Integral de una función

Transcripción

1 Itegral de ua fució

2 Itegral de ua fució Los coceptos de primitiva e itegral idefiida La itegració de ua fució es el paso iverso a la derivació de ua fució. Para defiir correctamete la itegral de ua fució, dee defiirse ua primitiva de ua fució: si f () es la derivada de F() etoces, F() es ua primitiva de f() Para epresar la itegració de ua fució se utiliza u símolo,, atepuesto a la fució, y el símolo d (deomiado diferecial de ) después de la fució, es decir, la itegral idefiida de ua fució se epresa f d = F() siedo F() ua primitiva de f() y c ua costate, es decir, u úmero cualquiera. Por ejemplo ( + 5) d = + 5 ya que la derivada de + 5 es + 5, por lo tato, + 5 es ua primitiva de + 5. Tala de las itegrales imediatas f() f d Ejemplos k siedo k u úmero k f() = f d = / siedo u úmero + /( + ) etero diferete de f() = f d = 4 /4 / l ( ) cos se se cos ta l(cos ) arc se arc cos arc ta + a a /l a f() = f d = /l g() = e g d = e log a (l ) c l a f ( ) (l ) d = l g() = l g d = (l )

3 Reglas de la itegració La itegral de la suma de fucioes es igual a la suma de la itegral de las fucioes. ( + ) = + f g d f d g d La itegral del producto de u úmero por ua fució es igual al producto del úmero por la itegral de la fució. k f d = k f d Si g = f d g () = f() La regla de la cadea (es decir, (fog)' = (f'og) g') os permite escriir que: ( f ' og) g ' d = ( fog) Geeralizació de la tala de itegrales imediatas Itegral Ejemplo + [ ] f [ f ] f ' d = si [ se ] + f '( ) d = l f ( ) f [ ] 5 4 se cos d = 5 d = l + + f f e f '( ) d = e ( 8 ) f f a a f ' d = l a e + d = e ( 8 ) + + d = l 5 f '( ) se ( f ( )) d = cos ( f ( )) cos se ( se ) cos( se ) f '( ) cos ( f ( )) d = se ( f ( )) 6 cos ( 6 ) d = se ( 6 ) f ' ( f ) + f ' ( f ) d = arcta f d = arcse f d = / + l e ( e ) d = arcta l d = arc se e Métodos de itegració Método de sustitució Si F es ua primitiva de la fució f, y g otra fució, saemos por la regla de la cadea: f ( g()) t g '() t dt = F( g()) t = F = f d siedo = g(t) Así pues, la fórmula del método de itegració por sustitució es: f ( ) d = f ( g ()) t g '() t dt co = g(t) Método de itegració por partes Si f y g so dos fucioes, la derivada de su producto es igual a: (f g)' = f' g + f g' f g' = (f g)' f' g y, por lo tato, itegrado e amas partes f g ' d = f g f ' g d

4 La itegral defiida de ua fució La itegral idefiida de ua fució permite ecotrar el área de ua fució y el eje X, etre dos etremos a y. Para ecotrarla, se dee calcular el límite de la suma de los rectágulos de la image, cuado su ase tiede a : f i+ i a 4 5 a defiició: a i+ i i = f d = lim f( ) i i+ i Dicha área se epresa de la siguiete forma, y ésta es su Relació etre la itegral idefiida y la itegral defiida La itegral defiida se puede calcular a partir de ua primitiva de la fució de la siguiete maera: si F() es ua primitiva de f(), etoces: f ( ) d = F ( ) F ( a ) a por ejemplo: d = = = ya que ua primitiva de es. E qué cosiste el proceso de itegració de ua fució? La itegració de ua fució es u proceso ítimamete relacioado co la derivació; de hecho, se trata del paso cotrario a la derivació. La itegració, además, tiee múltiples aplicacioes, etre las que se destaca el cálculo de áreas delimitadas por ua fució. Dada ua fució, f, es posile ecotrar su derivada, f', utilizado la tala de derivadas y las reglas pertietes. Esta trasformació sugiere ua preguta: dada ua fució, f, es posile ecotrar ua fució, F, cuya derivada sea la fució iicial, f, es decir, F'() = f()? Por ejemplo, dada la fució f() = + 5, podemos ecotrar ua fució, F, cuya derivada sea precisamete f()? E este caso, es fácil comproar que la fució F() = + 5 tiee como derivada F'() = + 5 = f(). Por lo tato, la respuesta e este ejemplo es que sí. Podríamos ecotrar otra fució que cumpliera la misma codició? No es difícil darse cueta que la fució G() = tamié tiee como derivada f(); e geeral, toda fució de la forma + 5 (dode c es u úmero) tiee la misma derivada (ya que la derivada de c siempre será ). A ua usca de este tipo se le deomia itegració de f y a la fució resultate se le deomia primitiva de f; es decir, la itegració es la operació cotraria a la derivació: si f () es la derivada de F() etoces, F() es ua primitiva de f()

5 Además, podemos afirmar que toda fució de la forma F() (dode c es u úmero) tamié es ua primitiva de f(). Al cojuto de todas las primitivas de ua fució f se le deomia itegral idefiida o, simplemete, itegral de la fució f. Así, por ejemplo, la itegral de la fució f() = + 5 es + 5 (siedo c u úmero) porque cualquier primitiva de la fució f() se escriirá de esta forma; es decir, la úica diferecia etre ua primitiva de esta fució y otra será su térmio idepediete. Para epresar la itegració de ua fució se utiliza u símolo,, atepuesto a la fució, y el símolo d (deomiado diferecial de ) después de la fució, es decir, la itegral idefiida de ua fució se epresa así: f d Así pues, el ejemplo aterior podemos epresarlo así: d = + Esta es la tala co alguas itegrales elemetales, llamada tamié tala de itegrales imediatas (dode c es u úmero cualquiera): Tala de las itegrales imediatas f() f d Ejemplos k siedo k u úmero k f() = f d = / siedo u úmero + /( + ) etero diferete de f() = f d = 4 /4 / l ( ) cos se se cos ta l(cos ) arc se arc cos arc ta + a a /l a f() = f d = /l g() = e g d = e log a (l ) f() = l a log f ( ) (l ) d = l g() = l g d = (l ) Cuáles so las reglas de la itegració y cómo ifluye e el cálculo de primitivas? Las reglas pricipales de la itegració so la de la suma de fucioes, la del producto de u úmero por ua fució y la de la composició de fucioes. Estas reglas permite geeralizar la tala de itegrales imediatas. El cálculo de la primitiva de ua fució cualquiera o es ta secillo como el de la derivada, ya que las úicas reglas imediatas que puede aplicarse so:

6 La itegral de la suma de fucioes es igual a la suma de la itegral de las fucioes. ( + ) = + f g d f d g d La itegral del producto de u úmero por ua fució es igual al producto del úmero por la itegral de la fució. k f d = k f d E u ejemplo aterior ya se haía aplicado amas reglas: + 5 d = d + 5d = d + 5 = + 5 Evidetemete: si g = f d g () = f() La regla de la cadea (es decir, (fog)' = (f'og) g') os permite escriir que: ( f ' og) g ' d = ( fog) utilizado la propiedad aterior. De esta maera, se puede geeralizar la tala aterior: Geeralizació de la tala de itegrales imediatas Itegral Ejemplo + [ ] f [ f ] f ' d = si [ se ] + f '( ) d = l f ( ) f [ ] 5 4 se cos d = 5 d = l + + f f e f '( ) d = e ( 8 ) f f a a f ' d = l a e + d = e ( 8 ) + + d = l 5 f '( ) se ( f ( )) d = cos ( f ( )) cos se ( se ) cos( se ) f '( ) cos ( f ( )) d = se ( f ( )) 6 cos ( 6 ) d = se ( 6 ) f ' ( f ) + f ' ( f ) d = arcta f d = arcse f d = / + l e ( e ) d = arcta l d = arc se e E la actualidad, eiste programas iformáticos que calcula las derivadas e itegrales de la mayor parte de las fucioes usuales, lo cual facilita e gra medida la aplicació práctica de estos coceptos y sus múltiples aplicacioes. Qué métodos puede utilizarse para itegrar ua fució? Auque eiste métodos para itegrar fucioes, dee surayarse que o siempre es posile hallar la epresió algeraica que se correspode co dicha itegral. E todo caso, los métodos más haituales so el método de sustitució y el método de itegració por partes. La mayor parte de itegrales idefiidas que puede platearse, ecepto las imediatas, requiere u largo y metódico proceso para llegar a su resolució. E todo caso, dee decirse que o siempre es posile ecotrar ua epresió algeraica que resuelva la itegral plateada. Éstos so los métodos usuales para hallar la itegral de ua fució, auque isistimos e que o siempre es posile hallarla (para simplificar, e este apartado, e lugar de f d, se utilizará simplemete f ): Método de sustitució

7 Si F es ua primitiva de la fució f, es decir, f d = F, y g otra fució, saemos por la regla de la cadea que: (Fog)' = (F'og) g' por lo cual, ( F ' og) g ' = Fog es decir, ( fog) g ' = Fog o lo que es lo mismo f ( g()) t g '() t dt = F( g()) t = F = f d siedo = g(t) Por tato, la fórmula del método de itegració por sustitució es: f ( ) d = f ( g ()) t g '() t dt co = g(t) Por ejemplo, si se quiere calcular la itegral d puede hacerse el camio = se t, por tato, d = cos t dt (que es ua maera diferete de decir que la derivada de es g'(t) = cos t, de maera que aparece directamete d y dt, el diferecial de y el diferecial de t). Así pues, = se t = cost + cos t co lo que, recordado que cos t = = cos cos = cos = d t tdt tdt + cos t = dt = cos dt + tdt = si t si t cos t = t+ = t+ 4 Deshaciedo el camio, teemos que t = arc se : d = arcse + Otro ejemplo: l d sea t = l y, por lo tato, dt = d ; así pues: l t l d = tdt c c = + = + Método de itegració por partes Si f y g so dos fucioes, saemos que la derivada de su producto es igual a: (f g)' = f' g + f g' Esta epresió puede modificarse así: f g' = (f g)' f' g y, por lo tato, itegrado e amas partes f ( ) g '( ) d = (( f ( ) g ( ))' - f '( ) g ( )) d es decir, f g ' d = f g f ' g d que se correspode co la fórmula de itegració por partes. Esta fórmula se dee aplicar cuado la itegral del miemro de la derecha sea más secilla que la de la izquierda (para ello, esta última dee descompoerse e el producto de dos fucioes, ua de ellas, g', dee ser la derivada de otra fució g y, además, fácil de ecotrar). Por ejemplo, si se quiere resolver esta itegral e d, podemos hacer la siguiete descomposició: f() = por lo tato, f'() =

8 g'() = e por lo tato, g() = e d Como teemos todos los compoetes de la itegració por partes, podemos hacer lo siguiete: e d = e e d de esta maera, la itegral de la derecha puede realizarse de modo imediato: Otro ejemplo: l d E este caso: e d = e e = e f() = l y f'() = / g'() = y g() = (a veces, por comodidad, se utiliza las variales u y v a e lugar de f y g para epresar este camio, y e vez de f y g se usa du y dv, de esta maera : u = l y du = / d dv = d y v = ) por lo tato, l d = l d = l = (l ) A veces el proceso de itegració por partes tiee u desarrollo curioso. Por ejemplo, para calcular la itegral e se d se utiliza este método, de maera que f() = e f () = e g () = se g() = cos por lo tato, e se d = e cos + e cos d ahora, se vuelve a aplicar el método de itegració por partes a esta última itegral, siedo f() = e f () = e h () = cos h() = se por lo tato, e cos d = e se e se d si sustituimos este valor e el paso aterior: e se d = e cos + e cos d = e cos + e se e se d podemos pasar e se d al primer miemro e se d = e cos + e se es decir, e (se cos ) e se d = Como se ha podido oservar, la aplicació sucesiva de la regla de la cadea, e este caso, ha permitido calcular el valor de la itegral si haer de calcularla eplícitamete. = e Qué es la itegral defiida de ua fució? La itegral defiida ace de la ecesidad de calcular el área ecerrada por ua fució y el eje X e cierto itervalo. Esta área puede aproimarse sumado ciertos rectágulos, cuya ase sea costate, y cuya altura sea el valor de la fució e ciertos putos elegidos coveietemete. El límite de este cálculo cuado la ase de dichos rectágulos tiede a es igual a la itegral idefiida de esta fució e ese itervalo, es decir, el área que se estaa uscado. E ocasioes es ecesario calcular el área limitada por ua fució y el eje X, tal como se muestra e esta image:

9 a Si esta fució es f(), el área que ecierra la gráfica etre los putos a y se puede aproimar por el área de estos rectágulos: f( ) a 4 5 Es decir, podemos aproimar el área de la fució etre a y dividiedo el itervalo e varios putos, a =,,,, 4, 5 y = 6, y calculado el área de los rectágulos de la ilustració aterior; por ejemplo, el área del rectágulo de ase etre y, y de altura f( ), dee ser igual a f( ) ( ). E geeral, pues, el área de la fució se puede aproimar de la siguiete maera: 5 A f( i ) ( i + i ) i= dode el símolo 5, el símolo de sumatorio, idica que se dee sumar desde que i= i =, hasta que i = 5, la epresió que viee a cotiuació (que correspode co el área de uo de los pequeños rectágulos de la ilustració). Evidetemete, cuatos más rectágulos se costruya, el resultado será más próimo al valor del área de la fució e el itervalo (a,). Pues ie, el área de la fució f() e u itervalo (a, ) es eactamete igual a este límite A = lim f( i) ( i+ i) i+ i i = es decir, el límite cuado la diferecia etre ua y la siguiete tiede a es, como ya se haía adelatado, el área de la fució. Este límite, ormalmete, se escrie e forma de itegral, cuado la fució f es positiva: a i+ i i = f d = lim f( ) i i+ i dode a y se deomia límites de itegració. A esta epresió se le deomia itegral defiida de etremos a y.

10 Cómo se calcula la itegral defiida a partir de ua primitiva de la fució? La itegral idefiida y la itegral defiida utiliza los mismos símolos, ecepto los límites de itegració. Este hecho revela la ítima relació de amos coceptos, que se plasma e el cálculo de la itegral defiida de ua fució: la itegral defiida de ua fució es igual a la diferecia de cualquier fució primitiva e los límites de itegració: f () d = F () F () a a Puede comproarse cómo, tato la itegral defiida como la idefiida, utiliza prácticamete los mismos símolos, co la diferecia de los límites de itegració que utiliza la itegral defiida. Esto o es casual porque la itegral idefiida se suele calcular a partir de ua primitiva de la fució de la siguiete maera: si F() es ua primitiva de f(), etoces, f ( ) d = F ( ) F ( a ) a y, a esta epresió, se le deomia itegral defiida. La demostració de este hecho o es secilla. E todo caso el orige del símolo itegral es ua S alargada, idicado que se trata de u sumatorio, mietras que el orige del símolo diferecial, d, proviee del hecho que se trata de diferecias de (tomado la iicial de "diferecia" juto co la, resulta precisamete d). Por ejemplo, si f() =, para calcular el área que forma esta fució positiva e el itervalo (,), es decir, se dee calcular la siguiete itegral defiida: d e primer lugar, pues, se itegra d = por lo tato, si se elige la primitiva más secilla, es decir, /: d = = = El resultado se da e las uidades propias del sistema de coordeadas (si el sistema de coordeadas es e cm, el resultado se da e cm, por ejemplo). Así pues, puede asegurarse que el área etre el eje X y la fució e el itervalo [,], es igual a /. Veamos que, e este caso, la itegral defiida coicide co la diferecia de la primitiva e los límites de itegració. Apliquemos, e primer lugar, la defiició de itegral defiida, e el caso que os ocupa: f d = d = lim i i+ i i+ i i = podemos tomar itervalos iguales de achura /, por lo tato, los valores de la fució será de la forma i/, así pues: i d = lim lim lim = i = i + i + i + = = i=

11 Teiedo e cueta que oteemos d i= i ( + )(+ ) =, algo que comproaremos e el siguiete apartado, 6 ( + )(+ ) + + = lim = lim = Tal como se haía oteido co el cálculo de la diferecia de ua primitiva e los límites de itegració. Otro ejemplo: si queremos calcular el área de la fució se etre los valores [,], es decir, se d esto es, se dee calcular e primer lugar, la itegral del se se d = cos La primitiva más secilla es cos, por lo tato, se d = cos = cos os (, 465)+=,465 Cuál es el valor de esta suma i? i= Para realizar la suma de varios térmios de ua sucesió eiste métodos y fórmulas ( + ) parciales que ayuda e su usca. Para hallar i es ecesario saer que i =. Co i= i= esta suma, y realizado la resta de varios pares de cuos cosecutivos, se llega a la fórmula deseada. Se trata de oteer el resultado de la suma primero deemos oservar que ( + ) = i = i = esto es así porque si sumamos, alterativamete, el primer y el último elemeto de la sucesió el resultado es siempre : + = + ( ) = ( ) + ( ) + ( ) + + ( ) = + ( ) = y esto se repite (+)/ veces, por lo tato, el resultado es el avazado ateriormete. Además, veamos que siempre se cumple que, sea cual sea s: (s + ) s = s + s + Ta sólo es ecesario desarrollar el primer térmio para comproarlo.

12 (s + ) s = s + s + s + s = s + s + ( + )(+ ) Podemos demostrar ahora que i =. Utilicemos la fórmula aterior para s =,,, i= 6, = + + = + + ( ) = ( ) + ( ) + + ( + ) = + + ( + ) = ( ) + ( ) + + Por lo tato, ( + ) = ( ) + ( ) + + o sea, ( + ) = ( ) + ( + )/ + + es decir, ( ) = ( + ) ( +)/ Operado se otiee que: ( + )(+ ) i = i= 6 tal como ya se haía avazado.

13 Ejercicios. Calcula las siguietes itegrales prácticamete imediatas: a) ( + 4 4) d ) ( + ) d c) d + d) 6d e) + e d f) l d g) si cos d. Utiliza el método de itegració por partes para itegrar estas fucioes: a) e d ) ( + ) cos d c) l d. Resuelve esta itegral por partes: e d

14 Solucioes. a. 4 ( + 4 4) d = ( + ) d = 4 ( + ) ( + ) d = + C 8 c. d = + d = ½ l ( + ) + C + / ( 6) ( 6) + C + C d. 6d = / = + e. e d = -/ e -+ + C f. l d = (l ) / + C g. si cos d = (si ) / + C. a. e d = - (-e - ) - e d = e e + C u = v =e - u = v = -e -. cos() si ( + )si () + + C ( + ) cos d = ( + )si d = 4 u = ( + ) v = cos () u = v = si ()/ c. l d = l - d = l - d = l - + C u = l v = u =/ v = /. e d itegramos por partes:

15 u = dv = e d du = d v = e e d = e e d volvemos a itegrar por partes: e d = e e d = e e u = dv = e d du = d v = e por lo tato, = = + = ed e ed e e e c = + + = + + e e e c e c