Lím f(x) Lím f(x) = f(a).

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1 CÁLCULO DE LÍMITES Y CONTINUIDAD 1. TEOREMA SOBRE LÍMITES Defiició: El límite de ua fució f(), cuado tiede a o es L si y sólo si para todo ε > 0 eiste u δ(ε) > 0 tal que para todo úmero real que perteece a la vecidad de o de radio δ(ε) se cumple f() perteece a la vecidad de L de radio ε. Es decir, si - o < δ(ε) etoces f() - L < ε. Defiicioes: 1) Si f() L a - y f() L a ) Si f está defiida e a, etoces a, etoces f() a f() f(a). eiste y es igual a L. Propiedades: Las siguietes propiedades puede aplicarse siempre y cuado los límites g() a eista, es decir, sea iguales a úmeros reales y fiitos. f() a y 1. Si f() L a. Si f() L a. Si f() L a 4. Si f() L a g() M y a f() ± g() L ± M, etoces a. y k R, etoces k g() k g() km a a. y g() M, etoces f() g() L M a a i i. y g() M, etoces f() g() L / M a a, si M 0. / 5. d) Si f() L a y g() M, etoces a g() M f() a L a M, si L R. 6. e) Si f() L a a a y L>0, etoces log ( f() ) log f() log ( L) M, si L R. 7. f) Si f() L a, m R, etoces m m m m f() f() L, si L R. a a, M si L R. 8. g) Si f() L a si y sólo si u 0 f(u a) L

2 . LÍMITES UNILATERALES Ejercicio 1: Determie ua δ>0 para la ε dada, tal que si 0 < l -a l < δ etoces l f() L l < ε : a) ( 4 ) 10 ; ε0.01 b) ( ) -4 7 ; ε0.0 1 c) ( -5) -4 ; ε0.01 d) ( ) e) ; ε ; ε0.001 Ejercicio : Sea h() 4 si 1. Calcular si > 1 h() y h() 1 1 Ejercicio : 5 si < Sea f() 9 si si > Calcular: a) f() y f() b) f() y f() c) f() y f() Ejercicio 4: -1 si < 1 Sea g() 0 si 1 1 si > 1. Calcular g() y g() 1 1 Ejercicio 5: Sea f() a) Calcular f() y f() 4 4 b) Eiste f() 4? Ejercicio 6: k si 1 Sea f() k si > 1 Hallar el valor de k, para que eista el siguiete limite f() 1 Ejercicio 7: si Sea f() a b si < < 6 si Ecuetre los valores de a y b para que f() y f() eista.. - -

3 Ejercicio 8: a si < Sea f() a b si b 5 si > Ecuetre los valores de a y b para que f() y f() eista. Ejercicio 9: 1 si < 0 Sea h() 1 si > 0 Determiar la eistecia de los límites h() y h() 0 0 Ejercicio 10: si Sea f() a b si < < -6 si Ecuetre los valores de a y b para que f() y f() eista. Ejercicio 11: Los costos de embarque a meudo se basa e ua fórmula que produce u costo iferior por kilogramo coforme aumeta la magitud del embarque. Supoga que kilogramos es el peso de ua remesa, C() es el costo total del embarque y está defiido como C() 0.80 si 0 < si 50 < si > 00 a) Trace la gráfica de C. b) Calcule los límites: C() ; 50 C() ; 00 C()

4 Idetermiacioes:. LÍMITES DE FUNCIONES ALGEBRAICAS Cuado se calcula u límite utilizado directamete los ateriores teoremas o propiedades puede resultar ua epresió iesperada como,, 0 0, 0i, 0 y 1, las cuales se llama idetermiacioes. Ua idetermiació o sigifica que el límite o eista o o se pueda determiar, sio que la aplicació de las propiedades de los límites tal como las hemos euciadas o so válidas. E tales casos se requiere estrategias algebraicas especiales. Ejercicio 1: Calcular los siguietes límites: 1) ( h) h 0 h ) (a 1) a a a ) ) 1 1 ( ) 5) ) 4 4 a 4a ( a) a ( a) 7) ) (1 ) (1 ) 0 9) 4 4 ( h) h 0 h 10) 5 5 ( h) h 0 h 11) a a a 4 4 1) 4 4 a a 5 5 a 1) ) ) 4 16) ) a a 0 18) ) ) 9 1) a a 0 ) a a a a ) )

5 5) ( 1 ) ( 1 ) 6) 0 7) ) m a m a a 9) 1 m 1 1 0) m (1 ) (1 m) 0 Ejercicio 1: E la figura 1, se muestra la gráfica de la fució f ( ), la recta AB perpedicular al eje 4 X, la recta DE mediatriz del segmeto CB. A medida que se desplaza el puto A sobre el eje X, se desplaza los putos B, E y D. Supógase que y h so las logitudes de los segmetos CA y CD, respectivamete. Calcule h(). 0 Ejercicio 14: E la figura, se muestra la gráfica de la fució f ( ) 1, la recta CB perpedicular al 4 eje X, el puto A(0,) y la recta DE mediatriz del segmeto AC. A medida que se desplaza el puto B sobre el eje X, se desplaza los putos C, D y E. Supógase que y h so las logitudes de los segmetos FB y FE, respectivamete. Calcule h(). 0 Figura 1. Figura

6 Propiedades: 1) Si m 0, etoces ) Si m 0, etoces 4. LÍMITES DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Se(m) m. 0 1 Cos(m) 0. 0 Ejercicio 15: Calcular los siguietes límites: 1) Se(8) Se(4) 0 Se(6) ) 1 Cos() 0 ) a 01 Cos (a) 4) Se(4) 0 Cos() 1 5) Csc()C tg() 0 6) 1 Se 7) 1 Se 0 8) Ta() Se() 0 9) C tg() C tg( π / ) 0 10) (1.)Ta( / ) 1 π 11) Cos(4) Cos() 0 1) Cos(8) Cos() a 4 8 1) 0 1 Se() 1 Se() 14) Cos(m) Cos() 0 15) Ta() 0 4 Se() 16) Se( h) Se() h 0 h 17) C tg( h) C tg() h 0 h 18) Sec(u h) Sec(u) h 0 h 19) Csc(u ) Csc(u) 0 0) Se ( y) Se () y 0 y 1) Ta (a y) Ta (a) y 0 y ) 1 0 Csc()(Sec() 1) ) Se(a ) Se(a ) Se(a) 0 4) 1 1Se( π) 5) Cos(a ) Cos(a ) Cos(a) 0 6) Cos( π / )

7 7) 1 Se() π / π 8) π π / Cos() 9) Se() π π 0) Ta() π π 1) Ta( π) ) Se() Se(a) a a ) Cos() Cos(a) a a 4) Ta() a Ta(a) a 5) C tg() C tg(a) a a 6) Sec() Sec(a) a a 7) Csc() Csc(a) a a 8) Ta() 1 π / 4 4 π Se(m), m. 0 Se() 9) ( ) Cos() 40) 4 π / 4 Se() - 7 -

8 5. LÍMITES INFINITOS Y LÍMITES EN EL INFINITO a) ites Ifiitos ( f ( ) ± ) Defiició 1: f() sigifica que, dado u úmero K real positivo eiste u δ δ ( f, K ) > 0 tal que si a a < δ etoces f ( ) > K. Defiició (límite lateral): f() sigifica que, dado u úmero K real positivo eiste u δ δ ( f, K ) > 0 tal que si a - 0 < a < δ etoces f ( ) > K. Defiició (límite lateral): f() sigifica que, dado u úmero K real positivo eiste u δ δ ( f, K ) > 0 tal que si a 0 < a < δ etoces f ( ) > K. Defiició : f() - sigifica que, dado u úmero K real egativo eiste u δ δ ( f, K ) > 0 tal que si a a < δ etoces f ( ) < K. Defiició (límite lateral): f() - sigifica que, dado u úmero K real egativo eiste u δ δ ( f, K ) > 0 tal que a - si 0 < a < δ etoces f ( ) < K. Defiició (límite lateral): f() - sigifica que, dado u úmero K real egativo eiste u δ δ ( f, K ) > 0 tal que a - si 0 < a < δ etoces f ( ) < K. b) ites e el ifiito ( ± ) Defiició 1: f() L sigifica que, dado u 0 f ( ) L < ε. ε > eiste u K K ( f ), ε > 0 tal que si >K etoces Defiició : f() sigifica que, dado u 0 f ( ) > P. Defiició : f() - sigifica que, dado u 0 f ( ) < P. P > eiste u M M ( f P) P < eiste u M M ( f P), > 0 tal que si >M etoces, > 0 tal que si >M etoces - 8 -

9 Defiició 4: f() sigifica que, dado u 0 f ( ) > P. Defiició 5: f() - sigifica que, dado u 0 f ( ) < P. P > eiste u M M ( f P) P < eiste u M M ( f P), < 0 tal que si <M etoces, < 0 tal que si <M etoces c) ites otables: 1) Si k R, etoces 1 0, si k 0 k, si k < 0, etoces { } ) Sea a R, b R, a b y N > q a b ma a,b. ) Sea F m/() P m() y G k /q() P k() dos fucioes algebraicas defiidas como a) b) c) m m1 m m q k k 1 k k F m/() a a... a a y G k /q() b b... b b, de grados m/ y k/q respectivamete. Etoces: F m/() k m 0, si >. G () q k /q F m/() k m, si <. G k/q() q F m/() a m k m, si. G q k/q() b k q d) Asítotas: Defiició 1: Ua recta yl es ua asítota horizotal de la fució f() si f() L o f() L. Defiició : Ua recta a es ua asítota vertical de la fució f() si f(), o a f(). a f() ±, o a f() a, o Defiició : Ua recta ymb es ua asítota oblicua de la fució f() si ( m 0). Para hallar el valor de m se calcula el límite calcula el límite b f() m. f() (m b) 0. f() m, y para hallar el valor de b se - 9 -

10 Ejercicio 16: Dado u K, ecotrar el delta apropiado para que se cumpla la defiició de limite ifiito, e cada uo de los siguietes casos: a) ; K b) ; K10 5 ( - ) ( - 9) c) - ; K10 4 d) 4 ( - 4) 4 ; K Ejercicio 17: Dado u ε, ecotrar el K apropiado para que se cumpla la defiició de limite e el ifiito, e cada uo de los siguietes casos: a) c) ( - 4) 1 ; 4 4 ; 9 16 ε 10 b) ε 10 d) ( - 4) 9 ; ε 10 1 ; ε 0.0 Ejercicio 18: Dado u P, ecotrar el M apropiado para que se cumpla la defiició de limite ifiito e el ifiito, e cada uo de los siguietes casos: a) ; P b) ; P c) 4-6 ; P10 4 d) ( 16) Ejercicio 19: Ecuetre las asítotas de las siguietes fucioes ; P10 5 a) f() 9 b) f() 4 4 c) f() ( ) d) f() 4 ( 9) ( - 4) e) f() ( - 4) f) f() - 6 g) f() 1 h) f() 4 1 i) f() 4-6 ( 16) j) f() k) f() 4-9 l) f() 4 - ( - ) 9-5 4( ) - 6 m) f() ) 9 1 f()

11 Ejercicio 0: Calcular los siguietes límites: a) (1 )(1 4)(1 6) ( 1)(5 1)(7 1) c) ( ) 1 1 e) g) 4 4 y i) ( 4 9 ) k) ( ( a)( b) ) m) 1 1 o) f ( ) y p) f ( ) 4 f ( ), si y f ( ), si b) d) f) ( ) 8 ( )( ) 4 4 y y 1 1 h) ( ) 5 j) ( ) 1 l) ( 1 ) ) ( a a ) 1 8 ( ) f ( ) 8 < < 9 f ( ) < < 1 Ejercicio 1: Qué valores debe tomar a y b, para que se cumpla las siguietes igualdades: a) 1 a b 0 1 b) ( ) 1 a b 0 c) ( ) 1 a b 0 d) 4( ) 9 a b

12 Ejercicio : Calcular el área del triágulo mitilíeo OAM, limitado por la parábola f ( ) b, el eje OX a y la recta a, cosiderádola como el límite de la suma de las áreas de los rectágulos iscritos de base a, dode. (Ver figura ) Ejercicio : r Calcular el volume del sólido que se geera al rotar la regió limitado por la recta f ( ), h el eje OX y la recta h, alrededor del eje X, cosiderádola como el límite de la suma de los volúmees de los cilidros que se geera al rotar alrededor del eje X los rectágulos iscritos de alturas h, dode. (Ver figura 4) Figura Figura 4 Ejercicio 4: Calcular el volume del sólido que se geera al rotar la regió limitado por la curva f ( ) 1, el eje OX y la recta 10, alrededor del eje X, cosiderádola como el límite de 0 la suma de los volúmees de los cilidros que se geera al rotar alrededor del eje X los rectágulos iscritos de alturas 10, dode. (Ver figura 5) Figura 5-1 -

13 Ejercicio 5: Trace los gráficos de las fucioes que satisface las siguietes codicioes: a) - f ( ) - f ( ) a - f ( ) a - f ( ) a b) - f ( ) - f ( ) ± a - f ( ) a - f ( ) Ejercicio 6: Determie el límite de las siguietes sucesioes: a) 1 1 b) ( 1) 1 c) d) ( )! ( 1)! ( )! ( 1)! e) g)... f) h) i) k) ( 1 1) l) j) ( 1) ( )! m) o) q) π Se 1 ) p) ( ) 1 r) ( 1) l ( ) l ( 1) l( ) s) ( 1) t) a b a b v) w)

14 6. LÍMITES DE FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS Propiedades: ) Si a 0, etoces 4) Si a 0 a a 1 e. 1 a e. 0, etoces ( ) 1 a 5) Si a > 0 y a 1, etoces Ejercicio 7: Calcular los siguietes límites: 1) ( ) 5 1 a 1 l(a). 0 ) ( ) 1 ) / 4) a 0 a /a 5) ) ) Se(a) Se(b) 0 a b 8) ) 10) 0 l(1 ) 0 ( ) / ( / ) 11) 0 ( ) / ( / ) Se(4) 1) ) 7 0 Se() 14) Ta() ) Se(5) 16) log(10 ) log(10) 0 17) log(8 ) log(8) ) log(10 ) ) log(10 ) log(10) 0 5 0) l(e ) l(e) 0 1) ) ) 4 4 4) 4 16 a b h 0 h a b h

15 Ejercicio 8: Calcular el área del trapecio mitilíeo OAMF, limitado por la curva epoecial f ( ) e, el eje OX y la recta a, cosiderádola como el límite de la suma de las áreas de los rectágulos iscritos de base a, dode. (Ver figura 5). Figura

16 7. CONCEPTO DE CONTINUIDAD Defiició 1: Ua fució f es cotiua e a si f() f(a), es decir, si satisface las a siguietes codicioes: a) f(a) es u úmero real fiito, es decir, si f está defiida e a. b) f() eiste. c) a f() a eiste y es igual f(a). Defiició : Ua fució f es cotiua por la derecha e a si y solo si se cumple las siguietes codicioes: a) f(a) eiste. b) f() eiste. c) f() f(a). a a Defiició : Ua fució f es cotiua por la izquierda e a si y solo si se cumple las siguietes codicioes: a) f(a) eiste. b) f() eiste. c) f() f(a). a a a) Tipos de discotiuidad: a) Ua fució tiee discotiuidad esecial e a, si es discotiua e a y eiste. b) Ua fució tiee discotiuidad removible e a, si es discotiua e a y eiste. b) Teoremas sobre fucioes cotiuas: Teorema 1: Si f y g so dos fucioes cotiuas e a, etoces: a) fg es cotiua e a. b) f-g es cotiua e a. c) fg es cotiua e a. d) f/g es cotiua e a, si g(a) 0. Teorema 1: Si es u etero positivo y f ( ), etoces: b) Si es impar, f es cotiua e todos los reales. c) Si es par, f es cotiua e todos los reales positivos. Teorema : (Teorema del valor itermedio): Sea f ua fució cotiua e u itervalo [, ] f ( a) f ( b). Si f ( a) < k < f ( b), etoces eiste u úmero c etre a y b tal que f ( c) k. f() a a o f() a b tal que Teorema : (Teorema de Bolzao): Sea f ua fució cotiua e el itervalo cerrado [a, b] tal que f(a)f(b)<0, etoces eiste al meos u úmero real c perteeciete al itervalo (a, b) tal que f(c) 0; es decir, c es ua raíz de f()

17 Ejercicio 9: Determiar si la fució dada es cotiua o discotiua e el puto idicado, e caso de ser discotiua especifique el tipo de discotiuidad: a) c) e) f(), e -1. b) 1 f(), e f(), e -. d) -9, f() - -6, 1 f(), e 1. m 1-1, 0 f() l, 0 e. f) ( ) Ejercicio 0: Redefiir las siguietes fucioes (si es posible), para que sea cotiuas: a) 5, si 5 f() 5 b) Se(), si 0 f() 1, si 5, si 0 c) 1, si > f(), si d) f() 5 e) f() 6 f) f() Ejercicio 1: Determiar los valores de A y B para que las siguietes fucioes sea cotiuas: A B, si < a) f() 4, si 1 B A, si > 1 b) A B, si < 1 f(), si [, 1 ) 4 1 A 1 8, si 1 c) π A BSe(), si < π π f() Cos, si, π A Se(), si d) π ASe() BCos(), si < 4 8 π π f() 4Cos, si, 4 4 π ACos() 5BSe(), si

18 Ejercicio : Supoga que el costo de evío de ua carta se calcula como sigue: cetavos de dólar por la primera oza o meos; luego 17 cetavos por cada oza (o fracció de oza) por las 11 ozas siguietes. Si ozas es el peso de ua carta y 0< 1, eprese la catidad de cetavos del porte de la carta como fució de. a) Trace la gráfica de esta fució. b) E qué úmeros del itervalo abierto (0,1) es discotiua la fució? Ejercicio : La fució f se defie por. f() 0 a) Trace la gráfica de f. b) E qué valores de es discotiua f? Ejercicio 4: Dar u bosquejo de la gráfica de ua fució que cumpla las siguietes codicioes: a) Cotiua e los itervalos (-,- ], [-,1), [ 1, ] y (, ). b) f() c) f() 0 d) 4 f() e) f() 0 f) f() g) 0 f() h) 1 f() i) 1 f() 4 j) f() 1 k) f() 0 l) 5 f() Ejercicio 5: Dada la fució f, determiar si se verifica el teorema del valor itermedio e el itervalo dado. E caso de cumplirse, halle el valor c para el cual f(c)k. a) f(), e [ 0, ], k1. b) f() c) f() d) f() 4 e) f() , e [ ] 5-, e, e [,1] -1, e [ ] 0,8, k-8. 9,, k., 1 k. 0,1, k. Ejercicio 6: Dada la fució f, determiar si se verifica el teorema Bolzao e el itervalo dado. E caso de cumplirse, halle el valor c para el cual f(c)0. f) f() 6, e [ 5,5]. g) f() 4, e [,5 ]. h) f() 4 7 8, e [ 10,5]

19 i) f() 4 4 5, e [,]. j) f() , e [ 5,5]. Ejercicio 7: Demuestre que el teorema del valor medio garatiza que la ecuació 4 0 tiee ua raiz etre 1 y. Ejercicio 8: Demuestre que el teorema del valor medio garatiza que la ecuació 0 tiee ua raiz etre - y