Convergencia absoluta y series alternadas

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1 Tema 11 Covergecia absoluta y series alteradas Ua vez que dispoemos de diversos criterios de covergecia para series de térmios o egativos, abordamos el estudio de la covergecia de series de úmeros reales cualesquiera. Itroducimos para ello la oció de covergecia absoluta y, usado el teorema de complitud de R, probamos que toda serie absolutamete covergete es covergete. El recíproco o es cierto y para probarlo estudiamos las series alteradas, así llamadas porque el sigo de sus térmios va alterado. Presetamos u criterio de covergecia muy útil para el estudio de este tipo de series, el criterio de Leibiz, que permite mostrar abudates ejemplos de series covergetes que o so absolutamete covergetes. Fialmete abordamos la preguta de si la covergecia de ua serie se coserva al permutar sus térmios, lo que os lleva a la oció de covergecia icodicioal, que resulta ser equivalete a la covergecia absoluta Covergecia absoluta Nos plateamos ya el problema geeral de estudiar la covergecia de cualquier serie x de úmeros reales. Si el cojuto { N : x < 0} es fiito, existirá u m N tal que x 0 para m. Cosiderado etoces la serie m x, cuya covergecia equivale como sabemos a la de x, podemos usar los criterios de covergecia para series de térmios o egativos. Por otra parte, si es fiito el cojuto { N : x > 0}, la observació aterior se aplica a la serie ( x ) cuya covergecia equivale como sabemos a la de x. Por tato, os iteresa ahora el caso e que ambos cojutos mecioados so ifiitos, dicho de maera ituitiva, queremos estudiar las series co ifiitos térmios positivos e ifiitos térmios egativos. La estrategia cosiste e usar la serie de valores absolutos x. Se dice que ua serie de x es covergete. úmeros reales x es absolutamete covergete cuado la serie 91

2 11. Covergecia absoluta y series alteradas 92 Por ejemplo, puesto que para x R se tiee x = x, la serie geométrica de 0 0 razó x coverge absolutamete si, y sólo si, x < 1. Así pues, para las series geométricas, covergecia y covergecia absoluta so ocioes equivaletes. E geeral, como la omeclatura sugiere, la covergecia absoluta de ua serie implica su covergecia. Este hecho es ua cosecuecia directa del teorema de complitud de R: Teorema. Toda serie absolutamete covergete es covergete. Más cocretamete, dada ua sucesió {x } de úmeros reales, si la serie x es covergete, etoces x tambié es covergete y se verifica que x x (1) Demostració. Cosideremos las sumas parciales de ambas series: S = x k y σ = x k N k=1 k=1 Sea p, q N y supogamos de mometo que q < p. Teemos claramete p p S p S q = x k x k = σ p σ q = σ p σ q k=q+1 k=q+1 La desigualdad así obteida es obvia cuado p = q y o se altera al itercambiar p y q, luego es válida para cualesquiera p, q N. Por hipótesis, {σ } es covergete, luego es ua sucesió de Cauchy: para cada ε > 0, existe m N tal que, para p,q m, se tiee σ p σ q < ε. La desigualdad recié probada os dice que para p,q m tedremos S p S q < ε, luego {S } tambié es ua sucesió de Cauchy. El teorema de complitud de R os asegura que {S } es covergete, como queríamos. Para obteer la desigualdad (1), pogamos S = { S } S, pero es claro que S σ para todo N, luego x = S = lím S lím σ = x = lím S. Sabemos etoces que x Obsérvese que, ua vez más, la suma de ua serie se comporta como si se tratase de ua suma fiita. Segú (1), el valor absoluto de la suma de ua serie absolutamete covergete es meor o igual que la suma de la serie de los valores absolutos de sus térmios. El recíproco del teorema aterior o es cierto, eseguida veremos abudates ejemplos de series covergetes que o coverge absolutamete.

3 11. Covergecia absoluta y series alteradas Series alteradas Volviedo e cierto modo a los cometarios hechos al pricipio, si queremos que ua serie x coverja si hacerlo absolutamete, los cojutos { N : x < 0} y { N : x > 0} habrá de ser ifiitos, pues e otro caso, o bie existe m N tal que x = x para m, o bie existe m N tal que x = x para m. E ambos casos, la covergecia de la serie x equivale a la de x. Es lógico, por tato, pesar e series cuyos térmios e lugares pares sea positivos y los de lugar impar egativos, o viceversa. Ua serie alterada es ua serie de la forma a, o bie +1 a, dode a 0 para todo N. Por ejemplo, la serie +1 recibe el ombre de serie armóica alterada y está claro que esta serie o coverge absolutamete. Si embargo, es covergete, como se deduce del siguiete criterio de covergecia para series alteradas. Criterio de Leibiz. Si {a } es ua sucesió decreciete y {a } 0, etoces la serie alterada a es covergete. Demostració. Debemos probar que la sucesió {S } = { k } a k coverge. Usado que {a } es decreciete y que a 0 para todo N, coseguimos la siguiete cadea de desigualdades, válidas para todo N: S 2 1 S a 2 a 2+1 = S 2+1 k=1 S a 2+2 = S 2+2 = S 2 a a 2+2 S 2 Destacado lo que os iteresa, hemos visto que S 2 1 S 2+1 S 2+2 S 2 N Por tato, la sucesió {S 2 1 } es creciete y {S 2 } es decreciete. Pero, como cosecuecia tambié teemos S 1 S 2 1 S 2 S 2 N de modo que las sucesioes {S 2 1 } y {S 2 } está acotadas y, por tato, ambas coverge. Puesto que {S 2 } = {S a 2 } y {a 2 } 0, deducimos que lím{s 2 } = lím{s 2 1 }, luego {S } es covergete, como se quería. Así pues, la serie armóica alterada es covergete, pero o absolutamete covergete. Igual le ocurre, por ejemplo, a la serie q, para cualquier q N.

4 11. Covergecia absoluta y series alteradas Covergecia icodicioal Completamos este tema discutiedo ua preguta que teemos plateada desde el pricipio del estudio de las series: hasta qué puto es prudete dejaros llevar por la ituició e iterpretar la suma de ua serie covergete como la suma de todos los térmios de ua sucesió, cual si de ua suma fiita se tratara. Hemos visto e algú caso que la suma de ua serie tiee propiedades aálogas a las de ua suma fiita. Por ejemplo, hemos visto ciertas formas de distributividad y de asociatividad. Vamos a pregutaros ahora por la posible comutatividad, e u setido muy geeral, de la suma de ua serie. Si tal propiedad fuese cierta, al permutar de cualquier forma los sumados, la covergecia de la serie debería mateerse y la suma de la serie debería seguir siedo la misma. Vamos a cometar alguos resultados acerca de esta cuestió, auque si etrar e las demostracioes. Empezamos plateado el problema co precisió. E geeral ua permutació de los elemetos de u cojuto es ua aplicació biyectiva del cojuto e sí mismo. Así pues, ua permutació de los úmeros aturales será ua aplicació biyectiva π : N N. Dada ua sucesió {x }, usado ua permutació π de los úmeros aturales, podemos formar la sucesió {x π() } que ituitivamete se obtiee permutado los térmios de {x }. Pues bie, si la serie x es covergete y la suma de series tuviese la comutatividad que pretedemos discutir, la serie reordeada debería ser covergete y teer la misma x π() suma que la serie de partida. E pricipio esto o está ada claro, ya que la relació etre las sumas parciales de ambas series o es secilla. Se dice que ua serie de úmeros reales x es icodicioalmete covergete cuado, para cualquier permutació π de los úmeros aturales, la serie reordeada x π() coverge. Segú la motivació aterior, deberíamos haber exigido tambié que la serie reordeada tega la misma suma que la de partida, pero acabaremos viedo que esto ocurre automáticamete: si ua serie coverge icodicioalmete, la suma de la serie o depede de la reordeació que podamos cosiderar. Es claro que toda serie icodicioalmete covergete es covergete, pues basta tomar π() = para todo N. De hecho, se tiee la siguiete equivalecia: Teorema. Ua serie de úmeros reales es icodicioalmete covergete si, y sólo si, es absolutamete covergete. Como ya se ha dicho, o vamos a expoer co detalle la demostració de esta equivalecia, pero sí vamos a euciar y cometar por separado ambas implicacioes, para resaltar algua iformació adicioal. Para comprobar que la covergecia absoluta de ua serie implica su covergecia icodicioal, es atural empezar cosiderado series de térmios o egativos, para las que la covergecia equivale a la acotació de las sumas parciales. No es difícil obteer el siguiete resultado, que sería el primer paso e la demostració del teorema aterior:

5 11. Covergecia absoluta y series alteradas 95 Toda serie covergete de térmios o egativos es icodicioalmete covergete. Más cocretamete, si a 0 para todo N y la serie es covergete, etoces, para cualquier permutació π de los úmeros aturales, se tiee que la serie es covergete, verificádose además que a a π() = a. a π() El siguiete paso es ya casi imediato, coseguimos ua de las implicacioes del teorema aterior, co ua iformació adicioal: la suma de ua serie absolutamete covergete o se altera al reordearla: Toda serie absolutamete covergete es icodicioalmete covergete. Además, si la serie es absolutamete covergete, etoces, para toda permutació π de los x úmeros aturales, se tiee que x π() = x. Para completar la discusió del teorema ates euciado, cometamos la otra implicació, sobre la que tambié habrá iformació adicioal. Para probarla, deberíamos ver que si ua serie x o coverge absolutamete, tampoco puede coverger icodicioalmete, es decir, ha de existir ua permutació π de los úmeros aturales, tal que la serie reordeada x π() o sea covergete. Si la propia serie de partida x o es covergete, esto es evidete, luego el problema se cocetra e las series covergetes que o so absolutamete covergetes. Efectivamete, tales series se puede reordear para que deje de ser covergetes, pero peor aú, icluso para las reordeacioes que da lugar a series covergetes, la suma que se obtiee depede de la permutació de los úmeros aturales que usemos. Este resultado se debe al matemático alemá Berhard Riema ( ) y puede euciarse como sigue. Teorema de Riema. Sea x ua serie covergete, que o coverja absolutamete, y fijemos s R. Etoces existe permutacioes π +, π y π s de los úmeros aturales, tales que la serie x π+ () diverge positivamete, la serie x π () diverge egativamete y la serie x πs () coverge, co x πs () = s. Dicho de forma más ituitiva, toda serie covergete que o coverja absolutamete, puede reordearse para que diverja positivamete, para que diverja egativamete, y tambié para que coverja a cualquier úmero real prefijado. Podría hacerse u estudio de la asociatividad para la suma de ua serie covergete, aálogo al que hemos hecho para la comutatividad, llegado a ua coclusió similar: cuado ua serie coverge absolutamete, se puede decir que la suma de la serie verifica tal asociatividad e u setido muy geeral, pero cuado la covergecia o es absoluta, las cosas se complica.

6 11. Covergecia absoluta y series alteradas 96 Como coclusió geérica, podemos decir que si la serie de térmio geeral {x } coverge absolutamete, está justificado pesar que la suma de la serie respode a la idea ituitiva de sumar todos los térmios de la sucesió {x }, de hecho se dice e este caso que la sucesió {x } es sumable. Ello se aplica e particular a las series covergetes de térmios o egativos. Si embargo, cuado la serie de térmio geeral {x } es covergete, pero o absolutamete covergete, esa idea ituitiva, auque siga siedo útil, debe maejarse co gra precaució Ejercicios 1. Sea x ua serie absolutamete covergete y {x σ() } ua sucesió parcial de {x }. Probar que la serie se puede asegurar que x σ() es covergete. Supoiedo sólo que x es covergete, x σ() tambié coverge? x 2. Dado x R, estudiar la covergecia de la serie x Estudiar la covergecia y la covergecia absoluta de las siguietes series: (a) (b) +1 ( )