PRÁCTICA INTEGRACIÓN MÚLTIPLE. SUMAS DE RIEMANN CURSO CÁLCULO II. Práctica 1 (7/02/2017)

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1 PÁCTICA INTEGACIÓN MÚLTIPLE. SUMAS DE IEMANN CUSO CÁLCULO II Prácticas Matlab Práctica (7/02/207) Objetivos o o o Calcular itegrales dobles sobre rectágulos mediate sumas de iema. epresetar superficies como ayuda para calcular itegrales dobles. Calcular itegrales dobles de forma simbólica. Defiicioes Defiició (Suma de iema).- Llamaremos suma de iema de la fució f ( xy ) defiida e el rectágulo para la partició k k a la suma k f ( x y ) A k k k dode ( xk y k) es u puto cualquiera tomado e el subrectágulo k y área de. k Ak es el Figura. epresetació de la suma de iema

2 PÁGINA 2 MATLAB: SUMAS DE IEMANN Defiició (Itegral doble).- Sea f ua fució de dos variables defiida sobre u rectágulo cerrado. Si para toda partició de tal que la orma de la partició tiede a cero existe el límite lim ( ) 0 k ( ) f x y A k k k se dice que f es itegrable e. Además el valor de éste límite es la itegral doble de f sobre y se deota por f ( x y) dxdy lim f ( x y ) A 0 k ( ) k k k Comados de Matlab. Para sumar los elemetos de ua matriz o de u vector sum(a) Si A es u vector suma sus compoetes. Si A es ua matriz devuelve u vector fila co la suma de las filas o columas de A especificadas. Ejemplo: >> A=oes(33) >> sum(a(:2:) 2. Para represetar superficies juto co plaos verticales e su perímetro meshz(xyz) epreseta la superficie defiida por las teras de putos (XYZ). Ejemplo: >> [XY] = meshgrid(-3:.:3); >> Z=si(X.*Y) >> meshz(xyz) 2. Para calcular el valor de ua itegral doble e u rectágulo it(it(fycd)xab) Este commado calcula la itegral de la fució f sobre el rectágulo ab cd Ejemplo: >> syms x y >> I=it(it(x*yy2)x0) >> double(i)

3 MATLAB: PÁCTICA PÁGINA 3 3. Para crear ua fució de usuario fuctio [out out2...] = fuame(i i2...) Crea ua fució de ombre fuame co uos parámetros de etrada (ii2 ) y uas variables de salida (out out2 ). Se debe guardar la fució e u fichero llamado fuame.m. Ejemplo: fuctio [mediadesviacio] = estadistica(x) = legth(x); media = sum(x)/; desviacio = sqrt(sum((x-media).^2/)); ed para ejecutar esta fució para u cierto vector x se debe escribir e la vetaa de comados lo siguiete: >> x=[2345]; >> [mediadesviacio] = estadistica(x) Ejercicios Sumas dobles de iema. Se cosidera la fució [0] [0]. 2 2 ( x y ) z e defiida e el rectágulo a) epreseta la superficie co Matlab usado el comado meshz. b) Platea a mao y calcula co Matlab las sumas de iema para particioes de y de 20 itervalos e cada eje tomado el valor de la fució e los siguietes putos de cada celda : e el puto más alejado del orige e el puto más próximo al orige e el puto medio. c) Escribe ua fució extera para calcular las sumas de iema de puto medio e fució del úmero de celdas de la partició (). d) Calcula co Matlab el valor exacto de la itegral. esolució a) El código para represetar la superficie co Matlab utilizado el comado meshzes.

4 PÁGINA 4 MATLAB: SUMAS DE IEMANN [XY]=meshgrid(0:0.05:); meshz(xyz) b) La suma de iema que aproxima la itegral tomado ua partició e celdas es: S z( x y ) xy e i j 2 i= j= x y i= j= 2 2 ( xi y j) Platearemos a modo de ejemplo la suma de iema tomado el valor de la fució e el puto más alejado del orige de cada celda. E la figura y la tabla siguietes se describe esta situació: y / 9/ 8/ 7/ 6/ 5/ 4/ 3/ 2/ / x Y / 2/ 3/ 4/ 5/ 6/ 7/ 8/ 9/ X / 2/ 3/ 4/ 5/ 6/ 7/ 8/ 9//

5 MATLAB: PÁCTICA PÁGINA 5 Las coordeadas de la tabla para la celda que ocupa la i ésima columa y la j ésima fila so: i xi i x i2 j yj jy j 2 Co estos valores la suma de iema es: S 0 i= j= e 2 2 i j Nótese que se trata de la suma iferior de iema ya que e este caso la fució toma su valor míimo e este puto. Desarrollamos los sumatorios utilizado la otació zx ( y ) por comodidad. i j 2 3 i j i i i i i= j= i= S zx ( y) zx ( ) zx ( ) zx ( ) zx ( ) z( ) z( ) z( ) z( ) z( ) z( ) z( ) z( ) z( ) z( ) z( ) z( ) z( ) z( ) z( ) z() Para obteer este resultado se puede recurrir al siguiete código de Matlab: Suma iferior de iema x ic=/ x=ic:ic:; y=x; [XY]=meshgrid(xy); vol_aprox=sum(z(:))*ic*ic Apoyádote e este código escribe otro equivalete para calcular las sumas de iema de puto medio y de puto más próximo al orige para ua partició de x celdas y de 20x20. Co los resultados obteidos completa la tabla que figura al fial del apartado.

6 PÁGINA 6 MATLAB: SUMAS DE IEMANN Suma de iema co puto medio x: ic=/; x=ic/2:ic:-ic/2; y=x; [XY]=meshgrid(xy); volaprox=sum(z(:))*ic*ic Suma superior de iema x: ic=/; x=0:ic:-ic; y=x; [XY]=meshgrid(xy); volaprox=sum(z(:))*ic*ic P Ssuperior Siferior Spmedio P P c) E este apartado escribimos ua fució para calcular las sumas de iema de puto medio e fució del úmero de itervalos que se tome sobre el segmeto 0. fuctio sumariema2() ic=/; x=ic/2:ic:-ic/2; y=x; [XY]=meshgrid(xy); volume_aproximado=sum(z(:))*ic*ic ed d) El valor que se obtiee co Matlab redodeado a cuatro cifras decimales es: Código Matlab: 2 2 ( x y ) e dxdy syms x y I=double(it(it(exp(-x^2-y^2)y0)x0)) Sumas dobles de iema. 2 Se cosidera el sólido limitado superiormete por la superficie z 2 cos ( xy) situada sobre el rectágulo [3] [2]. a) epreseta la superficie co Matlab utilizado el comado meshz. b) Aproxima el volume del sólido plateado a mao y calculado co

7 MATLAB: PÁCTICA PÁGINA 7 Matlab la suma de iema para ua partició regular de 8 celdas tomado el valor de la fució e el puto medio de cada celda. c) Comprueba la calidad de la aproximació calculado el valor exacto de la itegral. esolució a) Código para represetar la superficie: x=lispace(330); y=lispace(220); [XY]=meshgrid(xy); Z=sqrt(+cos(X.*Y).^2); meshz(xyz) b) Icremetos: x y Putos medios: i i i j x x y j j y i2j Suma de iema: S cos i j Para calcular esta suma de iema crearemos ua fució de usuario co el siguiete código: fuctio suma2(abcdm) %ectágulo de lados [ab]x[cd] %xm es el úmero de celdas de la partició icx=(b-a)/; icy=(d-c)/m; x=a+icx/2:icx:b-icx/2; y=c+icy/2:icy:d-icy/2; [XY]=meshgrid(xy); Z=sqrt(+cos(X.*Y).^2); S=sum(Z(:))*icx*icy ed Para escribir la fució usaremos el editor y guardaremos el fichero co el ombre de la fució e este caso el ombre del fichero debe de ser ecesariamete suma2. Estos ficheros NO se puede ejecutar desde el editor pulsado el símbolo sio que debe ejecutarse escribiedo e la vetaa de comados el siguiete comado: >> suma(328) El resultado obteido es: S Si es ecesario corregir u error e el fichero se debe guardar la correcció ates de volver a ejecutar la fució.

8 PÁGINA 8 MATLAB: SUMAS DE IEMANN c) El valor exacto de la itegral es: I Este resultado se ha obteido co el siguiete código: syms x y I=double(it(it(sqrt(+cos(x*y)^2)y2)x3)) Se puede crear ua fució más geeral co Matlab icluyedo tambié como parámetro de etrada la fució que se itegra. fuctio suma=sumadoble(abcdmf) %ectágulo de lados [ab]x[cd] %xm es el úmero de celdas de la partició %f debe itroducirse etre comilla icx=(b-a)/; icy=(d-c)/m; x=a+icx/2:icx:b-icx/2; y=c+icy/2:icy:d-icy/2; [XY]=meshgrid(xy); F=vectorize(ilie(f)); %F=@(xy) eval(vectorize(f)); sz=f(xy); suma=sum(sz(:))*icx*icy; ed Para ejecutar este fichero co los mismos valores ateriores escribiremos e la vetaa de comados lo siguiete: suma=sumadoble(328'sqrt(+cos(x*y)^2)') esume de comados Se recoge aquí los comados utilizados e esta práctica que se dará por coocidos e las prácticas siguietes y que coviee reteer porque se podrá pregutar e las distitas pruebas de evaluació. Tambié se supodrá coocidos los comados que fuero utilizados e las prácticas de Cálculo I. Para sumar elemetos de u vector o ua matriz: sum Para dibujar superficies co plaos laterales: meshz Para crear fucioes: fuctio Para calcular itegrales dobles: it