No negatividad. Definición positiva. Propiedad multiplicativa. Desigualdad triangular. Identidad de indiscernibles. Desigualdad triangular

Transcripción

1 Repaso: Propiedades fudametales del Valor absoluto: x 0 x = 0 x = 0 xy = x y x + y x + y x = x x y = 0 x = y x y x z + z y x y x y No egatividad Defiició positiva Propiedad multiplicativa Desigualdad triagular Simetría Idetidad de idisceribles Desigualdad triagular Preservació Desigualdades: a x < y y < x < y b x > y y < xóx < y Itervalos: Sea F u campo ordeado. (a) x, y F defiimos u itervalo cerrado como el cojuto a, b = x F a x b} (b) x, y F defiimos u itervalo cerrado como el cojuto Pricipio de Iducció Matemática: a, b = x F a < x < b} Dada ua proposició P. Se tiee que P es válida para toda que está e los aturales si: p(1) es verdadera para toda k que está e los aturales, p(k) p(k+1) etoces IN, p() es verdadera. Pricipio de iducció Completa:

2 Supoga que está e los aturales y para toda que está e los aturales, p() es ua proposició verdadera acerca de si: p ( 0 ) es verdadera. para toda k que está e los aturales tal que p(k) p(k+1) 0, p() es verdadera. Números Racioales: Q= {x F Ǝ m, ZZ 0 y x= m } Ejercicio de la Tarea 1: Dado el siguiete cojuto y sus operacioes defiidas, determiar si es campo o o: a) F= {(x,y) x,y IR} (x,y) +(u,v) = (x+u,y+v) (x,y) * (u,v) = ( xu,yv) Ojo: (x,y) * (u,v) = xu + yv (x,y) * (u,v) = ( xu,yv) Si se ocupa la defiició de F co las siguietes operacioes: (x,y) +(u,v) = (x+u,y+v) (x,y) * (u,v) = xu + yv F o es campo ya que o cumple M. Si se ocupa la defiició de F como tal, es decir co las defiicioes dadas: (x,y) +(u,v) = (x+u,y+v) (x,y) * (u,v) = ( xu,yv) F es campo ya que cumple todo. (Se pidió como ejercicio, ver que era u campo) Ojo : las demostracioes se debe hacer de forma geeral y o utilizado úicamete ciertos úmeros para comprobar los axiomas. Ejercicio.

3 Demuestre que x, y IR +, se satisface: 1 x +1 y xy) Teemos que: x y 0 x y x y 0 x² xy + y² 0 Etoces x² + y² xy etoces sumado xy de ambos lados teemos: x + y xy x + y xy (1) x + y xy Sacamos raíz de ambos lados: x + y >= xy xy Etoces: xy xy = 1 x+y x +1 y Ejercicio 3. Supogamos que 5 Q y demuestre que + 5 Q. xy xy x + y x²y² xy Supoemos que + 5 Q ( + 5)² Q Q ( 10) Q 10 Q! + 5 Q. Ejercicio. Dados dos úmeros reales, demostrar: 1) Si los dos úmeros so racioales, su suma y su producto sigue siedo racioales:

4 Es evidete que P q Y PP qq Q. + P q = Pq +P q qq Q. ) Si uo es racioal y el otro es irracioal su suma y producto so irracioales : Si a Q, etoces P q = p q + a ó P q = p q P (a), etoces a = q + p q ó a = qp pq a Q! 3) Qué ocurre si los dos úmeros so irracioes? S i los dos úmeros so irracioales o podemos afirmar ada del resultado como se puede ver e los siguietes ejemplos: (1 + ) + =1 Q + = Q Lo mismo ocurre co el producto. Ejercicio 5. Demostrar que etre dos úmeros racioales diferetes siempre hay otro racioal. Demostrar que etre ellos tambié hay u irracioal. Idicació: Utilizar que es irracioal. Sea a< b, a, b Q, el úmero a+b Q y está etre los dos puesto que a < a + b < b Siempre Ǝ tal que < b a y por lo tato

5 a< a + < b Dode a + Q. Ejercicio 6. Demostrar que etre dos úmeros irracioales existe siempre u úmero racioal. Sea a<b, a, b o está e Q, si a y b tiee diferete sigo etoces a<0<b y 0 Q. Supogamos que a y b tiee el mismo sigo, cosideramos solo el caso 0<a<b puesto que los demás casos so equivaletes. Expresado a y b e forma decimal obteemos: a = a 0 + a a b = b 0 + b b Dode a i yb i dode i =0, 1,,... so eteros o egativos. Si a 0 < b 0 etoces a < b o < b y b 0 esta e Q Si a 0 = b 0, sea i esta e los aturales, el primer valor para el cual a i < b i Sea: c = a 0 + a a b i 10 i Q Etoces a<c<b Ejercicio 7. Demostrar que es irracioal. Por Pitágoras teemos que la hipoteusa de u triagulo de lados 1 es. Todo úmero atural puede escribirse de la forma k ó de la forma k+1. Los úmeros aturales: k so pares (k)² es par

6 k+1 so impares (k+1)² es impar (k)² = k² = (k²) (k+1)² = k² +k+1 = (k² +k) +1 Supoemos que Q, es decir, que existe u umero atural p, q tal que p q = Podemos supoer que p y q o tiee igú divisor comú puesto que se podría empezar simplificado para elimiar los divisores comues: p² = q² Esto demuestra que p² es par y e cosecuecia p debe ser par; es decir, p=k para algú umero atural k. Etoces: P² =k² = q² De modo que: k² = q² Por lo tato q² es par y e cosecuecia q es par. Así pues, so pares tato p como q e cotradicció co el hecho de que p y q o tiee divisores comues. Por lo tato hemos demostrado que o existe igú umero racioal x tal que x²= Por lo tato raíz de es irracioal. Ejercicio 8. Demostrar que es u úmero racioal = a b Elevado al cuadrado ambos térmios teemos: Multiplicamos b² obteiedo: = a b b = a

7 Descompoiedo e factores primos: b = a Como teemos a dos como múltiplo de b y como estamos tratado ua igualdad supoemos por lo tato a tambié debe ser múltiplo de para que se pueda cumplir la igualdad etoces a tedrá que ser u úmero tal que a=k, reemplazamos esto e la igualdad: Es racioal. Ejercicio 9. (Iducció) Verifique si la formula es verdadera:! Dode! = (-1)(-)...(1) Verificamos para =1 1 Es valido Verificamos para = = Es valido Verificamos para =3 3! = 6 3 = 8 Es valido Verificamos para =! = = 16 No se cumple. Por lo tato es falsa la expresió. b = k b = k b = k Ejercicio 9. Verificar si la Proposició es verdadera por medio de la iducció matemática

8 =, perteeciete a los aturales (*) (i) 1= Por lo tato 1 satisface la proposició (*) (ii) Supogamos valida la proposició (*) para k perteeciete a los Naturales, es decir supogamos que: (iii) k k k =. (Hipótesis de iducció). Demostremos que k - 1 tambié satisface la proposició (*), es decir, demostremos que: k+(k+1) = k+1 k+. Demostració: ( k)+(k+1) = k k+1 + (k+1) = k k+1 + k+1 = k+1 k+ Luego la proposició (*) es verdadera perteeciete a los aturales. Ejercicio 10. Verificar si la Proposició es verdadera por medio de la iducció matemática i=1 i 3 = +1 (i) Verificamos para = 1 i=1 i 3 = i=1 1 1 = 1() i=1 1= = 1 (ii) Supogamos valido para = k (Hipótesis de iducció) k i=1 i 3 = k k+1 (iii) Por demostrar valido para = k+1

9 k+1 i=1 i 3 = k+1 k+1+1 se reemplaza termio igual al de arriba = k+1 k+ (esto se debe demostrar) = k k+1 k+1 i=1 i 3 k = i 3 + k i=1 + k = (k+1) ( k + (k+1)) = (k+1) ( k +(k+1) ) = (k+1) ( k +k+) ) = k + 1 k +