3 LÍMITE Ejercicios Resueltos

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1 LÍMITE Ejercicios Resueltos Límites Determiados a) c) π π se π b) ( ) cos cos e) 0 π + + d) 0 f) e g) 4 64 Idetermiació (0/0) Fucioes Racioales Factorear y Simplificar ( + ) + 6. a). ( ) ( 9).( + 9) 9 9 ( ) 8 b) c) Matemática - Cuarto Año -

2 Como uo auló el umerador y el deomiador de la fució racioal, uo es raíz del poliomio umerador y del poliomio deomiador, luego ambos poliomios so divisibles por el biomio (-). E geeral, por el biomio: ( raíz). Aplicado la regla de Ruffii y la factorizació : D() c(). d() (Dividedo cociete por divisor) resulta: ( ).( + ) Cálculo auiliar de la regla de Ruffii: d) π 4 4. se 4 0 se 0 Para resolver esta idetermiació es coveiete recurrir a u cambio de variable, por Z se y cuado π, Z. ejemplo, hacemos: 4 ( ) ( ) ( + ) 4 4.Z 4 4.Z 4.Z Z 4.Z Z Z Z Z Z Z Z e) 0 cos cos +.cos Recurrimos a u cambio de variable como e el ejercicio aterior y hacemos: Z cos etoces cuado 0, Z resulta : Matemática - Cuarto Año -

3 Z Z +.Z 4 Z El deomiador es ua diferecia de cuadrados y para el umerador podemos aplicar la regla de Ruffii o la fórmula resolvete de la ecuació cuadrática: Z ;.. ± 4 4 ± ± 5. resultado Z y Z 4 que usamos para la factorizació: a.z Z.Z Z.Z.Z+ 4 que reemplazado permite cocluir: Z.Z+ 4 Z Z.Z + Z+ Z Z f) Fucioes Irracioales Cuado sea ecesario multiplicar umerador y deomiador por el biomio coveiete para obteer ua diferecia de cuadrados, poder factorear y simplificar. a) ( ) Matemática - Cuarto Año -

4 b) 0 0 ( 7+ 7 ).( ) ( ) ( + 7) ( 7 ) ( ). ( ) ( ) 0 0 Fucioes Trigoométricas Cuado resulte ecesario utilizar los resultados demostrados: se ; ; tg ; se tg se k. se k. se k. a).k k. k. k k. k b) tg tg c).... se ( 6) se( 6) se( 6) 0 0 Matemática - Cuarto Año - 4

5 d) cos ec( ) se se( 9). cot g( 9) cos se( ) cos( 9) se ( 9) ( 9) ( 9). se.... se 9. cos 9 Idetermiació ( / ) Fucioes Racioales Dividir umerador y deomiador por la mayor potecia de la variable que perteezca a la fució a) E este ejemplo, el ifiito del umerador es de mayor orde que el ifiito del deomiador. Resultado: ifiito b) E este otro ejemplo, el ifiito del umerador es de meor orde que el ifiito del deomiador. Resultado: cero. Matemática - Cuarto Año - 5

6 c) Por último, e este ejemplo, los ifiitos umerador y deomiador so del mismo orde. Resultado: el cociete de los coeficietes pricipales del umerador y el deomiador. Fucioes Potecial-Epoecial Utilizar propiedades de ite y procedimieto aálogo al aterior a) 0 0 Ates de colocar el resultado, etre el segudo y el tercer paso, el alumo deberá resolver cada ite como e el puto aterior. (E la base dividir cada térmio por y e el epoete por.) b) ( ) Fucioes Irracioales Dividir por la mayor potecia de la variable teiedo e cueta que:. a) Matemática - Cuarto Año - 6

7 Para este ite la mayor potecia es , luego procedemos: y ahora correspode aalizar distiguiedo etre si: + ó si pues trabajamos co. Si y si Idetermiació ( - ) Resolver para covertir la idetermiació e (0/0) ó ( / ) segú correspoda y luego proceder como e los casos ateriores. a)... + b b b b b b. b b b. b b. b.b ( ) ( + ) ( ) ( + ) b b E este caso llevamos a (0/0), factoreamos y simplificamos. b) ( ).( ) ( ).( + ) ( + ).( ) Matemática - Cuarto Año - 7

8 E este caso llevamos a ( / ), luego dividimos umerador y deomiador por la mayor potecia de la variable c) Si fuera +, o habría idetermiació. Idetermiació (0. ) Matemática - Cuarto Año - 8

9 La idetermiació cero por ifiito se resuelve covirtiédola e ua idetermiació de la forma (0/0) ó ( / ) y aplicado a cotiuació los métodos para resolver estas idetermiacioes a) 0 + ( ) ( 4) ( + 4) 0 ( ) ( ) 0 + ( ) ( + ) ( + ) 4 0 ( + ) ( ) 0 ( + ) ( + ) ( ) b) ( + ) ( ) ( 7) Idetermiació ( ) Matemática - Cuarto Año - 9

10 Cuado resulte ecesario, utilizar los resultados demostrados: e y ( ) + e + 0. ( ) a) e b) e e + 4 maera: Para trasformar la base realizamos la divisió y luego recostruimos de la siguiete D r. 4 c + + d d Otro recurso para trasformar la base es: Matemática - Cuarto Año - 0

11 ( ) c) ( + ) e + + e Matemática - Cuarto Año -