugar se estudia las codicioes que debe cumplir la matriz T del proceso de cálculo = T + c para que los métodos iterativos sea covergetes. 5

14 - Para cualquier vector aproimació iicial T c ( ), la sucesió { } obteida a partir de la epresió = +, coverge a la solució de sistema de ecuacioes lieales A = b si y solo si T <. Demostració: Basta recordar que ( ) () T - Para cualquier vector aproimació iicial ( ), la sucesió { } obteida a partir de la epresió = T + c, coverge a la solució de sistema de ecuacioes lieales A = b si y solo si ρ ( T ) <. La demostració de este teorema se basa e la diagoalizació o triagularizació de matrices. Por otro lado ρ ( T ) es ua cota iferior de todas las ormas matriciales de T, por lo que siempre se puede costruir ua orma tal que T ρ ( T ) sea. = + ε para cualquier valor de ε, por pequeño que este Por tato si ρ ( T ) <, tomado u ε suficietemete pequeño, se tiee ua orma tal que T ( T ) ε = ρ + < lo que asegura la covergecia del método. A cotiuació se aalizará ciertas codicioes que debe cumplir la matriz de coeficietes A del sistema de ecuacioes A = b, para que los métodos iterativos covera. - Que la matriz de coeficietes A sea estrictamete diagoal domiate es ua codició suficiete de covergecia de los métodos iterativos de resolució de ecuacioes lieales para cualquier vector aproimació que se utilice. Demostració: Ua matriz es estrictamete diagoal domiate si a i > a i =,,,. Por tato al calcular la matriz T de Jacobi o de Gauss-Seidel, resulta que T <. Como es evidete, el hecho de que la matriz A o sea estrictamete diagoal domiate o implica que el proceso sea divergete, puesto que puede eistir otras ormas matriciales para las cuales T <. - Por último, si la matriz de coeficietes A es simétrica defiida positiva, se puede demostrar que el método de Gauss-Seidel coverge a la solució del sistema para cualquier vector aproimació que se utilice. = i 53

15 Eercicios.- Resolver los siguietes sistemas utilizado el método de Jacobi a) + y z + 3t = 5 y + z t = 3 () ε = y = y + z = 6 3y z + 8t = 5 b) 4y + z = 4 + y + z = 6, () ε = y = 5 + 4y = 5 c) 4 + y + z = () + y = 3, = + y + 4z = 6.- Realizar 5 iteracioes del método de Jacobi + 5y + 5z = 5 + y + 5z = 5 + 5y + z = Es covergete? Justificar la respuesta. 3.- Resolver, mediate el método de Gauss-Seidel y cosiderado como vector iicial el vector ulo, los siguietes sistemas: 4 y = a) + 4y z = 6 b) y + 4z = y + z t = 3y z + 8t = 5 y + z = 6 + y z 3t = a) Resolver el siguiete sistema por el método de Gauss + y = y + z = y z + t = z t = b) Realizar 4 etapas del método de Gauss-Seidel partiedo de valores iiciales () =.7,.5,.3,. t. ( ) 54

16 4.- Realizar 4 iteracioes del método de Gauss-Seidel, redodeado los cálculos a a cuatro cifras decimales, para resolver el sistema. + 7y.3z = 9.3 () 3.y.z = 7.85 co =.3.y + z = Realizar cuatro iteracioes del método de Gauss-Seidel para resolver el sistema y 4.88z = () y.7z = 6.36 co = y 4.78z = Resolver el siguiete sistema mediate el método de Jacob co ua precisió de 3, + y + z = 7.- Dado el sistema: + y + z = + y + z = + z = 4y = + 4z = 4 Estudiar la covergecia del método de Gauss-Seidel. Utilizado este método calcular el resultado () =,, t. obteido después de la seguda etapa de iteració partiedo del vector ( ) 55