Prácticas Matlab ( 1) Práctica 7. Objetivos

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1 PRÁCTICA SERIES DE POTENCIAS Prácticas Matlab Práctica 7 Objetivos Estudiar la covergecia putual de ua serie de potecias. Estimar gráficamete el itervalo de covergecia de ua serie de potecias. Aproimar el valor de ua fució mediate series de potecias. Comados de Matlab Se utilizará comados de Matlab descritos e las prácticas ateriores. Ejercicios resueltos a) Dada la serie de potecias ( ) Calcula el itervalo de covergecia y estudia la covergecia putual e los etremos del itervalo. b) Derivado térmio a térmio la serie aterior se obtiee ua serie de potecias geométrica. Calcular la razó r, el primer térmio, el itervalo de covergecia RR, y el valor eacto de la suma. c) Represetar e RR,, la fució suma obteida e el apartado b) y la aproimació obteida cosiderado los 5 primeros térmios de su serie de potecias. d) Acotar el error obteido e los putos 0.5 y 0.75, al aproimar co el poliomio del apartado aterior. e) Itegrar la fució suma del apartado b) para obteer la fució suma de la serie iicial. f) Represetar e RR,, la fució obteida e el apartado e) y la aproimació obteida cosiderado los 5 primeros térmios de su serie de potecias (serie iicial).

2 PÁGINA MATLAB: SERIES DE POTENCIAS g) Acotar el error obteido e los putos 0.5 y 0.75, al aproimar la fució del apartado e) co el poliomio del apartado aterior. Solució: (a) Puedes utilizar el siguiete código para aplicar el criterio del cociete: syms alfa=^(*+)/(*+); alfa=^(*-)/(*-); L=limit(alfa/alfa,,if); %Se aplica la codició de covergecia resultado,, el radio de covergecia es R. %Comprobamos la covergecia putual e y. suc=subs(((-)^(-))*alfa,,-); suc=subs(((-)^(-))*alfa,,); suma= symsum(suc,,if) suma=symsum(suc,,if) (b) Derivamos la serie aterior y comprobamos que es geométrica: sucder=diff(((-)^(-))*alfa,,); razo=simplify(sucder/subs(sucder,,-)); ter=subs(sucder,,); %la razó es y el primer térmio. El itervalo de %covergecia, y la suma eacta f( ). (c) Represetació gráfica de f( ) y de los cico primeros térmios de su serie de potecias. p5=symsum(sucder,,,5); val=-:.0:; p5um=subs(p5,,val); f=./(+val.^); plot(val,f,val,p5um) leged('fució','aproimació') (d) Aproimació e 0.5 y 0.75

3 MATLAB: PRÁCTICA 6 PÁGINA 3 %acotació del error, por el primer térmio despreciado au=subs(sucder,,6); termio=subs(au,,0.5); termio=subs(au,,0.75); %e cada caso el valor absoluto del error es meor que el calculado, error y error. error=double(abs(termio)) error=double(abs(termio)) % error eacto f=/(+0.5^); f=/(+0.75^); fapro=double(subs(p5,,0.5)); fapro= double(subs(p5,,0.75)); erroreacto=f-fapro erroreacto=f-fapro %e ambos casos el valor aproimado es por eceso ya que %el primer térmio despreciado es egativo. (Ver térmio %y termio) (e) Itegramos la fució suma aterior: %acotació del error, por el primer térmio despreciado syms ; f=/(+^); F=it(f,0,); (f) Represetació gráfica de F( ) arctg y de los cico primeros térmios de su serie de potecias. alfa=((-)^(-))*^(*-)/(*-); P5=symsum(alfa,,,5); P5um=subs(P5,,val); (g) Aproimació e 0.5 y Se deja que el alumo repita el apartado d) para este caso. La serie de potecias de la fució (a) e es 0! para todo real. Represetar gráficamete la fució epoecial y los poliomios k P ( ) para,, 3, 4. Cómo varía la calidad de la k0 k! aproimació de estos poliomios a la fució al aumetar?

4 PÁGINA 4 MATLAB: SERIES DE POTENCIAS (b) Calcular el radio de covergecia de la serie de potecias y comprobar que es ifiito. Nótese que los poliomios del apartado (a) so las primeras sumas parciales de la serie de potecias de de la fució e. Solució: fuctio serep(a,b,f) % a y b etremos del itervalo % f valor fial para úmero de térmios =a:0.0:b; srf=; p=; for k=::f p=p*k; f=.^k/p; srf=srf+f; plot(,srf); pause() hold o ed y=ep(); plot(,y,'r') hold off 3 Dibujar las primeras aproimacioes (sumas parciales) de la fució f( ), tomado los primeros térmios de su serie de potecias de. Obteer previamete dicha serie de potecias, así como su radio de covergecia. Solució: fuctio sergeo(a,b,f) % a y b etremos del itervalo % f valor fial para úmero de térmios =a:0.0:b; srf=0; for k=0::f f=.^k; srf=srf+f; plot(,srf);

5 MATLAB: PRÁCTICA 6 PÁGINA 5 pause() hold o ed y=./(-); plot(,y,'r') hold off Ejercicios propuestos a) Dada la serie de potecias Calcula el itervalo de covergecia y estudia la covergecia putual e los etremos del itervalo. b) Derivado térmio a térmio la serie aterior se obtiee ua serie de potecias geométrica. Calcular la razó r, el primer térmio, el itervalo de covergecia RR, y el valor eacto de la suma. c) Represetar e RR,, la fució suma obteida e el apartado b) y la aproimació obteida cosiderado los 0 primeros térmios de su serie de potecias. d) Acotar el error obteido e los putos 0.5 y e) Itegrar la fució suma del apartado b) para obteer la fució suma de la serie iicial. f) Represetar e RR,, la fució obteida e el apartado e) y la aproimació obteida cosiderado los 0 primeros térmios de su serie de potecias (serie iicial). Dibujar las primeras aproimacioes (sumas parciales) de la fució 3 racioal f( ), tomado los primeros térmios de su serie de potecias de. Obteer previamete dicha serie de potecias, así como su radio de covergecia. Nota. Puedes utilizar la fució del ejercicio resuelto 3 y hacer sobre ella las modificacioes ecesarias.

6 PÁGINA 6 MATLAB: SERIES DE POTENCIAS La serie de potecias de la fució se es real. ( ) para todo! 0 3 (a) (b) Represetar gráficamete la fució seo y los poliomios k k ( ) P ( ) para,, 3, 4. Cómo varía la calidad 0 k! de la aproimació de estos poliomios a la fució al aumetar? Calcular el radio de covergecia de la serie de potecias y comprobar que es ifiito. Nótese que los poliomios del apartado (a) so las primeras sumas parciales de la serie de potecias de de la fució se. Nota. Puedes utilizar la fució del ejercicio resuelto y hacer sobre ella las modificacioes ecesarias.