Tema 4.7: Factorización de funciones holomorfas. Productos in nitos. Teorema de factorización de Weierstrass

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1 Tema 4.7: Factoriació de fucioes holomorfas. Productos i itos. Teorema de factoriació de Weierstrass Facultad de Ciecias Experimetales, Curso E. de Amo Por u lado teemos que la teoría local de fucioes holomorfas os ha facilitado el estudio de los ceros de ua fució holomorfa. Cocretamete, si dispoemos de ua fució holomorfa (o trivial) e u abierto, f H (), que tiee u cero e dicho abierto ( f(a) 0, para algú a ) sabemos que 9g H () y 9k N : f() ( a) k g(); co g() 6 0 para D(a; r). tambié, por otro lado, por el Teorema Fudametal del Álgebra, sabemos que si p es u poliomio de grado, podemos ecotrar + úmeros complejos, a; a 0 ; a ; :::; a C, tales que p() a ( a k ) ; 8 C: k0 Pues bie, si la Teoría Aalítica de Fucioes (a Weierstrass, gracias) os dice que las fucioes holomorfas so casi poliomios (esto es, que se puede ver como "poliomios i itos"), os podemos hacer la siguiete preguta retórica: puede ua fució holomorfa admitir u desarrollo e serie de productos que revele explícitamete a todos sus ceros de igual suerte que ocurre co los poliomios? Fucioes como el seo, a través de su desarrollo e series de Taylor, si() : +X 0 ( ) ( + )! + ; 8 C os muestra expresioes mediate series de potecias que o revela iformació sobre sus ceros. (Aquí sólo se aprecia que 0 es u cero de ella.) Si embargo, esta misma fució admite el desarrollo e series de productos + si() k k ; 8 C; ()

2 y ahora sí que parece justi cado el hecho de que el seo tega como cojuto de sus ceros a Z. Por tato, este tema ecuetra su justi cació e la posibilidad de expresar las fucioes holomorfas de ua ueva forma que las caracteria. Es decir, holomorfía y aaliticidad va a ecotrar ua tercera expresió equivalete a ellas, vía productos i itos. El coteido de este tema se va a estructurar e el setido de comear estudiado (la covergecia de) productos i itos, justi caremos (etre otras) la fórmula () aterior, y vamos a estudiar los llamados factores primarios de Weierstrass, que jugará u papel fudametal y que os va a permitir lograr el resultado pricipal de este tema: el teorema de factoriació de fucioes holomorfas mediate productos i itos. Productos i itos. Comeamos co ua de ició que pareciera harto rebuscada, pero los ejemplos que la sigue dejará claro que es muy atural. De ició. Dada ua sucesió ( ) de úmeros complejos, diremos que el producto (umérico) i ito coverge si existe p Cf0g tal que e cuyo caso, escribiremos Z : + k k! p; k : lim Z p: Sea A : f : 0g. Si A ; y Z! 0 diremos que el producto i ito diverge a 0. Si A es ito y Z :! p 6 0; diremos que k k A el producto i ito coverge a 0. E cualquier otro caso, diremos que el producto diverge (esto es, si la sucesió (Z ) o coverge o simplemete coverge e C a ). Se hace ecesarios alguos cometarios al respecto de esta de ició:. La oció de covergecia siempre está asociada a u comportamieto característico de la sucesió "a partir de u mometo e adelate". No es así e este caso. Observemos que precisamos que todos, todos, los térmios de la sucesió sea o ulos para que haya covergecia a u p 6 0. Desde esta perspectiva, se trata de u cocepto poco satisfactorio si o se toma su ciete cautela. Nos referimos al hecho de que el carácter de ua sucesió "o debe variar" si se modi ca u úmero ito de sus térmios; si embargo, si o hubiésemos descartado el caso p 0, tedríamos que + k0 k 0 y + k k +; k

3 es decir, la primera coverge y la seguda o. Co la otació coveida, ambas so divergetes (auque la primera lo sea al cero y la seguda al i ito).. Es más, hay u problema que metodológicamete o tedría solució: aspiramos a factoriar mediate productos i itos de modo que se revele los ceros "escodidos". Pues bie, la relació + k k 0; os mai esta ua situació dode o habrá tal factoriació buscada. coherete que este caso "caiga" etre los divergetes (a 0, sorprede?). 3. Co las observacioes ateriores: coverge si, y sólo si, coverge para cualquier k, e cuyo caso + ::: k + k+ k+ (de modo que hace coherete la divergecia a cero: 0p 0). 4. Es elemetal que, bajo tales codicioes asumidas de covergecia:!! w w +! + Proposició. Si el producto es covergete, etoces Es lim : Demostració. Podemos supoer todos los o ulos ( por qué?). Así: + + k k! k k + + ; pues el producto ha de ser o ulo. Q.E.D. La codició ecesaria aterior de covergecia del producto (! ) es mai estamete isu ciete. Alguas de las siguietes situacioes se ecarga de justi caros esta tarea: ::: diverge (a +). 3

4 . 3. Z!) ::: diverge a 0. coverge a 0. + coverge ( pruébalo ecotrado A la vista de la proposició aterior, se acostumbra a escribir los productos i itos e la forma + siedo la codició ecesaria, ahora, que ( + ) ; lim 0: El siguiete resultado os muestra que ua aproximació atural al estudio de los productos i itos es el estudio de las correspodietes series que aparece tomado logaritmos (pricipales) factor a factor: Lema. U producto i ito ( + ) coverge a u límite o ulo si, y sólo si, P log ( + ) coverge. Demostració. La prueba de la su ciecia es secilla: para cada atural k, llamemos k kx P k : ( + ) y S k : log ( + ) : Si S k! S; etoces P k e S k! e S 6 0: Recíprocamete, la codició tambié es ecesaria. Esto requiere u poco más de cuidado. Supogamos que P k! P 6 0: Observemos e primer lugar que, de esta relació de covergecia, se sigue que lim y aplicado el logaritmo real +X k ( + j j) jp j 6 0; log ( + j j) l jp j : [] 4

5 Luego para cumplir co el objetivo basta probar que la serie (real, tambié) X arg ( + ) [] coverge, pues [] y [] so las partes real e imagiaria, repectivamete, de la serie que queremos coverja. Sea k : arg! k ( + ) ; dode el argumeto cosiderado es ua determiació cotiua e u etoro de P. Esta sucesió ( k ) coverge a arg! P. Como, por otra parte, el argumeto de u producto es la suma de los argumetos de los factores, podemos a rmar que kx arg ( + ) Arg k ( + ) : Ahora bie, como dos argumetos se diferecia e u múltiplo de, ha de existir ua sucesió de eteros (m k ) tal que k m k + kx arg ( + ) : Qué os resta? Probar que esta sucesió de eteros ecotrada es costate (salvo, quiás, e u úmero ito de sus térmios), pues así resultaría kx arg ( + ) k m k! arg! P m; y completaríamos la argumetació. La covergecia del producto i ito os dice que! 0, es decir +!. Por tato, a partir de u determiado mometo jarg ( + )j < :, por otro lado, la sucesió de diferecias k+ k jarg ( + k+ ) + (m k+ m k )j es ula; es decir, meor que a partir de u determiado mometo. Coclusió, como jarg ( + k+ ) + (m k+ m k )j < y jarg ( + k+ )j < ; se sigue, obligadamete, que para los eteros m k+ y m k ha de veri carse jm k+ m k j < ; luego coicide, a partir de u mometo e adelate. Esto cocluye la prueba. Q.E.D. Probamos a cotiuació u lema que os sugiere el cocepto, muy útil, de producto absolutamete covergete. 5

6 Lema. Sea a 0; N; etoces, so equivaletes: i. ( + a ) coverge ii. P a coverge Demostració. Todo se basa e que x 0 ) + x e x, pues etoces, raoado para cada atural : a + a + ::: + a ( + a ) ( + a ) ::: ( + a ) e a+a+:::+a : Otra forma de demostrarlo (ahora si prejuicios sobre la aturalea de los escalares a cosiderar), es la siguiete. Como log ( + ) lim ;!0 para " > 0, podemos raoar co coveiete, que ( ") jj < jlog ( + )j < ( + ") jj ; y el lema os da la prueba del lema. Q.E.D. Qué mesaje os da este último lema: que los factores e el producto de i. se puede reordear si, y sólo si, se puede reordear los sumados e la serie de ii.. a está motivada la De ició. El producto i ito ( + ) coverge absolutamete si la serie P j j es covergete. O bie, por el propio lema aterior, si, y sólo si, ( + j j) coverge. (Observemos que e el lema estamos tratado co úmeros reales a y e la de ició co complejos.) Corolario. Si u producto i ito coverge absolutamete, etoces es covergete. P Demostració. El lema os proporcioa la covergecia de la serie j j; luego, e particular, podemos supoer j j < ; 8 0 : ( Por qué?) Como para jj < se tiee que dode log ( + ) h() ::: h() + :::! ; si! 0; 6

7 y para m 0 mx log ( + ) X m j h( )j ; 0 0 se tiee, por tato, como el cojuto fh( ) : Ng está acotado y la serie P j j coverge, se sigue de la desigualdad aterior que cuado 0 ; m de la serie mx log ( + )! 0 0! +. Pero ésto o es i más i meos que la covergecia de X log ( + ) ; luego aplicado ahora el lema, se tiee que el producto i ito ( + ) coverge. Q.E.D. Ojo, más de lo que dice el lema, o se puede decir; o caigamos e la tetació de hacer uso icosciete de la relació coverge, ( + ) coverge, X que, además, "ofrece" el siguiete Argumeto fala: Cosiste e probar, para complejos (clave para difereciarlo del lema, dode la equivalecia se da para la covergecia absoluta j j 0) que el producto i ito ( + ) coverge, si y sólo si, la serie P coverge. Ahí va: ** "Por el lema, teemos que la covergecia del producto ( + ) y de la serie P log ( + ) so equivaletes. Si hacemos caso a Taylor: existe ua fució holomorfa g e u etoro del orige, co límite, tal que log ( + ) g(): Por tato, para su cietemete grade, g( ) estará ta próximo a como queramos, y así, la serie P g( ) coverge si, sólo si, coverge P, lo que cocluye la prueba." ** Ecuetra el gaapo y u cotraejemplo. Completamos esta primera parte co u resultado relativo a productos (i- itos) de fucioes holomorfas. Queremos cosiderar, cocretamete, fucioes de la forma f() : + 7 ( + f ())

8 tomado valores e u domiio. Recordemos, teorema de Weierstrass, que ua codició su ciete para la holomorfía de f es que las f lo sea y que la sucesió de productos parciales coverja uiformemete sobre compactos. Ahora, co esta otació, probamos que: Proposició. Si f H () ; N y la serie P jf j coverge uiformemete sobre compactos, etoces el producto ( + f ) coverge uiformemete sobre compactos y represeta ua fució holomorfa e : E particular, coverge absolutamete e : Demostració. La covergecia absoluta se sigue del lema. Sea K u subcojuto compacto del domiio. La hipótesis sobre la serie P jf j os garatia que 9 : m ) jf ()j < ; 8 K: Podemos supoer, por tato, que las fucioes + f o se aula e K., por otro lado, podemos ecotrar otro atural N tal que +X mn+ jf m ()j < " ; 8 K: Pero, teiedo e cueta que +X jlog ( + )j ( ) m+ m m jj ::: jj ; lo aterior os dice que m +X mn+ log ( + f m ()) "; 8 K; lo cual equivale a la existecia de ua fució límite f sobre K a la que la serie P log ( + f ) coverge uiformemete: +X f() lim log ( + f ()) ; 8 K: Esta fució ha de estar acotada, y como la expoecial es uiformemete cotiua sobre domiios acotados, se tiee que! NX exp log ( + f ())! e f() uiformemete sobre el compacto K. La arbitrariedad del mismo os da lo que deseamos. Q.E.D. 8

9 Ejemplo. Existe ua fució holomorfa e el disco uidad dada por f() : Cosideremos el producto i ito + ( + ) ( + ) : para D. Sea K u compacto del disco uidad. Como existe algú disco de radio < tal que K D(0; ); el test de Weierstrass os proporcioa covergecia uiforme sobre K de la serie P : +X jj +X ; luego la proposició os dice que este producto de e ua fució holomorfa e el disco uidad a la que coverge e la topología de la covergecia uiforme sobre compactos. Ejemplo. El producto i ito k + k de e ua fució holomorfa e el semiplao Re >. Fijemos u compacto K e el domiio que estamos cosiderado. Ha de existir > 0 tal que para cada elemeto del compacto: Re + ) k k Re ; 8k N: k+ Cosecuetemete, la serie +X coverge uiformemete sobre K: La proposició aterior ya se ecarga del resto. Alguas fórmulas otables. k Para cada com- Proposició (desarrollo e producto i ito del seo). plejo se tiee que + si k : k 9

10 Demostració. Cosideremos la fució auxiliar + f : C! C; f() : k (si ) : k Objetivo: probar que se trata de la fució costate. El teorema de Riema de sigularidades evitables os dice que f es ua fució etera y si ceros. Además, es par. Vamos a estudiar el comportamieto de f para valores de su cietemete grades. Supogamos, así, que jj : Pero, e esta situació, el pricipio del módulo máximo os dice que jf()j alcaa su máximo sobre la poligoal + (; i) ; + ( ; i) ; + ( ; i) ; + (; i) ; la cual tiee la gracia de o pasar (sea cual sea el valor del atural ) por iguo de los ceros del seo. Vamos a probar que existe ua costate k > 0 tal que si está sobre dicha poligoal, etoces E efecto. E geeral, se tiee luego jsi j jsi j k: jsi j jsih (Im )j ; jsi (Im )j je Im e Im j e (+ ) e (+ ) : k: e 3 e 3 Además, podemos acotar el producto i ito mediate expoecial del modo siguiete: k k k k k k k+ e j k j + e j k j < e jj (+log ) e jj k k exp jj k+! jj ( + log ) + 0

11 (dode hemos usado las desigualdades X k k < + log y + X k+ (k) < para obteer la última desigualdad). Observado, otra ve, el comportamieto de jj para muy grade: se sigue que, al, jf()j jj jj ) ( + log ) < r p jj; + k k k si A exp jj 3 ; de dode se sigue la existecia de ua costate B tal que + k Ae B : si Ahora es cuado juega que f sea ua fució par: ha de ser B 0, y podemos determiar A observado que A f(0) lim!0 si : Q.E.D. Ua simpática forma de escribir el mismo resultado, y muy atural, sabiedo que lo que queremos es obteer ua fució etera que se aule e todos y cada uo de los eteros, es expresar la fució si() como: ::: ( + k + ) ( + k) ::: ( + ) ( + ) ( ) ( ) ::: ( k) ( k ) ::: Pero, simpatías aparte, el lema euciado más arriba os expoe que esta expresió mediate producto o es absolutamete covergete e igú puto de Cf0g; es decir, o podemos agrupar los factores de cualquier forma y escribir, por ejemplo: + si () k + + : k k k La última parte de este tema se dedicará a obteer estas factoriacioes de modo absolutamete covergete: la fució expoecial jugará u papel extremadamete importate e este aspecto y os proveerá de los ta esperados ya, factores primarios de Weierstass. Ates, alguos otros ejemplos iteresates.

12 Ejemplo (producto i ito del coseo). Para cada complejo se tiee que +! cos : (k ) k Demostració. La factoriació del seo permite los siguietes cálculos: cos si si + k + k + k (k ) + k k k k (k) + k! : (k ) Q.E.D. Ejemplo (fórmula de Wallis). Se veri ca Demostració. Evaluamos e de dode si ::: la factoriació del seo: + k! (k) ; + (k) + (k) k k k + k : k k Nota: Se puede raoar, al hilo de la demostració aterior, que la serie es covergete, pero o es absolutamete covergete: si llamamos P : k (k) (k) al térmio geeral de la sucesió de productos parciales, lo que se prueba, realmete, es que P coverge a ; pero P P ; 8 N;

13 de dode se sigue que la sucesió P + coverge igualmete ( y al mismo límite!), ergo P., si embargo, los productos + k k + k + y k k so divergetes, de dode se sigue que o hay covergecia absoluta. Pasamos ya a uo de los resultados cetrales de la teoría de fucioes aalíticas. Teorema de Factoriació de Weierstrass. Para cualquier sucesió! existe ua fució etera f tal que k f() 0 () f : Ng Alguas cuestioes previas a la demostració de este hecho:. La hipóptesis sobre la sucesió... sólo cosiste e evitar trivialidades: si es ito el cojuto de ceros, el producto o da problemas y la fució es el resultado de u producto de poliomio y expoecial adecuados; y si la sucesió o coverge a, algua de sus parciales se va a acumular e algú puto de C: u domiio para el que el pricipio de idetidad o dejaría más escapatoria que f 0:. Hay formas obvias, triviales, de de ir ua fució arbitraria que veri que el " () ". Lo importate es la holomorfía; y, de ahí, la absoluta covergecia de la expresió como producto i ito. Esta es la verdadera fuera de este resultado. Comeamos co argumetos de tipo heurístico: Para de ir la tal f H (C) parecería atural hacer f() : + ( ) : Pero, ya de etrada, observacioes ta elemetales como la hipótesis sobre la sucesió ( ) ; raoado para jo, colleva que la sucesió de factores o covergería a, luego divergería el producto. Este "detalle" lo podemos evitar cosiderado los ceros e Cf0g y escribiedo pues, ahora, si la serie f() : es covergete, etoces la serie + X X 3 ;

14 coverge uiformemete sobre compactos, luego así tambié el producto y resulta la deseada fució etera. Además, aú e el caso de divergecia de la serie P pero covergecia de P ; podemos modi car la de ició de f así: f() : + exp : Estos "factores de covergecia" actúa así: raoado sobre compactos y para coveiete, podemos hacer j j > jj, de dode log exp ::: ::: ; luego hay covergecia uiforme sobre compactos. Por tato, la serie +X log exp ; 6 es uiformemete covergete, y el producto lo será sobre compactos. El mismo raoamieto os es válido si cosideramos series del tipo X p+ para p N; lo cual os habilita para cosiderar los factores de covergecia W () : exp + + ::: + p p p que garatia la covergecia uiforme sobre compactos del producto + W (); que, además, represeta ua fució etera co los ceros deseados... Si embargo, 9 ( ) C :! y X p divergete para todo p N; por ejemplo, la sucesió (log ) : Para este pequeño atasco basta "rede ir" los factores de covergecia como: W () : exp + + ::: + ; 4

15 dode, por el mometo, seguimos co 6 0. ya etramos e la Demostració (del teorema de factoriació de Weierstrass). Raoado, como más arriba, sobre compactos y para coveiete, podemos hacer j j > jj, a partir de coveiete atural, de dode log W () +X k+ k k k : E resume, las expresioes +X log W () y + W () so uiformemete covergetes sobre compactos. Además, cada factor sólo se aula e ; y por la de ició del producto i ito, éste sólo se aula e tales putos. Sólo resta añadir los posibles ceros e el orige y hacer Q.E.D. f() : p + W (); 8 C: Ejemplo. Queremos lograr ua fució etera co ceros e N. Notemos que la serie P j j diverge, pero P coverge. Por tato, podemos de ir tal fució como f() : + e ; 8 C: Corolario. Toda fució f meromorfa e el plao C se puede escribir como el cociete de dos fucioes eteras. Demostració. Las sigularidades de f so todas polos. Escribamos este cojuto como ; dode cada polo aparece tatas veces como su orde idique. A este cojuto le podemos asociar, vía teorema de Weierstrass, ua fució etera h tal que Z (h) : Ahora bie, el teorema de sigularidades evitables de Riema os garatia que g : fh es ua fució etera tal que Z (g) Z (f). Por el pricipio de idetidad es f gh. Q.E.D. Aplicació: estudio de la fució Gamma. E el ejemplo de arriba hemos visto cómo la fució etera co ceros e N más secilla es el producto caóico f() : + e ; 8 C: [] Claramete! f( ) 5

16 tiee a los aturales como ceros, y: f()f( ) si : Vamos a profudiar e alguas propiedades de f aprovechado la forma e la que ha sido costruida. La fució! f( ) tiee los mismos ceros que f y, además, el orige. Por tato, os está permitido escribir f( ) f() exp (g()) ; dode g H (C). Queremos determiar la fució etera g. Si tomamos derivadas logarítmicas e ambos miembros de la ecuació aterior (usado la expresió []) se tiee: +X + + g0 () + +X + : [] Si hacemos el cambio $ + e la serie de la iquierda, operado e ese miembro os queda: +X + +X + +X X X ; + dode la última serie suma. E cosecuecia, la ecuació [] se reduce a g 0 () 0, sea cual sea el valor del complejo ; luego la fució g buscada es ua costate. Llamemos a tal costate. Por tato: f( ) e f(); 8 C: De algú modo, es más secillo operar cosiderado la fució la cual veri ca la relació h() : f() exp(); 8 C; h( ) h(); 8 C: [ ] Ahora, el valor de se puede obteer de modo secillo: haciedo, f(0) e f(); 6

17 de dode e + + e : Como el -ésimo producto parcial e dicha expresió se puede escribir así: ( + ) exp + + ::: + ; tomado logaritmos (y aprovechado su cotiuidad), os queda: lim + + ::: + log : Se trata de la llamada costate de Euler, cuyo valor (aproximado) es 0:577. Dado que h veri ca la relació [ ], si hacemos () : [h()], etoces aparece la relació ( + ) (); 8 C: Esta fució etra, por derecho, etre el reducido círculo de fucioes famosas de las matemáticas bajo el ombre de fució gamma de Euler. La forma e la que la hemos itroducido permite obteerla como: de modo que () e + () ( ) + e ; si () : Observamos, de modo imediato, que la fució es meromorfa (y co sus polos e N [ f0g), pero o tiee ceros. Es secillo comprobar que esta fució es ua geeraliació de la fució factorial. Cocretamete: () ( )! para cada atural : Igualmete, de la última relació, podemos extraer como iformació, que p : Otras propiedades de iterés de la fució gamma las podemos obteer a partir de la seguda derivada de log. Por derivació d d 0 () +X () ( + ) : 7

18 Por ejemplo, se puede comprobar que como () ( + ) y () tiee los mismos polos, la relació aterior os da: d d 0 () + d () d Por itegració se obtiee 0 ( + ) ( + ) 4 +X +X +X +X ( + ) + 4 ( + ) + +X ( + ) d d ( + + ) 0 () : () () ( + ) ea+b (); y usado relacioes coocidas para los valores y, se tiee (pruébese) que a log ; b log + log ; de dode se sigue la llamada fórmula de duplicació de Legedre: p () () ( + ): EJERCICIOS PROPUESTOS.. Determia cuáles de los siguietes productos i itos so covergetes: i. ; ii. + ; iii. v. N N N ( ) ( ) p ; iv. ; vi. N N ; + :. Este ejercicio expoe iformació suplemetaria muy iteresate a la teoría expuesta arriba: (a) Ayúdate del producto i ito dado e.v. para probar que X coverge ; ( + ) coverge. (b) Prueba que, si embargo, si X y X j j coverge ) ( + ) coverge. 8

19 (c) Busca, y ecuetra, u ejemplo de producto i ito ( + ) covergete (a u límite o ulo) tal que P o sea covergete. 3. De e ua fució etera que tega ceros simples e los cuadrados de los aturales. 4. Determia los productos caóicos asociados a cada ua de las siguietes sucesioes: i. : ; ii. : b : b > 0; iii. : (l ). 5. Prueba que los siguietes productos de e fucioes eteras: i. ( + a ) : a D; ii. e ; Zf0g Zf0g iii. +. (l ) Zf0g 6. Ecuetra ua fució f holomorfa (o trivial) e el o disco uidad tal que sus ceros los tome e los putos + : N : (Te puedes ayudar de ua fució etera g que se aule e los aturales, y luego de ir f() : g.) 9