UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CLAVE M

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1 UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CLAVE-1--M---17 CURSO: SEMESTRE: Segudo CÓDIGO DEL CURSO: 1 TIPO DE EXAMEN: Tercer Exame Parcial FECHA DE EXAMEN: de octubre de 17 RESOLVIÓ EL EXAMEN: Kevi Itzep DIGITALIZÓ EL EXAMEN: Kevi Itzep COORDINADOR: Ig. José Alfredo Gozález Díaz

2 Uiversidad de Sa Carlos de Guatemala Facultad de Igeiería Departameto de Matemática Tema 1: (1 putos) Supoga que Tercer exame parcial Temario D sobre el itervalo y ax bx c,k. Utilice límites y sumas de Riema, para mostrar que el área bajo la curva, sobre el itervalo idicado está dada por k k A a b ck Tema : ( putos) a. Trace la gráfica de la fució y 1 x. Evalúe la itegral iterpretádola e térmios de áreas de figuras geométricas. 1 x dx b. Dada la fució obteer g x. Tema : ( putos) a. Evalúe la itegral 5x t g x e dt. Utilice el teorema fudametal del cálculo x x x 1dx b. Utilice el teorema fudametal del cálculo y ua sustitució adecuada para obteer que Tema : ( putos) c d 1 f x f x dx f d c f Calcular el área de la regió limitada por las gráficas de Tema 5: (6 putos) x y e 1, y e & y Calcular el volume del sólido obteido al girar la regió limitada por las gráficas de la parábola y x, la recta x y. a. Al rededor de la recta x utilizado el método de aradelas. b. Al rededor de la recta y utilizado el método de cascaroes cilídricos. x

3 Uiversidad de Sa Carlos de Guatemala Facultad de Igeiería Departameto de Matemática SOLUCIÓN DEL EXAMEN Tema 1: 1 putos A = a k + b k + ck. No. Explicació 1. Primero se determia delta y coeficiete i. Operatoria x = k = k, x i = + k i = k i. La sumatoria de Riema está dada de la siguiete maera: A = lim f(x i ) x. Aplicado la suma de Riema A = lim [a ( k i) + bk i + c] [k ]. Aplicado algebra E este caso solo se multiplica el factor de afuera por toda la expresió 5. Resolviedo la sumatoria para el primer termio, dode se valúa el limite cuado tiede a ifiito, dode se sabe que todo úmero al ser dividido por u umero mucho mayor tiede a cero. A = lim [ [a ( k i) ] [ k ] + [ bk i] [k ] + [ck ] ] [a ( k i) ] [ k ] = [a k i ] = a k i = lim [a k + + [ ]] 6

4 Uiversidad de Sa Carlos de Guatemala Facultad de Igeiería Departameto de Matemática = lim [a k 6 + a k k 6 + a 6 ] k k k lim [a + a + a ] = a k + + lim ] [a (k i) [ k ] = a k 6. Resolviedo la sumatoria para el segudo térmio. [ bk i] [k ] = bk bk + 1) i = i = [bk] [( ] bk ( + ) = lim [bk + bk ] = bk + lim [bk i] [k k ] = b 7. Resolviedo la sumatoria para el tercer termio [ ck ] = [ ck ] 1 = [ck ] lim [ck ] = lim ck = ck A = a k + b k + ck

5 Uiversidad de Sa Carlos de Guatemala Facultad de Igeiería Departameto de Matemática Tema : putos a) Trace la gráfica de la fució y = 1 x. Evalué la itegral (1 x )dx térmios de áreas de figuras geométricas. iterpretadola e No. Explicació Operatoria 1. Primeramete, graficamos la fució. La itegral se calcula mediate área bajo la curva de los triágulos. A, B, C. (1 x )dx = A b A a A c. Se procede a ecotrar el valor del área para cada triagulo. A a = base a altura a, base a = 1 = 1, altura a = 1, A a = 1 1 = 1 A b = base b altura b, base b =, altura b = 1 = 1, A b = = 1 A c = base c altura c, base c =, altura c = 1 =, A c = =. Se procede a sumar las áreas de cada triagulo, asumiedo que arriba de la recta horizotal es positivo y debajo de ella es egativo A = A b A a A c = 1 1 =

6 Uiversidad de Sa Carlos de Guatemala Facultad de Igeiería Departameto de Matemática A = 5x x b.) Dada la fució g(x) = e t dt obteer g (x)., utilize el teorema fudametal del calculo para No. Explicació Operatoria 1. Defiimos G(x) como la atiderivada de e t G (x) = e t x. Aplicado el teorema fudametal del calculo e t = G( x) G(5x) 5x. g (x) = d [G( x) G(5x)] dx Se deriva = 5e (5x) ( e x x ) g (x) = e x x 5e (5x)

7 Uiversidad de Sa Carlos de Guatemala Facultad de Igeiería Departameto de Matemática Tema : putos a) Evalué la itegral x x + 1dx No. Explicació Operatoria 1. Se determia que parámetro de la itegral será u. u = x + 1, du = dx, x = u 1. Se hace u cambio de variables de x a u 1 [u 1 ] u du = 1 (u + u) du. Resolviedo la itegral. 1 9 [ 5 u5 + u + c] = 5 u5 7 u + c = u ( 5 u 7 ) + c. Aplicado algebra y cambio de variables de u a x u 5u 9 ( 115 ) + c = (x + 1) 5(x + 1) 9 ( ) + c 115 (x + 1) 5x 9 ( 115 ) + c = (x 1) (18x ) 15 + c

8 Uiversidad de Sa Carlos de Guatemala Facultad de Igeiería Departameto de Matemática x x 1dx = (x + 1) (18x ) 15 + c b) Utilice el teorema fudametal del cálculo y ua sustitució adecuada para obteer que b f(x)f (x)dx = 1 [(f(b)) + (f(a)) ] a No EXPLICACION OPERATORIA 1 Se determia que parámetro de la itegral será u. u = f(x), du = f (x)dx, udu = [ 1 u ] d c c d Se sustituye e la ecuació origial [ 1 f(x) ] d c = 1 [(f(d)) (f(c)) ] f(x)f (x)dx = 1 [(f(d)) + (f(c)) ] d c

9 Uiversidad de Sa Carlos de Guatemala Facultad de Igeiería Departameto de Matemática Tema : putos Calcular el área de la regió limitada por las graficas y = e x 1; y = e x ; y = No. Explicació Operació 1 Se grafica Se debe de calcular dos itegrales. Ya que se puede observar que hay más de u área que iterviee dos tipos de graficas a A = (e x 1 e x )dx + ( e x )dx a b Determia las iterseccioes de la graficas. Sustituyedo datos y resolviedo la itegral. Dode a es la iterseccio etre y = e x 1 & y = Dode b es la iterseccio etre y = e x & y = = e x 1 => x = l () = e x => x = l () l () l () = (e x 1)dx + ( e x )dx l () A = (e x x) l() + (x l () ex ) l () A = ( l()) (1 ) + ( l() ) ( l() ) =.55u

10 Uiversidad de Sa Carlos de Guatemala Facultad de Igeiería Departameto de Matemática A =.55u Tema 5: 6 putos. Calcular el volume del solido obteido al girar la regió limitada por las gráficas de la parábola y = x, y la recta x y = a.) Alrededor de la recta x = utilizado el método de aradelas. No. Explicació Operació 1 Se ecuetra las iterseccioes x = x => x 1 =, y 1 = & x =, y = Se platea el volume V = π [( y ) ( y) ] dy π [ y y + y + y ] dy Resolviedo la itegral = π [ y y + y] dy π [ y 1 y + 8 y ] =

11 Uiversidad de Sa Carlos de Guatemala Facultad de Igeiería Departameto de Matemática π [ ] A = 8π u b.) Al rededor de la recta y = utilizado el metodo de cascaroes cilidricos. No. Explicació Operatoria 1 Determiado el radio r y la altura h r = y + ; h = y y

12 Uiversidad de Sa Carlos de Guatemala Facultad de Igeiería Departameto de Matemática Aplicado la itegral A = π (y + ) ( y y ) dy = π [y y y + y] dy Resolviedo la itegral A = π [ y5 5 y 6 y + y ] = π [ ] A = 8 π u 5