Práctica 3: Convolución

Transcripción

1 Práctica 3: Covolució Apellidos, ombre Apellidos, ombre Grupo Puesto Fecha El objetivo de esta práctica es familiarizar al alumo co la suma de covolució, fudametal e el estudio de los sistemas lieales, mediate la realizació de ejercicios que ilustre las propiedades de dicha operació. Para llevar a cabo la práctica, desarrolle cada ejercicio e u fichero de comados ejercicio_x.m separado (salvo cuado se le solicite desarrollar ua fució, e cuyo caso el fichero llevará el ombre de la fució). Justo ates de fializar la práctica, comprima los ficheros.m geerados e u úico fichero practica_3_puesto_xx. zip, coéctese al sistema de etrega de prácticas de la Itraet y etréguelo e el grupo que correspoda. Salvo que se le idique lo cotrario e algú apartado cocreto, o está permitido utilizar e los scripts las fucioes de cotrol de flujo del programa de MATLAB (for, if-else, etc.). 3.1 Covolució de señales discretas Ejercicio 1: covolució maual de señales causales fiitas El objetivo de este ejercicio es llevar a cabo la covolució de dos señales desarrollado directamete el sigificado de la operació. Sea las señales: x [] h [] El objetivo es calcular y[] = x[] h[ ]. Para ello, geere las señales x [ ] y h [] e el itervalo [ 0,20]. Teiedo e cueta que la señal x [ ] sólo toma valor e u úmero fiito de putos, y [ ] puede escribirse: y [ ] x[ k] h[ - k] = x[ 0] h[ ] + x[ 1] h[ -1] x[ 9] h[ - 9] + x[ 10] h[ -10] = k= Para obteer y [], geere, si utilizar bucles, cada ua de las oce fucioes (es decir, sumados) que idica la expresió aterior y a cotiuació súmelas. Para poder sumarlas, todas ellas ha de estar defiidas e el mismo itervalo de, e decir, [ 0,20]. Como guía para llevar a cabo esta operació, observe que para geerar u vector co la señal y [ ] = x[ 5] h[ 5] e el mismo itervalo que esté 5 defiida h [] y teiedo e cueta que los ídices e Matlab comieza e 1, se puede escribir: >> y5=x(5+1).*[zeros(1,5) h(1:ed-5)];

2 Tega e cueta que esta operació de desplazamieto e la señal h [ ] es válida porque h [] se defiió e u itervalo mucho mayor que el que ocupa sus valores o ulos. Represete e ua figura co 12 gráficas (12 filas) las 11 señales desplazadas y k [] y la suma y[]. Como resultado de la suma de las oce subseñales habrá obteido y [ ] e el mismo itervalo [ 0,20]. Represete e otra figura, e u mismo gráfico de tres filas o subgráficos (utilice subplot), las señales x [], h [] e y [], y dibuje esta última e la gráfica adjuta: y[] Idique cuál es la duració de la señal y [ ] y e qué ídice comieza. A la vista de la expresió aalítica de y [], idique tambié qué relació tiee su duració e ídice de comiezo co las respectivas duracioes e ídices de comiezo de las señales [ ] x y [ ] h : Ejercicio 2: covolució maual de señales o causales fiitas Repita el ejercicio aterior, pero utilizado esta vez ua respuesta al impulso uidad defiida por: h [] + 2, 0, 2 3 Defia ahora las señales ivolucradas e el itervalo o vector de ídices [ 5,20], y desarrolle la covolució siguiedo el mismo procedimieto. Tega e cueta que e este caso el valor x [ k] correspode e MATLAB co el ídice x(k-(-5)+1) del vector x. Represete e u mismo gráfico de tres filas o subgráficos (utilice subplot), la señal x [] y las uevas señales [] h e y [], y dibuje esta última e la gráfica adjuta, idicado claramete qué ídices

3 abarca los valores o ulos de y [] : y[] Observe que las tres señales comparte u mismo vector de ídices, que es suficietemete amplio como para coteer los valores o ulos de todas ellas. Idique de uevo qué relació tiee la duració e ídice de comiezo de y[] co las respectivas duracioes e ídices de comiezo de las señales x [] y h [] : Ejercicio 3: la fució cov de MATLAB La ivocació de esta fució de MATLAB se realiza del siguiete modo: x=... x=... h=... h=... y=cov(x,h); y=... % Itervalo x de valores o ulos de la señal x % Defiició del vector x e el itervalo x % Itervalo h de valores o ulos de la respuesta al impulso h % Defiició del vector h e el itervalo h % Devuelve u vector y de logitud x+h-1 % Itervalo y de valores o ulos de la salida y Observe que la fució cov toma como parámetros las señales x y h pero o sus vectores de ídices. Por lo tato, la fució o puede obteer i devolver el vector de ídices correcto para la señal y; es resposabilidad del que llama a la fució el defiir de qué ídice a qué ídice va el vector de ídices de la señal y para poder represetarlo adecuadamete. E coclusió, y lo ha de defiir usted. Repita los ejercicios 1 y 2 e dos scripts, ejercicio_3a.m y ejercicio_3b.m, utilizado la fució cov. Para ello defia los vectores x y h segú se ha idicado más arriba, realice la covolució, y defia el vector de ídices que correspode a la señal y (teiedo e cueta e qué ídice debe comezar y qué logitud ha de teer). Represete al fial de cada script las tres señales ivolucradas (como e los ejercicios ateriores), pero todas ellas sobre el vector de ídices mayor, o sea, sobre y (para ello, añada ceros ates y/o después de x y h, segú covega). Compruebe que las señales obteidas so iguales a las de los ejercicios ateriores.

4 3.1.4 Ejercicio 4: covolució de señales de duració ifiita Sea las señales de duració ifiita: N k = 0 x h [] = u[ 2] [] = u[ + 2] Calcule y[] x[] h[] a k 1 a = 1 a + 1 = de forma aalítica e idíquela a cotiuació (recuerde que ) Expresió aalítica El objetivo es calcular y[] x[] h[ ] cuado x [] y [] se truca a itervalos fiitos. Para ello, geere la señal x [ ] e el itervalo [ 0,24] el itervalo [ 2,14] Obtega a cotiuació su covolució y [ ] x [ ] h [ ] = utilizado la fució cov y evaluar la validez del resultado h o se geera e itervalos ifiitos (algo que o es posible e la práctica) sio que y la señal h [] e, es decir, geere versioes trucadas de estas dos señales: x T [] y h T [ ]. T =, defia su vector de ídices, y represete T las tres señales ivolucradas (x T [], h T [], y T []) e y[] sobre u vector de ídices que permita represetar las cuatro señales. Si x [] y h [] tiee logitud ifiita, y[ ] x[ ] h[ ] = tambié ha de teerla. Al trucar las señales ivolucradas, el resultado tambié habrá quedado trucado. Deduzca e qué itervalo de valores de se y = y, y compruebe que sus deduccioes se correspode co lo observado. verifica que [] T [] Modifique los itervalos a que se ha trucado las señales [ ] coclusioes so correctas. Explique el resultado obteido: T x y [ ] h para comprobar que sus

5 3.2 Operacioes sobre sistemas LTI discretos Sea las señales: x [] 1, 0, 0 4, h [] 1 1, 1, 3, 1, 0, = 0 = 1 = 2 = 4, h [] 2 2, 5, 4, 1, 0, Geere x [] e el itervalo [ 0,9] y las otras dos e el itervalo [ 0,20] utilice siempre la fució cov para efectuar covolucioes Ejercicio 5: comutatividad Obtega la señal y1[ ] x[ ] h1 [ ] [] h [] x[] = 1 = 2 = 3 = 4. A partir de ahora, = y defia su vector de ídices. Obtega a cotiuació la señal y 2 = 1 y defia su vector de ídices. Represete las cuatro señales ivolucradas sobre el vector de ídices de mayor logitud (e u mismo gráfico, como e los ejercicios ateriores), y verifique que y1 [] = y2 []. Si o se verificara, explique el motivo Ejercicio 6: distribució respecto de la suma Compruebe que la covolució de la señal x [ ] co u sistema cuya respuesta al impulso uidad sea [] = h [] h [], es la misma que la suma de las señales resultates [ ] h [ ] y [] h []. Para h x 1 x 2 ello, represete e cada caso, e dos gráficos idepedietes, las señales ivolucradas (cico e el primer caso y seis e el segudo), todas ellas sobre el vector de ídices de mayor logitud Ejercicio 7: asociatividad Sea u sistema S1 cuya relació etrada salida está defiida por y[ ] = + 1) x[ ] (, y otro sistema S2 totalmete caracterizado por h S 2 = h 1 []. El objetivo es ver si la propiedad asociativa de la covolució se verifica para estos dos sistemas, es decir, si: ( x[] h [] ) h [ ] = x[ ] ( h [ ] h [ ] ) S1 S 2 S1 S 2 Para obteer la señal resultate de las operacioes a la izquierda de la igualdad, proceda del siguiete modo: Obtega la señal y [ ] aplicado directamete su expresió e fució de la etrada, es decir y [] = + 1) x[] (, e vez de aplicado la covolució. Obtega la señal resultate w [] = y[ ] h [ ] A S 2 Para obteer la señal resultate de las operacioes a la derecha de la igualdad, proceda del siguiete modo: Obtega la respuesta al impulso uidad del sistema S1, es decir, obtega la respuesta de este sistema al = ( + 1) δ x. impulso uidad: 1 [ ] [ ]. Para ello defia δ [ ] e el mismo itervalo que lo estaba [ ] h S Obtega la respuesta al impulso del sistema S1 e serie co S2, es decir h[ ] h [ ] h [ ] =. Observe S1 S 2

6 que para ello tedrá que ampliar el rago de defiició de h S1 [ ]. Obtega la respuesta de este uevo sistema a la señal de etrada: [ ] x[ ] h[ ] w B =. Represete e cada caso, e dos gráficos idepedietes, las señales ivolucradas (cuatro e ambos casos), todas ellas sobre el vector de ídices de mayor logitud. Compruebe que las señales w A [] y w B [] so idéticas. Si o lo fuera, explique el motivo.