3 + 7 son irracionales.

Transcripción

1 Cálculo I Grado e Igeiería Iformática) Problemas resueltos, 0-3, 03-4 y 04- primera parte) Preparado por los profesores de la asigatura: Pablo Ferádez, Draga Vukotić, Luis Guijarro coordiadores), Kazaros Kazaria y José Luis Torrea. Demuestra que los úmeros y so irracioales. Solució. E primer lugar, el úmero 7 es irracioal. La prueba es completamete aáloga a la vista e clase para ; de hecho, se prueba de la misma maera que p Q para cualquier úmero primo p. Si fuese = q Q, tedríamos tambié que 7 = q 3 Q ya que la diferecia de dos úmeros racioales tambié es racioal), lo cual es ua cotradicció. Por tato, Q. Para ver que es irracioal, supogamos otra vez lo cotrario: = r Q. Etoces = r Q, lo cual cotradice lo dicho ateriormete. Luego Q.. Hallar todos los valores del parámetro a para los que la ecuació cuadrática e x) tiee exactamete ua solució real. x + a + )x a + 3a = 0 Solució. Para que la ecuació dada tega solució real úica e x, es ecesario y suficiete que su discrimiate sea cero: = a + ) 4 a + 3a) = 8a 8a + = 0. Esta ueva ecuació cuadrática esta vez e a) tiee como solucioes los valores 8 ± 3 6 = 8 ± 6 6 = 8 ± 4 6 = ± 4. Por tato, existe exactamete dos valores del parámetro a que se mecioa e el euciado: + 4 y Halle razoadamete todas las solucioes de la ecuació x 4 7x + = 0. Solució. Se trata de ua ecuació bicuadrática ya que, después del cambio de variable x = t, ésta se covierte e la siguiete ecuació cuadrática: t 7t + = 0. Resolviedo, obteemos que las solucioes para t so t = 3 y t = 4. Fialmete, despejamos la x de x = t, obteiedo cuatro solucioes: x = ± 3 y x = ±. Las comprobacioes directas e la ecuació iicial muestra que los cuatro valores so e efecto solucioes de la ecuació.

2 4. Demuestra razoadamete que la desigualdad x + x + 8 > 0 se cumple para todo x real. Solució. Solució. Ua forma de hacerlo es completado el cuadrado, segú la fórmula estádar: Tomado y = /, observamos que x + x + 8 = x + x + ) x + y) = x + xy + y. ya que el cuadrado de cualquier úmero real es o egativo. ) + 8 = x + ) = x + ) > 0, Solució. Otra maera de hacerlo sería observado que la fució fx) = x + x + 8 es cotiua y o tiee ceros reales, luego o es siempre positiva o es siempre egativa segú el teorema de Bolzao); como f0) = 8, se sigue que es siempre positiva.. Ecuetra razoadamete todos los valores x R para los que se cumple la desigualdad x 3. Solució. I) Ua forma de resolver el ejercicio cosiste e ver que la fució fx) = x 3 es o decreciete: si x y etoces x 3 y 3. Luego, si x, se sigue que x 3 3 = ; si embargo, si x >, etoces x 3 > 3 =. Luego, x 3 es cierto sólo si y sólo si x. II) Otra solució cosiste e ver que x 3 es equivalete a x 3 0 y recordar la factorizació de la diferecia de dos cubos: x 3 = x 3 3 = x )x + x + ). El triomio cuadrático x + x + es siempre estrictamete positivo ya que tiee el coeficiete pricipal positivo y o tiee ceros, pues su discrimiate es = 4 = 3 < 0. Por tato, el producto de arriba es 0 si y sólo si el factor x 0, es decir, si y sólo si x. 6. Ecuetra razoadamete todos los valores x R para los que se satisface la siguiete desigualdad: x + x + 4. Solució. Solució. Observemos que la expresió detro del valor absoluto es u cuadrado. Y etoces x + x + 4 x + ) 4 x + ) 4 x +, coviee recordar que x + ) = x + ), que fialmete os dice que x +, es decir, que 3 x. Solució. Podemos escribir que x + x x + x + 4, y calcular los valores de x que verifica, simultáeamete, que x + x 3 0 y que x + x + 0. La seguda se cumple para todo x, mietras que la primera os da el rago x [ 3, ]. Solució 3. Tambié podemos decidir cuádo x + x + es positivo y egativo. Como es siempre positivo, x + x + 4 x + x + 4 x + x 0, que os vuelve a dar el rago x [ 3, ]. E realidad, las tres estrategias so casi) lo mismo.

3 7. ] Ecuetre razoadamete todos los valores x R para los que se cumple que x 4x + 4. Solució. El problema se puede hacer de varias maeras. Aquí idicaremos la más simple: x 4x + 4 es u cuadrado perfecto, lo que simplifica bastate los cálculos. De hecho, por lo que x 4x + 4 = x ) = x 4x + 4 = x ) = x, x 4x + 4 x x x 3 x 7. Alterativamete, podemos razoar que el cojuto dado por la desigualdad x es u itervalo cerrado por el ) de cetro y de radio ; por tato el cojuto pedido es el itervalo [, + ] = [ 3, 7]. 8. Demuestra por iducció que, para todo, se cumple la idetidad ) = + ). Solució. El caso = os dice que + 3 = + ), que es claramete cierto. Supogamos que, para u fijo, se cumple que ) = + ). Ahora cosideramos el caso siguiete, es decir, sumamos u impar más. Nos gustaría obteer, para este caso, que Veámoslo: ) + + 3) Segú el Pricipio de Iducció, se sigue que para todo atural ) + + 3) = + ). hip. iducció = + ) + + 3) = = + ) ) = + ) Observa que el euciado os proporcioa ua fórmula secilla y útil para sumar los primeros + úmeros impares.) 9. Demuéstrese por iducció que, para todo N, el úmero N) = 3 + es divisible por 6. 3

4 Solució. Obviamete, N) = 6 es divisible etre 6. Supogamos ahora que, para cierto N, el úmero N) es divisible por 6. Veamos que 6 tambié es u divisor del úmero N + ). Desarrollado el cubo y agrupado los térmios de forma coveiete, obteemos: N + ) = + ) ) = ) + + = 3 + ) ) + 6 = N) ) + 6. Obsérvese que y + so dos úmeros aturales cosecutivos y, por tato, uo de ellos es par, luego el úmero + ) es par y, por tato, 3 + ) es divisible por 3 = 6. Se sigue que uestro úmero N + ) es la suma de tres úmeros divisibles etre 6, a saber, N) por hipótesis iductiva), 3 + ) y 6, luego tambié es divisible por 6. Esto completa la prueba por iducció. 0. Demuestra por iducció que, para todo, se cumple la desigualdad > +. Solució. La desigualdad se cumple para = ya que = 3 > 6 = +. Supogamos que es cierta para u y veamos que tambié lo es para +. Por la hipótesis iductiva, obteemos que + = > + ). Si supiésemos que + ) + ) +, la prueba estaría termiada. Observemos que la útima desigualdad es equivalete a o, lo que es lo mismo,, lo cual es obviamete cierto ya que. Por tato, + > + ) +, que es lo que queríamos probar. )!. E combiatoria se defie el úmero := k k! k)!. Fijamos u 0 atural; usa iducció empezado e 0 para demostrar que para todo 0 se tiee que ) 0 + ). Solució. 0 La desigualdad es verdad para = 0, ya que 0 0 ) = 0 + ) 0. Asumiedo que la desigualdad es cierta para u cierto 0, vamos a examiarla para + : ) + + )! = 0 0! + 0 )! = + )! 0! + 0 ) 0 )! +! = + 0 0! 0 )! = + ). + 0 El segudo factor de la derecha es meor o igual que 0 +) por iducció; ecesitamos estimar el primer factor como meor que 0 + para obteer el 0 + ) + deseado. Vamos a ver si es verdad: ) + 0 ) ) , lo cual es cierto por la hipótesis 0. El euciado queda probado por iducció. 4

5 . La sucesió a ) viee dada por la siguiete fórmula recurrete: a =, a + = a +, para cada N. a) Demuestre por iducció que a para todo. a b) Deduzca que = 0. Solució. Tomamos como proposició P) la desigualdad a demostrar, es decir, El caso P) es imediato, ya que a =, y = a =. Asumimos ahora que P) es verdad y procedemos a demostrar P + ) e dos pasos: a. primero observamos que a + = a =, ya que al ser se tiee que ; por otra parte, a + = a + ) + = + = ; esto o es exactamete lo que queríamos demostrar que era a + + ), pero es fácil observar que +, ya que > + ) ) =. Por lo tato, que era lo que queríamos demostrar. a + + Ua vez coocido el apartado aterior del problema, este ĺımite es ua aplicació secilla del teorema del ecaje o del sadwich): Como a para todo, dividiedo por toda la desigualdad, se obtiee que ) o que a, a. Como los ĺımites a derecha e izquierda coicide y so cero, el ĺımite de a tambié debe ser cero. 3. La sucesió a ) viee dada por la siguiete fórmula recurrete: a =, a + = a 4 para cada.

6 a) Demuestra por iducció que a > 4 para todo N. b) Prueba que la sucesió es creciete. Solució. a) Es obvio que a > /4. Supogamos que, para u fijo, resulta que a > /4. El siguiete térmio de la sucesió, a +, viee dado por a + = a 4, y como a > /4, resulta que a + > 4 4 = 4, que es lo que queríamos probar. Segú el Pricipio de Iducció, se sigue que a > /4 para todo atural. b) Queremos probar que a + > a para todo. Pero como a + = a /4, es lo mismo que exigir que a 4 > a a > 4, que ya sabemos que es cierto, por el apartado aterior. 4. Defiimos la sucesió a mediate la fórmula a + = a, dode a =. Demuestre que para todo 4 se tiee que a. Solució. El problema pide demostrar que a para 4; para hacerlo usado el pricipio de iducció, habrá que empezar ésta e = 4. Calculado los primeros térmios de la sucesió vemos que a =, a =, a 3 =, a 4 = 6. Observamos que a 4 4, lo que da el iicio de la iducció. Asumimos ahora que a y examiamos a + : a + = a =, dode hemos usado la hipótesis de iducció para obteer la desigualdad. Como, multiplicado por positivo e ambos lados obteemos que > ; como es u etero se debe teer de hecho que +. Por lo tato a + + que es lo que queríamos demostrar. El euciado se sigue ahora del pricipio de iducció.. La sucesió A ) =0 viee dada por la fórmula A = 0 ) ), 0. Demostrar que A es u úmero atural para todo 0. De qué sucesió se trata? 6

7 Solució. Aplicaremos la iducció de y + a +. Primero, es fácil ver que A 0 = = 0 0 =, A = Supoiedo que ambos A y A + so úmeros aturales para cierto, veremos que A + tambié es atural, comprobado que verifica la relació A + = A + A +. Obviamete, aquí estamos tratado ua situació muy especial que e otros cotextos sería más complicada.) E efecto, sumado y agrupado los térmios el primero co el tercero y el segudo co el cuarto e la primera igualdad abajo) vemos que A + A + = 0 0 = 0 = 0 =. ) ) + 0 ) ) + 0 ) + ) ) + + ) 0 ) ) Ahora os ayuda la siguiete observació: 3 ± = 6 ± 4 = ± ) 4 = ± ). Por tato, volviedo a la cadea aterior de igualdades, vemos que A + A + = 0 = 0 ) ) ) ) + ) ) + = A +. Vemos, por tato, que A ) =0 es la célebre sucesió de Fiboacci, ya que A 0 = A = y A + = A + A Usar la propiedad de Arquímedes para demostrar que íf { } : N = 0. Solució. Primero vamos a comprobar que si ε > 0 etoces existe u úmero atural ε tal que ε < ε. Esta afirmació es ua cosecuecia imediata de la propiedad de Arquímedes, puesto que si tomamos a = ε etoces, segú la propiedad de Arquímedes, existe a N tal que a < a. De aquí obteemos que a >. Por la defiició de a teemos que a a = = ε. Etoces si tomamos ε = a obteemos que ε < ε, que es lo que teíamos que comprobar. ε { } Para demostrar que íf : N = 0 teemos que comprobar que ε > 0 existe u úmero ε N tal que ε < ε, lo que es cierto segú la afirmació demostrada más arriba. 7

8 7. Sea A el cojuto de úmeros reales defiido como { A = +, + } : N. Halle si existe) su supremo y su ífimo, y decida si A tiee u máximo o u míimo. Solució. Como puede tomar cualquier valor etero positivo, los valores + crece tato como se desee; esto quiere decir que A o admite igua cota superior y por tato o existe el supremo i el máximo de A. Por otra parte, como es siempre positivo y / tambié lo so, lo que implica que +, + y por tato A tiee a como ua cota iferior. Como / puede tomar valores ta pequeños como se quiera, se tiee que o hay igú otro α > que pueda fucioar como cota iferior; de hecho, si α >, α > 0 y existe algú N tal que α > > 0 y α > +. Por ello, es de hecho el ífimo de A. Fialmete, para que fuera el míimo de A, debería perteecer a A. Pero si algú elemeto de éste fuera, etoces tedríamos que para algú N, = 0 ó / = 0, lo que es imposible porque es positivo. 8. Calcula el ĺımite π 4 + e +, Solució. Dado que estamos cosiderado el cociete de dos poliomios del mismo grado, podemos usar el truco habitual de dividir el umerador y el deomiador por la potecia más grade de que aparece e el deomiador, que es 4, obteiedo: π 4 + e + = π + e + 3 = 3 π. 9. Calcula el ĺımite + 3 3), Solució. Se trata de ua idetermiació de tipo, co lo cual o podemos calcular el ĺımite directamete. Usamos el procedimieto habitual de racioalizar o de multiplicar por la expresió cojugada), basado e la fórmula estádar a b)a + b) = a b, como sigue: + 3 3) = 4 + 3) 6 = = ) ) = / + e el último paso hemos dividido arriba y abajo por 3, pues el deomiador es comparable co 3 ). Escrito así, es imediato comprobar que el ĺımite es +. 8

9 0. Calcúlese el ĺımite ). Solució. Ua vez más, racioalizado el umerador, obteemos L = ) + ) + ) = = Dividiedo por e el umerador y e el deomiador, vemos que L = =. ). Calcula razoadamete el valor del ĺımite. + Solució. Para este ejercicio, es fudametal recordar el ĺımite básico + ) = e. El térmio geeral de la sucesió, a = a = + Por tato, a e,. ), cumple + ) = + ) = + ) ) e,. ).. Calcula razoadamete el siguiete ĺımite: Solució. Coviee recordar que si a = L etoces tambié a = L. E particular, + ) = e. Ahora ya resulta fácil calcular el ĺımite dado, usado uas secillas maipulacioes: ) ) + ) = = + ) = e. 9

10 3. Calcúlese razoadamete el siguiete ĺımite: + ) +). + Solució. Si itetamos ver cómo queda el ĺımite calculado simplemete ĺımites de cada parte de la expresió, obtedremos ua idetermiació del tipo, ya que + + =, y + ) =. Para resolver la idetermiació, el camio más secillo es recoocer el ĺımite asociado al úmero e; e otras palabras, + + ) + = = , co lo que el ĺımite pedido queda como + ) +) = + ) +) = + ) ) +) = e Decidir si la serie ) + e + π =0 coverge o diverge. Si procede, calcular la suma de la serie. Solució. Observemos que uestra serie es geométrica co razó q = e/π, ya que el cociete de cada dos térmios sucesivos es ) + e +3 π + ) + e + π = e π. Además, e = e π π < e 3 <, co lo cual la serie coverge. Segú la fórmula para la suma de ua serie geométrica: a + aq + aq + aq = la suma e este caso a = e, q = e/π) es aq = a q, q <, =0 e + e π = πe π + e. 0

11 . a) Decide si la serie coverge o diverge. Justifica tu respuesta. = + ) b) Decide razoadamete si coverge o o la serie = + ) log + ). Solució. a) Observemos que + ) = + ) se puede descompoer e fraccioes simples como sigue: + ) = + ) = + ) ). + Esto os permite ver que uestra serie tiee sumas parciales telescópicas la mayoría de los térmios aparece dos veces, la seguda vez tres lugares después de la primera aparició y co el sigo opuesto): k= kk + ) = k ) k + k= = 3 ) + 4 ) + 3 ) ) ) ) + + ) + ) + ) = + + ) 3 +,. Por cosiguiete, la serie coverge y su suma es igual a 3/. b) Puesto que para todo se cumple que log + ) log 3 > log e =, se sigue que 0 < + ) log + ) + ),. El apartado a) y el criterio de comparació os dice que la serie coverge. 6. Estudiar la covergecia de la serie ifiita justificado la respuesta. ) +, =0 Solució. Podemos aplicar el Criterio del térmio geeral: la serie diverge porque su térmio geeral o tiede a 0. De hecho, ) + o existe: la sucesió es oscilate ya que + coverge a, mietras que ) altera su valor etre y.

12 7. Estudia la covergecia de la serie ifiita =! + 3. Solució. Coviee observar que y, por tato,! + 3 >! = 3... ) ) 0 <! + < ),. La serie se ha visto e clase e alguos grupos: es telescópica y covergete, co suma uo. ) = Alterativamete, puede verse que es covergete aplicado el Criterio asitótico ya que ),. Esta última afirmació se comprueba dividiedo los térmios y viedo que el cociete, / ), cuado.) Fialmete, aplicado el Criterio de comparació, cocluimos que la serie iicial coverge. 8. Decide si la serie =0 + + coverge o diverge, justificado adecuadamete la respuesta. Solució. Observa que es ua serie de térmios positivos. El térmio geeral de la serie, a = + + 0,, como es ecesario para la hipotética) covergecia pero o es suficiete). Además, es asitóticamete equivalete a /, como se comprueba fácilmete: ) = =. + Aplicado el Criterio asitótico y recordado que diverge siedo ésta ua serie p-armóica co p = / < ), deducimos que la serie del euciado tambié diverge. 9. Decide razoadamete si la serie coverge o diverge. =

13 Solució. Argumetamos como e el caso de la serie aterior, pero ahora la comparació asitótica) correcta es co / 3/ : / / = =. 3/ Aplicado el Criterio asitótico y recordado que tambié coverge. 3/ coverge, deducimos que la serie del euciado 30. Estudie razoadamete la covergecia de la serie =0 4. Si usa algú criterio específico, ómbrelo y explique cómo se ha aplicado. Solució. La potecia -ésima e el térmio geeral de la serie sugiere usar el criterio de la raíz. 4 = 4 = 4, dode hemos usado que =, y que = ) ) = = =. Como <, el criterio de la raíz asegura que la serie coverge Estudia razoadamete la covergecia de la serie Solució. = e + log ). El térmio geeral cotiee varias potecias. Podemos aplicar el Criterio de la raíz: e + log ) = e + log = e+ log 0,, puesto que el umerador tiede a e y el deomiador tiede al ifiito. Puesto que el ĺımite es meor que uo, la serie coverge. 3. Decide razoadamete si la serie = 7!) )! coverge o diverge. Nombra o eucia el criterio utilizado. 3

14 Solució. La serie es positiva, siedo su térmio geeral a = 7!). Puesto que aparece factoriales, es coveiete aplicar el test del )! cociete. a + a = )!) + ))! )! 7!) = )!) + )! )! 7!) = 7 + ) + ) + ) 7 4,. Al ser el ĺımite mayor que uo, la serie diverge segú el Criterio del cociete. 33. Decide la covergecia codicioal o absoluta o, e su caso, la divergecia) de la serie ifiita = se! + ) 3. Solució. La serie asociada co valores absolutos coverge por el Criterio de comparació ya que 0 se! + ) 3 3 y la serie 3-armóica = coverge visto e clase). Por tato, la serie origial coverge absolutamete Determíese si la serie ifiita ) + 03 =0 diverge, coverge absolutamete o coverge codicioalmete, justificado la respuesta. Solució. Se trata de ua serie alterada. No coverge absolutamete porque ) = =0 =0 diverge, por comparació asitótica co la serie / que ya sabemos que diverge). Por otra parte, es fácil comprobar que a = +03 es ua sucesió decreciete de úmeros positivos y tal que a = 0, justo las hipótesis co las que el criterio de Leibiz os permite cocluir que la serie coverge. Coclusió: la serie e el euciado coverge codicioalmete. 3. Decida si la serie ) 3 + = coverge absoluta o codicioalmete o diverge. Justifique adecuadamete su respuesta, ombrado o euciado los criterios aplicados. 4

15 Solució. Esta serie tiee térmios positivos y egativos de hecho, es alterada, a partir del tercer térmio), lo que permite varios tipos de covergecia. Mirado lo que se obtiee cuado quitamos el sigo al térmio geeral de la serie, observamos que es 3 + 0, lo cual, cuado es muy grade, se asemeja mucho a 3. Tras simplificar, vemos que esto coicide co, que es el térmio geeral de ua p-serie co p = 3/ y por tato covergete. Para justificar este 3/ razoamieto heurístico, usaremos el criterio de comparació asitótica i.e, comparació co ĺımite): 3 + 3/ 3 3/ 3/ 3/ ) 3 3/ = 3 = + 3 = Como ese ĺımite existe y es mayor que cero, el comportamieto de la serie el de la serie, y por tato coverge. 3/ = La serie pedida covergerá por tato absolutamete. = = 3/ + = es el mismo que 36. Decide la covergecia codicioal o absoluta o, e su caso, la divergecia) de la serie ifiita Solució. = ) 4. La serie es alterada. Es evidete que la sucesió Además, cuado crece, tambié crece y es positiva ), luego la sucesió 4. Por el criterio de Leibiz, la serie es covergete. La serie asociada co los valores absolutos, Recordemos que = ) 4 es positiva y tiede a cero. = es decreciete y tambié 4, puede compararse co la serie 4 -armóica: 4 4 = /4. diverge por ser /4. /4 Aplicado el Criterio de comparació, se sigue que = E coclusió, la serie iicial coverge codicioalmete. 4 diverge. 37. Demostrar que si a > 0, etoces la serie ) a coverge. 3a +

16 Solució. Es fácil ver que a 3a + 3 6a 6a + 4, lo cual es cierto. Por tato, la serie se puede comparar co la geométrica ser su razó q = /3, ). ) y ésta coverge por 3 6