Denición 1. R es un restángulo en R n si es un conjunto de la forma

Transcripción

1 Uidad Itegrales Múltiples. Itegral de ua fució de dos variables como volume Deició. es u restágulo e si es u cojuto de la forma [a, b ]... [a, b ] dode cada [a i, b i ] es u itervalo cerrado de úmeros reales. Al úmero d( (b a (b a lo llamaremos la diagoal de. Al úmero m( (b a... (b a se le llamará medida de. Se tiee que m( 0 y e el caso de esta medida es el área de, mietras que e 3 esta medida es el volume de. Dado u rectágulo ó 3 existe muchas formas de subdividirlo, trabajaremos co aquellas particioes que se obtiee de hacer subdivisioes e cada uo de los itervalos [a i, b i ] Deició. Sea [a, b ] [a, b ]. Si P i es ua partició del itervalo [a i, b i ] para cada i,..., decimos que P P P es ua partició de Deició 3. Sea P y Q dos particioes de, co P P P y Q Q Q. Decimos que Q rea a P si P i Q i para cada i,..., Facultad de Ciecias UNAM Cálculo Diferecial e Itegral IV Prof. Esteba ubé Hurtado Cruz

2 Uidad Itegrales Múltiples. Itegral de ua fució de dos variables como volume Dada ua fució de dos variables que está deida sobre el rectágulo cerrado [a, b] [c, d] {(x, y a x b, c y d} supoiedo que f(x, y 0. La gráca de f es ua superfície co ecuació z f(x, y. Sea S el sólido que esta ecima de y debajo de la gráca de f, es decir S {(x, y, z 3 0 z f(x, y, (x, y } El volume e este caso de S es ua aproximació al volume por debajo de la supercie -Ahora bie si dividimos el rectágulo e subrectágulos Para el itervalo [a,b] teemos m subitervalos [x i, x i ] co ua logitud de x b a m Para el itervalo [c,d] teemos subitervalos [y j, y j ] co ua logitud de y d c Al trazar rectas paralelas a los ejes coordeados a través de los putos extremos de las particioes formamos los subrectágulos ij [x i, x i ] [y j, y j ] {(x, y x i x x i, y j y y j } cada uo co u área igual a A x y. Si elegimos u puto muestra (x i, y j e cada ij, etoces podemos aproximar la parte de S que esta ecima de cada ij mediate ua caja rectágular delgada co base ij y altura f(x i, y j El volúme de la caja es el producto del área de su base por su altura, por lo tato ua aproximació al volúme de S es: m V f(x i, yj A Facultad de Ciecias UNAM Cálculo Diferecial e Itegral IV Prof. Esteba ubé Hurtado Cruz

3 Uidad Itegrales Múltiples. Itegral de ua fució de dos variables como volume Co u desarrollo aalogo para u cojuto S el sólido que esta ecima de y ecima de la gráca de f, es decir S {(x, y, z 3 0 f(x, y z (x, y } Obteemos tambié ua aproximació al volume que se ecuetra por debajo de la supercie Si cosideramos ahora M ij sup{f(x i, y j } y m ij íf{f(x i, y j } co (x i, y j ij podemos deducir que m m m ij ij V (S M ij ij Deició 4. Sea f ua fució (de valores reales deida y acotada sobre u rectágulo coteido e y P ua partició de. Si ij, i,.., m, j,..., so los subrectágulos de iducidos por la partició P, deimos la suma iferior de f correspodiete a la partició P deotada por S(f, p como S(f, p m m ij ij Aalogamete deimos la suma superior de f correspodiete a la partició P deotada por S(f, p como S(f, p Estas sumas tiee ua serie de propiedades m M ij ij Proposició. Si P es cualquier partició de, etoces Demostració. Ejercicio de la tarea S(f, P S(f, P Proposició. Si P, Q P (Particioes del rectágulo. Si Q rea a P etoces Demostració. Ejercicio de la tarea S(f, P S(f, Q y S(f, Q S(f, P Facultad de Ciecias UNAM Cálculo Diferecial e Itegral IV Prof. Esteba ubé Hurtado Cruz 3

4 Uidad Itegrales Múltiples. Itegral de ua fució de dos variables como volume Proposició 3. Si P y Q so cualesquiera dos particioes del rectágulo etoces se cumple Demostració. Ejercicio de la tarea S(f, P S(f, Q Deotaremos por S(f al cojuto de todas las sumas iferiores de ua fució f (Deida sobre el rectágulo y como S(f al cojuto de todas las sumas superiores es decir S(f {S(f, P P P } S(f {S(f, P P P } Deició 5. Al supremo del cojuto S(f lo llamamos itegral iferior de f sobre y se puede deotar f. Y al ímo del cojuto S(f lo llamamos itegral superior de f sobre y podemos deotar f Deició 6. Sea f : acotada sobre el rectágulo. Decimos que f es itegrable segú iema sobre si se tiee que la itegral iferior y la itegral superior de f sobre so iguales. Es decir f E este caso, a este úmero lo llamaremos la itegral de f y lo deotarremos por f Ejemplo Calcular f y f para f(x, y x + 4y y [0, ] [0, ] Solució Teemos que para [0, ] cosideramos ua partició P {x 0, x,..., x } co logitud 0 f de esta maera se tiee que x i i y x i i. Mietras que para [0, ] cosideramos ua partició P {y 0, y,..., y } co logitud 0 esta maera se tiee que y j j y y j j. de Facultad de Ciecias UNAM Cálculo Diferecial e Itegral IV Prof. Esteba ubé Hurtado Cruz 4

5 Uidad Itegrales Múltiples. Itegral de ua fució de dos variables como volume Para todo rectágulo ij, M ij sup{f(x i,j x ij [x i, x i ] [y j, y j ]} x i + 4y j y m ij sup{f(x i,j x ij [x i, x : i] [y j, y j ]} x i + 4y j S(f, P ( (x i + 4y j ( ( i + 4j ( 3 ( (i 5 + ( + i ( (( Ahora bie para se tiee que: ( 3 S(f, P ( ( i ( i+4j 5 i + 3 ( ( i + 4j ( ( ( ( 3 (i 5+4 i ( ( ( 3 + ( ( f sup{s(f, P } lím S(f, P lím (i + 4j ( 3 (x i + 4y j ( 3 i+4 i ( ( ( ( + ( i + 4 j ( ( 3 ( ( f if{s(f, P } lím S(f, P lím ( + ( + ( ( ( ( + 4( + + Facultad de Ciecias UNAM Cálculo Diferecial e Itegral IV Prof. Esteba ubé Hurtado Cruz 5