Un i d a d 9. ap L i C ac i o n e s d e L a. Objetivos. Al inalizar la unidad, el alumno:

Transcripción

1 U i d a d 9 ap L i C ac i o e s d e L a itegral ii Ojetivos Al ializar la uidad, el alumo: Usará talas de itegrales. Aplicará la itegració aproimada. Aplicará la itegració a series de fucioes.

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3 Cálculo diferecial e itegral Itroducció E esta uidad revisaremos el uso de talas de itegració, de gra utilidad para facilitar el proceso de itegració; recordaremos alguos de los métodos de itegració y realizaremos la itegració umérica. 9.. Utilizació de talas de itegrales La itegració sería u proceso completamete simple si cotáramos co ua lista de fórmulas de itegració, la cual deiera cotar co todas las itegrales que podamos requerir para su cálculo. Pero la diversidad de itegrales que eiste y que requerimos e la práctica, es demasiado grade para que esté coteida e ua tala de itegrales. Es más razoale traajar co ua lista que os permita resolver cualquier itegral, mediate el empleo de otras técicas ya utilizadas e este liro. La lista de fórmulas de itegració deerá ser del tipo de fucioes que aparece co mayor frecuecia. E los siguietes ejemplos haremos uso de las talas que se ecuetra e el aeo al fial del liro. Ejemplo Itegra la fució dada por Solució ( ). Al itegrar la fució 9 lo que haremos es utilizar el método de itegració por sustitució. De la tala del aeo utilizaremos la ecuació, esto es du u = se + C, por lo que tomamos u =, a = y du = d o du d a u a =. Por lo tato, d du = C = se +. 9 u Ejemplo Itegra la fució d. 9

4 Uidad 9 Solució Buscado la fórmula que se aproime a la fució, ecotramos la fórmula 8, du u+ a esta es = l + C, dode: a =, u = y du = d. Sustituyedo a u a u a estos valores e la itegral, teemos d 9 du u = = C u + u = + l l +. () () Ejemplo 9 Itegra 9 Solució La ecuació se puede itegrar utilizado la fórmula ; realizado el camio de variale dado por a =, u = y du = d. u a u du u a = u + l u+ u a + C Sustituyedo uevamete: 9 9 d = + l C. 9 Ejemplo Itegra ( ) Solució E este caso utilizaremos la fórmula 5: u =, a = y du = d du ( u ) a u = a a u + C, dode

5 Cálculo diferecial e itegral Sustituyedo el camio de variale e la itegral teemos: du ( u ) u = u + C = + C = + C Ejemplo 5 Itegra e se. Solució Aplicado la fórmula 6 teemos que a =, =, u = y du = d. au au e e se udu = ( a se u cos u)+ C, sustituyedo e la itegral a + teemos que la solució es dada por: e e d C e se = se se ( cos )+ = ( 5 cos )+ C. Ejemplo 6 Itegra sec 5d Solució Utilizado la fórmula 68 co u = 5 y du = 5d u 5sec 5d = u sec udu = sec u u sustituyedo e la ecuació el camio de variale, teemos: sec d = sec + C + C

6 Uidad 9 Ejercicio Calcula las siguietes itegrales: ( + 5) d 5 9d d d 9d 6. se d 9.. Itegració aproimada E esta secció estudiaremos alguas reglas para determiar aproimadamete el valor de ua fució itegrada e u itervalo dado: f( ) d a El uso de la itegració aproimada es para efretar el prolema que se preseta cuado las fucioes elemetales puede teer derivadas o elemetales, recordado que las fucioes elemetales so las algeraicas y las trascedetes. Por ejemplo, se sae que la fució elemetal f( ) = ( + + ) o tiee ua primitiva elemetal. Por tato, o es posile emplear el teorema fudametal del cálculo para evaluar esta itegral. A cotiuació se aaliza el uso de las sumas de Riema para aproimar uméricamete las itegrales; este método cosiste e que dada ua fució cotiua f e el itervalo [a, ], su itegral defiida se puede aproimar cosiderado ua partició P de [a, ] e suitervalos.

7 Cálculo diferecial e itegral 5 y i = f( i ) Figura 9.. ( ). a Cada uo de estos de la misma logitud = - Dado que e cada itervalo está defiida u área ajo la curva, etoces el valor de la suma de Riema se da de la siguiete forma: A= å f( i ) i= que se puede cosiderar como ua aproimació al valor de la itegral f( ) d. a La regla de los trapecios Otra forma de aproimar ua itegral defiida cosiste e usar trapecios. Este método supoe que f() es cotiua y positiva e el itervalo [a, ] por lo que la itegral defiida f( ) d, represeta el área de la regió limitada por la gráfica de a f (), el eje, las rectas = a y =. Primero se hace ua partició del itervalo [a, ] e suitervalos iguales, a a= < < <... < = cuya achura es = ( - ), de tal modo que tamié se puede oteer como = i i A cotiuació se forma trapecios para cada suitervalo, como muestra la figura 9..

8 6 Uidad 9 Figura 9.. Área de u trapecio ajo la curva. é f( ) + f( ) ùæ- aö El área del primer trapecio es dado por A =, el área del ëê ûú èç ø é f( ) + f( ) ùæ- aö segudo trapecio es A = y así sucesivamete, el área del ëê ûú èç ø f( ) + f( ) a -ésimo trapecio es A =. Fialmete, la suma de las áreas de los trapecios es: æ a f f f f f f A = - öé ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( - ) + ( èç ø ) ù ëê ûú = æ- aö f f f f f f èç ø ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) ( -) + f( - ) f( ) + por lo tato: [ ] æ a A = - ö f f f f f èç ø ( ) + ( ) + ( ) ( -) + ( ) a Como = - [ ] ( ), se otiee A = [ f ( ) + f ( ) + f ( ) f ( ) + f ( )] dode f( ) = f( a) y f( ) = f( ) de tal maera que: [ f( a) + f( )] A = + f( ) i= i

9 Cálculo diferecial e itegral 7 a regresado a la sustitució = - dode ( ) y tomado límite cuado. f a f a [ + ] ( ) A = lim ( ) ( ) + lim f( i ) = + f d ( ) a i = A= f( d ) a De lo aterior se resume que para itegrar ua fució f (), por el método de la regla de los trapecios se tiee que: a f( ) d [ f( ) + f( ) + f( ) f( ) + f( ) ] a Ejemplo 7 Usa la regla de los trapecios para aproimar itervalo [,π ] de y 8 suitervalos. π se d, co ua partició del Solució Para = la gráfica dode se forma trapecios es la siguiete:.. Figura 9.. se hace = π, y por la regla de los trapecios se tiee: π π π π π sed se + se + se + se + seπ 8

10 8 Uidad 9 Cuado = 8 π π + = = 8 ( ) ( ) Figura 9.. se tiee que = π 8 y por la regla de los trapecios se tiee π π π π π π sed ( se + se + se + se + se π π 7π + se + se + se + seπ ) 8 8 = π + + π + π 6 se se De haer ecotrado ua primitiva e este ejemplo se otedría el área eacta de la regió, que es. Regla de Simpso Ua forma de iterpretar la aproimació por trapecios de la itegral defiida cosiste e decir que e cada suitervalo aproimamos f() mediate u poliomio de primer grado, es decir, ua recta. E la regla de Simpso, llamada así e hoor del matemático iglés Thomas Simpso (7-76), se lleva este procedimieto u paso más allá y se aproima f() mediate poliomios de segudo grado, es decir, mediate paráolas. La aproimació se desarrolla como se muestra e la figura 9.5.

11 Cálculo diferecial e itegral 9 Figura 9.5. La itegral de ua fució cuadrática la otedremos utilizado el siguiete teorema: Teorema. Dada pd ( ), y si p() = A + B + C es ua fució poliómica de a segudo grado, etoces a pd ( ) = pa ( ) p a + p ( ) a Al desarrollar la regla de Simpso para aproimar ua itegral defiida, al igual que e los dos casos mecioados el itervalo [a, ], se parte e suitervalos iguales: a= < < < <... < < < = ( ), pero esta vez se requiere que sea par, y se a cada uo de achura = - agrupa los suitervalos por pares de la siguiete forma: [, ]= < <, [, ]= < < y [, ]= < < Etoces e cada suitervalo (dole) [ i, i ] se aproima f () por u poliomio p de grado meor o igual a. f( ) d pd ( ). Por ejemplo, e el suitervalo [, ] se elige el poliomio de meor grado que pasa por los putos (, y ), (, y ) y (, y ). Tomado p como ua aproimació de f e este suitervalo, se tiee f d pd p p + ( ) ( ) = ( ) + p ( ) + 6

12 Uidad 9 é( - a ) ù ê ú = ë û [ + + ]= - a p ( ) p ( ) p ( ) f( ) + f( ) + f ( ) 6 [ ] Repitiedo este procedimieto para todo el itervalo [a, ] teemos la regla de Simpso que os idica que para aproimar itervalo [a, ], se tiee que: a a f( ) d, siedo f() cotiua e el a f( ) d [ f( ) + f( ) + f( ) + f( ) f( ) + f( ) (dode es par) ] Nota. Los coeficietes e la regla de Simpso se ajusta al modelo... π E el ejemplo aterior se empleó la regla de los trapecios para estimar se d. E el siguiete ejemplo se usará la regla de Simpso para la misma itegral. Ejemplo 8 Aproimació de la regla de Simpso. Usa la regla de Simpso para aproimar π se d. Compara los resultados para =. Solució Para el caso de = suitervalos de [, π], los putos de partició se da por = k π k, para k =,,,,. La siguiete tala muestra la orgaizació de los térmios.

13 Cálculo diferecial e itegral Partició k π π π π = π f( k ) = se k Coeficiete Producto Suma Etoces - a π- π = = ( ) por lo tato π π se d ( ). Oserva que para = particioes, la estimació es muy cercaa al valor eacto cos(π) + cos() =. Ejercicio Ecuetra las aproimacioes de las siguietes itegrales por el método idicado:. ( ) d por método de trapecios, tomado =. d + por el método de Simpso, co =. log d, por cualquiera de los dos métodos co =. + d mediate la regla de los trapecios, co = 5. + d por medio de la regla de Simpso. Tómese = d 6. aplicado las sumas de Riema. +

14 Uidad Itegració por desarrollo de series de Taylor Para oteer ua aproimació de ua itegral podemos utilizar el desarrollo del poliomio de Taylor. Ejemplo 9 Partiedo del poliomio de Taylor de la fució se e c = dado por se( ) = (-), determia su itegral y determia! 5! 7! ( -)! a qué fució correspode. Solució E este ejemplo calcula la itegral del seo pero co el uso del poliomio de Taylor: 5 7 se d= ( ) d, por lo que itegrado el! 5! 7! ( )! térmio derecho de la igualdad se tiee: ( ) d! 5! 7! ( )! 6 8 = ( ) + C!! 65! 87! ( )! El poliomio de Taylor del coseo está dado por: cos( ) = (-)!! 6 5! 8 7! ( -)! de tal maera que si igualamos el poliomio ecotrado por la itegral co el poliomio del coseo, la costate C es igual a meos la uidad y la itegral será meos el coseo. Ejercicio 6 7. Itegra el poliomio dado por y!!!! ( + )! determia a qué fució correspode.

15 Cálculo diferecial e itegral. Itegra el poliomio + = ( ). Itegra el poliomio de Taylor de la fució: cos 8 = (-)!! 6! ( )! Ejercicios resueltos. Calcula la aproimació del trapecio a la itegral e la ecuació Solució ò d= 9 co = 6 y = 5. Los trapecios de la figura 9.6. idica por qué T 6 dee ser ua mejor aproimació que cualquiera de las aproimacioes mediate los etremos L 6 y R 6. La tala muestra los valores de f() = ecesarios para calcular L 6 y R 6. Utilizado la aproimació del trapecio resulta: T = ( y + y + y y - + y - + y ) dode 5. T 6 = [ ( ) + 5 (. ) + ( ) + 5 (. ) + ( ) + 65 (. ) + 9 ( )] =. 5[ ]=. 5[ 6. 5]= 95. (Compara co el valor real 9.) f( )= Coeficietes Datos del ejemplo

16 Uidad 9 Figura 9.6. El área ajo y =. La figura 9.7 ilustra la aproimació mediate los putos medios de la itegral d = 9 del ejemplo aterior, co = 6 y =.5, y la tala muestra los valores de f() = ecesarios para calcular M 6. f( )= Coeficietes Datos del ejemplo y Solució Figura 9.7. Rectágulos asados e los putos medios para aproimar el área ajo y = Utilizado la ecuació de la aproimació del trapecio se tiee:

17 Cálculo diferecial e itegral 5 M 6 = ( 5. )[ 65 (. ) (. ) (. ) (. ) + (. 565)+ (. 65] = ( 5. )[ ]= ( 5. )(. 75) = Ua aplicació co la logitud de arco. Usa la fórmula de la logitud de arco para mostrar que la logitud de la circuferecia + y = es π. Solució Para simplificar, se cosidera que u cuarto de la circuferecia está dado por ( ) y= - = -, dode. dode la derivada de la fució es: dy = ( - ) (- )= - - d Y la logitud de arco por: ( ) = s= + ( y' ) d = + d d = Figura 9.8. La itegral es impropia pues tiee ua discotiuidad ifiita e =. Luego se escrie d s = π π = lim[ arcse ] = = (de talas)

18 6 Uidad 9 Fialmete, multiplicado por se cocluye que la circuferecia mide π s = = π, como se muestra e la figura Ua aplicació co u sólido de revolució. Se forma u sólido de revolució al girar la regió o acotada situada etre las gráficas de f( )= y el eje ( ) llamado cuero de Gariel (véase la figura 9.9). Demuestra que este sólido tiee volume fiito, pero u área superficial ifiita. Solució Usado el método de los discos, se halla que el volume es: V = π d = d = = π π + π = = = π π = π() = π Figura 9.9. El área superficial es dada por S = π f( ) +[ f' ( ) ] d ; dode f'( )=, elevado al cuadrado y sustituyedo se tiee: S d + + = π + = π = + d = π π d

19 Cálculo diferecial e itegral 7 Realizado el siguiete camio de variale u = y de talas de itegrales se otiee Evaluado + S = limπ + ( ) lim π + ( ) lim π + S = limπ + l l l + + = + () + l l l + = Aplicado el límite resulta: + S = πlim + l l + S = π = = l l Por lo tato, el área superficial es tal como se supuso. 5. Ua aplicació a la geometría. Demuestra que el volume de ua pirámide de ase cuadrada, dode h es la altura de la pirámide y B es el área de la ase, es V hb = Figura 9..

20 8 Uidad 9 Solució E la figura 9. se corta la pirámide a ua altura y co u plao paralelo a la ase para formar ua secció cuadrada cuyos lados so de logitud. Cosiderado triágulos semejates, se oserva que ' h y = o ' = ( h h h y ) dode es la logitud de los lados de la ase de la pirámide. Por lo tato A y =( ') = h h-y itegrado etre y h se tiee h h h ( h y) dy = h y dy h ( ) h y = ( ) h V hb = h = h uidades cúicas Ejercicios propuestos. E la fució ò d, = ( ) h h h h h h h ( ) ( ) = = h h = a) Usa el método de sumas de Riema para estimar la itegral. ) Evalúa la itegral.. Estima h d mediate el método de los trapecios co el valor de =... Aplica la regla de Simpso a la itegral d. Usa el método de Simpso para estimar. 7 d, co = 6 5. Usa los tres primeros térmios distitos de cero del poliomio de Maclauri correspodiete a se para estimar: se d

21 Cálculo diferecial e itegral 9 6. Estima se d mediate el método de Simpso co = 6. π +. π 7. Estima se d, mediate el uso de la serie de Taylor correspodiete π a se, e potecias de Autoevaluació. E la fució d, =, = : i) Usa el método de las sumas de Riema para estimar la itegral. ii) Evalúa la itegral. a) i).78, ii) ) i).8, ii). c) i).75, ii). d) i).9, ii).5. Estima se d, mediate el método de los trapecios co = : a).55 ).88 c). d).555. Usa el método de Simpso para estimar a) ) c) d) d, co = :

22 Uidad 9. Determia la itegral a) se ) se c) se + C d) se + C + C + C d : 5. Determia la itegral e csce d: a) ) c) l csce cot e + C l cote cot e + C l csce ta e + C d) e l csce cot e + C 6. Determia la itegral 6 6 d: æ -ö 6 a) C èç ø ) cos c) se d) se C - + cos C - + C d 7. Determia la itegral 8 : a) ta C ) l sec + ta + C c) ta ( ) 5 d) ta + C 9

23 Cálculo diferecial e itegral 8. Itegra por aproimació a). ).9 c).6 d).7 9. Itegra por aproimació a).67 ).67 c).97 d).97 cos d, usado el método de Simpso co = : cos π d, usado el método de trapecio co = 6: +. Itegra por fórmula a) ) c) d) + C + C + C + C d :. Itegra por aproimació a). ).5 c). d).5 log d

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25 Cálculo diferecial e itegral Respuestas a los ejercicios Ejercicio ) 5 ( + ) + C 5 5 ) 9 l C ) C 75 ) arcta + C 5) ( 9 9l + 9 ) + C 6) cos + se + 6cos 6se + C Ejercicio ).995 ).68 ).8 ).858 5).8 6) Ejercicio 5 7 ) seh= ! 5! 7! ) + d = l ) = + + 5! 9! 6!

26 Uidad 9 Respuestas a los ejercicios propuestos. a) 5 ) /8. ¾ Alrededor de.7 Respuestas a la autoevaluació. a). c). d). ) 5. a) 6. d) 7. d) 8. ) 9. a). d). )