Sucesiones y series numéricas

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1 PROBLEMAS E MATEMÁTICAS Cálculo Primero de Ciecias Químicas FACULTA E CIENCIAS QUÍMICAS epartameto de Matemáticas Uiversidad de Castilla-La Macha Cálculo Sucesioes y series uméricas Sucesioes y series uméricas. Estudia la mootoía de las siguietes sucesioes: a = 3, (b b = 3 3 +, (c c = ( 3 ( Utilizado el criterio de la sucesió itermedia o regla del Sadwich, calcula: ( ( (b + ( (. ( (c se + + se se. + (d 3. Calcula: ( Halla el límite de la siguiete sucesio: 3, 3 3, 3 3 3,.... Calcula: ( e, (b 3+ +3, (c , (d ( Calcula: 7. Calcula: 8. Calcula: ( log(, (b ( (a + a + 3a a, < a <. log, (b log! log(, (c α+ α + α α, α IN.

2 9. Calcula: Idicació: Fórmula de Stirlig. (.. Calcula:. Calcula: ( a + b c d + c + d +. Calcula:!, (b!, (c , (d ( ( + 3. e la serie a se cooce que la sucesió de sumas parciales (S viee dada por S = IN. Halla: El térmio geeral a de la serie. (b El carácter de la serie. 4. Estudia la covergecia de la serie e 3.. Estudia la covergecia y halla la suma, si es posible, de las siguietes series: (3 + (3 +, (b Halla el carácter de las siguietes series: (d ( +, (b (! (l( 3...(l( 3, (e ( + 3, (c = (! ( + ( +...( +. ( l 3/, 7. Estudia, segú los valores de α >, el carácter de la serie: se π α.

3 8. Estudia el carácter de la serie: ( ( Estudia la covergecia absoluta de las series: ( l, (b (, (c ( se 3/. = =. Calcula la suma de las siguietes series: l (, (b ( + ( +, (c. emuestra que la serie meor de.. etermia el carácter de las siguietes series: l (b (c l + 6. ( + es covergete. Calcula su suma co u error (3 + ( + 3 se (3 + 3 (d (e 7 3 (f ( + 3 (g ( (h 3(l ( (i 7! (j (k! (l + 7 (m! ( 7! (o 3 (p (u (q ( (r + 3 (v!! s (w (l ( ( / l (t ( + ( 3 (y (! ( (! (z + (ab l (ac 4 l (ad l (ae k= k + 3 k + (af l (ag +!! (ah se (7 + 3 ( (ai (aj + 8 (ak e 3. Estudia la covergecia absoluta de las siguietes series: (b l 3 l l (c + (,! (d ( 3, (e 4 ( ( + ( +, (f ( +, 3

4 4. Suma las siguietes series: (e (, (b = ( (, (f 3 = ( +, (c 3 = + ( +, Sucesioes y series de fucioes. Estudia la covergecia de la serie:. emuestra que la serie que π f( = (g ( ( + ( + 3( +, (d ( ( + ( + 3, (h (. + se 3 coverge para todo IR. Si f( = ( 4. +, ( ( +. se 3, prueba 3. Halla el itervalo de covergecia de la serie y estudia la covergecia e los etremos de dicho itervalo: ( ( 3 4. etermia el radio de covergecia de las series de potecias siguietes y, si es posible, estudia la covergecia e los etremos de sus itervalos de covergecia: ( + 7, (b ( (3 3. etermia el radio de covergecia de las series de potecias siguietes y, si es posible, estudia la covergecia e los etremos de sus itervalos de covergecia: = ( +, (b ( ( 6. esarrolla e serie de potecias f( =, determiado el itervalo de coverge- cia de la serie obteida. 7. emuestra que cada ua de las siguietes fucioes tiee como represetació la serie de potecias que se idica e los cojutos dados: a (l = para IR (a >.! = (b se + = ( ( (! para IR. 4

5 (c 6 3 = = ( + ( 3 para (,. 8. Itegra por desarrollo e serie de Taylor las siguietes fucioes. se, (b e, (c p l( q (p >, q >. 9. Escribe el poliomio de Taylor P 4, ( de la fució f ( = l(. Aprovecha el poliomio aterior para calcular, aproimadamete, l(, 9.. Calcula el poliomio de Mac Lauri de orde 4 de las siguietes fucioes. se + cos, (b log( +, (c e, (d set dt. t. Calcula los siguietes límites por sustitució de ifiitésimos equivaletes: se, (b 3( cos arcsi arcta, (c l( + cos a (3 tgb, (d se arctg 3, (e 7 sese3 ( 7, (f l( + 7 e 4.. Calcula usado desarrollos de Tayor los siguietes límites. tg arcse + cos =. 6 log ( + (b 4 cos 4 = 3. (tg seh Idicació: e el primero se ecesita desarrollos de orde. E el segudo de orde. 3. Sabiedo que e = =! calcula!, (b (!, (c!. = = = 4. Calcula (!, (b 3 (!, (c = + ( +!, (d, (e!.. Calcula: +! 3 3! + 4 4!... (b

6 6. Usado derivació térmio a térmio, calcula la suma de las series siguietes para cualquier valor de e el itervalo de covergecia: ( ( +, (b = ( (. 7. Usado itegració térmio a térmio halla: ( + f( =, (b g( =! = Calcula Itegrales impropias = +, (b! = ( + ( +.!. Calcula las siguietes itegrales 4 (b (c 3 (d 3 (e (i 3 + (f (j 4 cos (g ( (k + (h (l e 3 l (l 3 3 (m 3 ( /3 ( 3 ( (o 3. Estudia la covergecia de las siguietes itegrales impropias: (b + 3 (c (d si (e 3 4 (f (g ( (h 3 e Cálculo diferecial de varias variables. Represeta los siguietes cojutos de IR descritos e coordeadas cartesiaas: A = {(, y R /, y > } (b B = {(, y R / y } (c C = {(, y R / (4 y ( + y } (d = {((, y, z R 3 / + y + z = } 6

7 (e E = {(, y, z R 3 / + z } (f F = {(, y, z R 3 / + y z }. escribe e el plao cartesiao los cojutos de IR cuya epresió e coordeadas polares es: A = {(r, θ IR / r } (b B = {(r, θ IR / r = seθ} (c C = {(r, θ IR / < r < } (d = {(r, θ IR / π 4 θ π 4 } 3. escribe e coordeadas cartesiaas los cojutos de IR 3 cuya epresió e coordeadas cilídricas es: A = {(r, θ, z R 3 / z = } (b B = {(r, θ, z R 3 / θ = π 4 } (c C = {(r, θ, z R 3 / r + z 3} 4. Represeta e el espacio cartesiao los cojutos de IR 3 epresados e coordeadas esféricas por: A = {(r, θ, φ / r } (b B = {(r, θ, φ / θ = π 4 } (c C = {(r, θ, φ / r, φ π }. Estudia la eistecia de los siguietes límites: (,y (, y + y (b (,y (, y 3 + y 6 (c (,y (, y ( + y 3/ 6. Calcula, si eiste, los límites iterados y el límite para las fucioes siguietes: f(, y, z = yz + y + z e (,, (b g(, y = y se e (, (c h(, y = y 4 + y 4 e (, (d i(, y = y 4 e (, + y4 (e j(, y = y + y + y 7. Halla, si eiste, los siguietes límites: e (, (f k(, y = se y + y cos e (, 3 se(y 4 (,y (, (y + se (b ( cosyse e y (,y (, + y (c (,y (, se log( + y 8. Halla, si eiste, los siguietes límites: (,y,z (,, yz + y + z (b (,y (, (sey, e y 7

8 ( + y si si (, y (, 9. Sea f(, y = + y si (, y = (, a emuestra que f es difereciable e (, auque sus derivadas parciales o sea cotiuas e dicho puto. b Calcula df e el puto (,.. Comprueba la cotiuidad y difereciabilidad de las siguiete fucioes e el puto (, y calcula la matriz jacobiaa e dicho puto: f(, y = cos(y (b f(, y = ( + cos y, ye (c f(, y = (e +y + y, y (d f(, y = (e +3y, y (e f(, y = ( si ( + y e, e y (f f(, y = (, y, si(y. Sea las fucioes f(, y = (e 3 y, +3y, y g(u, v, w = (u w, se(v+w. Prueba que f es difereciable e (,, que g es difereciable e (,, y que h = g f es difereciable e (,. Calcula df(,, dg(,, y dh(,.. Halla la diferecial e (, de las fucioes: f(, y = e cos y + setgy (b f(, y = ( + y, se + cos y, e y 3. Halla el plao tagete a la superficie z = + y, paralelo al plao + y z =. 4. Halla la ecuació del plao tagete a la superficie yz = a 3 e cualquier puto de la misma.. Halla la recta tagete a la curva itersecció de las superficies y + z + yz = 3 y y + z = e el puto (,,. 6. Halla el plao tagete al elipsoide + y + z = 4 e el puto (,,. 7. Halla el vector gradiete y la derivada direccioal máima de la fució f(, y = 3 + y 3 e los putos (, y (,. Iterpreta el resultado. 8. Sea f(, y = e sey + e y se. Se pide Halla el vector gradiete de la fució e u puto arbitrario de IR. (b Halla la derivada direccioal de f e el puto (,, e la direcció θ = π/4. (c Halla la direcció θ para la que θ f(, =. 9. Halla dw/dt e los siguietes cambios de variable: w = l y, = cos t, y = set w = + y, = e t, y = e t w = + y, = cos t, y = e t w = + y + z, = e t cos t, y = e t set, z = e t 8

9 . Halla las derivadas parciales de f co respecto a, y, z después de hacer el cambio de variable que se idica: f(u, v, w = u + v w, u = y, v = y, w = e z. Halla las derivadas parciales de f(u, v = u + v co respecto a, y después de hacer los cambios de variable que se idica: a u = u(, y, v = v(, y b u = y, v = y.. Halla las derivadas parciales de f(u, v = e u +v co respecto a r, θ después de hacer los cambios de variable que se idica: a u = u(r, θ, v = v(r, θ b u = r cos θ, v = rseθ. 3. Halla las derivadas parciales de f co respecto a r y θ, después de hacer el cambio de variable que se idica: f(, y = arctg y, = r cos θ, y = rseθ 4. Halla las derivadas parciales de f co respecto a s y t, después de hacer el cambio de variable que se idica: f(, y, z = y + yz + z, = s cos t, y = sset, z = t. Repetir el ejercicio aterior siguiedo el procedimieto del ejercicio. 6. Se cosidera las fucioes u = + y z, v = y + 3z + yz, w = y + yz. Si (u, v, w = r cos θseφ, y = rseθseφ, z = r cos φ. Halla (r, θ, φ. 7. Repetir el ejercicio aterior siguiedo el procedimieto del ejercicio. 8. Calcula el desarrollo de Taylor de segudo orde de la fució f(, y = e cos y e toro al puto (,. Si aproimamos f(.,. por el valor del desarrollo de McLauri de f de orde evaluado e (.,., qué error cometemos?. 9. Haz lo mismo que e el ejercicio aterior para las siguietes fucioes: f(, y = e 3y (b f(, y = se( + 3y (c f(, y = ( + y 3. Calcula los máimos y míimos relativos y los putos de esilladura de las siguietes fucioes: f(, y = + y + y + 3 (b f(, y = log( + y + (c f(, y = + 4y y (d f(, y = y 9

10 3. Clasifica los putos críticos o estacioarios de las siguietes fucioes: (e f(, y = ( + 4y e y (f z = y 4y 4 (g z = + 3y 4 y + 3 (h z = 3 3y + y 3 3. Halla los etremos absolutos de las fucioes siguietes e los cojutos que se idica: { } f(, y = y, sobre B = (, y :, y, + y. { } (b f(, y, z = + y + z, sobre B = (, y, z : + y z. (c f(, y = 3y 6 3y + 7, e el triágulo de vértices (,, (3,, (,. 33. Halla los etremos de f(, y = 3 + y sujetos a la restricció + 3y = Sea T (, y, z = + + y la temperatura e cada puto de la esfera + y + z =. Halla la temperatura máima e la curva formada por la itersecció de la esfera y el plao z =. 3. Calcula los putos críticos de la siguiete fució y clasifícalos: f(, y = (3 (3 y( + y Halla los etremos de f(, y = l + y l y sujetos a la codició + y =. 37. Halla la míima distacia del puto (,, al plao + y + z + 3 =. 38. Halla la míima distacia del orige a la superficie + y + z = Halla la míima distacia al orige de la recta dada por las ecuacioes + y + z = y y 3z = 4. Cálculo itegral de varias variables.. Calcula las itegrales dobles siguietes e los dos órdees de itegració: (b (c dy, dode = {(, y :, y }. ydy, dode = {(, y : π π, y cos }. dy, dode = {(, y :, y }.. Calcula las itegrales dobles siguietes e los dos órdees de itegració : 3. Calcula + y = y + y = 4. + y 3 dy (b e y dy ( + y dy siedo la regió compredida etre las circuferecias:

11 4. Sea el paralelogramo itado por las rectas y =, y = +, y =, y = 3. Hallar ( + y dy.. Sea la regió del primer cuadrate deitada por las curvas + y = 4, + y = 9, y = 4 y y =. Hallar ydy. 6. Calcula el área de los recitos e los que está defiidas las itegrales de los ejercicios y Calcula las itegrales: (d y (y + zdz dy (b ze y dz dy (e +y +y dz dy +y dz dy (c 4 4 +y dz dy 8. Halla el volume del sólido itado por z = y, y =, y =. 9. Halla el volume del sólido itado por z = 4 y, y =, y =.. Halla el volume itado por el cilidro + y = y los plaos z + y = 4 y z =.. Halla el volume itado por la superficie z = + y y el plao z = 4.. Halla el volume itado por la superficie z = + y, el cilidro + y = 4 y el plao z =. 3. Calcula el volume itado por las superficies z = + y y z = y. 4. Halla el volume detro de las superficies z = + y y + y + z =.. Halla W ( z dy dz, dode W es la pirámide co vértice superior e (,, y vértices de la base e (,, (,, (, y (,. 6. Halla el volume del coo de helado defiido por las desigualdades + y z, z + y. 7. Evalúa W dy dz ( + y + z 3/, dode W es el sólido acotado por las esferas + y + z = 4 y + y + z =. 8. Halla dydz siedo el recito = {(, y, z/ z 4 + y 9 }. 9. Se cosidera f(, y, z dy dz siedo = {(, y, z/, y 4, z } Escribe las seis itegrales iteradas asociadas al recito.