Sesión de Preparación de Olimpiada Matemática.

Transcripción

1 Sesió de Preparació de Olimpiada Matemática 6 de Diciembre de 06 Ferado Mayoral Desigualdades (y Poliomios y otras fucioes) (I) -Alguas desigualdades básicas ) x 0 para cualquier x R La igualdad sólo se cumple para x = 0 ) (Desigualdad triagular) Si x, y R etoces La igualdad se cumple si, y sólo si, xy 0 x+y x + y 3) Medias: aritmética (A), geométrica (G), armóica (H) y cuadrática (Q): Si a, b > 0, A(a,b) = a+b, G(a,b) = ab, H(a,b) = a +b +, Q(a,b) = a b Etoces mi{a,b} H G A Q max{a,b} y las igualdades se cumple si y sólo si a = b Las desigualdades etre las medias tiee la siguiete visualizació que tambié cuáto se parece y cuáto se diferecia e fució de lo parecidos o diferetes que sea a y b Cada ua de las desigualdades ivolucradas e H G A Q so equivaletes etre si y equvaletes a la desigualdad (a b) 0 ab a +b (y que la igualdad se cumple sólo, y exclusivamete, para a = b) Tambié puede cosiderarse ua iterpretació geométrica e térmios de áreas y perímetros de rectágulos puesto que ab es el área de u rectágulo de lados a y b (perímetro = (a + b)) ( ) a+b y es el área del cuadrado que tiee dicho perímetro (lado = a+b ), la desigualdad H A ab a+b a+b ( ) a+b ab, os dice que el área del rectágulo es meor o igual que la del cuadrado del mismo perímetro Y la igualdad sólo se obtiee e el caso del cuadrado a = b Es decir, de etre todos los rectágulos co u perímetro dado, el que tiee mayor área es el cuadrado

2 Puesto que (a+b) es el perímetro de u rectágulo de lados a y b (área = ab) y el perímetro del cuadrado que tiee área ab (lado = ab) es 4 ab la desigualdad G A ab a+b 4 ab (a+b), os dice que el perímetro del del rectágulo es meor o igual que la cuadrado del mismo área Y la igualdad sólo se obtiee e el caso del cuadrado a = b Es decir, de etre todos los rectágulos co u área dada, el que tiee meor perímetro es el cuadrado 4) (Reordeamieto) Si a b y x y, etoces ax+by ay +bx Ejercicio a) Demuestra la desigualdad triagular y que x y x y para x,y R b) Demuestra la desigualdad etre las medias aritmética y geométrica Iterpreta geométricamete la desigualdad e térmios de áreas Cuádo se verifica la igualdad? c) Demuestra e iterpreta la desigualdad del reordeamieto a) Basta aplicar la desigualdad triagular a x = (x y)+y y a y = (y x)+x ( a ) b) Basta desarrollar b 0 Iterpretació geométrica e térmios de áreas: Si se cosidera el cuadrado de lado a+b, detro de él se puede colocar, si que se solape, 4 rectágulos de lados a y b Sólo se verifica la igualdad cuado a = b e cuyo caso teemos 4 cuadrados de lado a = b que cubre completamete el cuadrado de lado a+b c) La demostració es imediata: Decir que ax + by ay + bx es equivalete a decir que b(y x) a(y x) Esto último es cierto puesto que y x 0 y b a Ejercicio (Completado cuadrados) Demuestra las siguietes desigualdades: a) x +xy +y 0 b) x xy +y 0 c) Si x > 0 etoces x+ Demuestra que la suma x+y co xy =,x > 0, es míima x cuado x = y = Iterpreta geométricamete el resultado d) Si 0 < x < etoces x( x) Demuestra que el producto xy co x+y =,x,y > 0, es máximo cuado x = y = Itepreta geométricamete el resultado

3 a) Auque la desigualdad se podría reducir a ua desigualdad co el poliomio e ua variable p(t) = t +t+ lo hacemos directamete e dos variables x +xy +y = Obviamete la igualdad sólo se da para x = y = 0 ( x+ ) y ( 4 y +y = x+ ) y y 0 b) Se puede hacer de forma aáloga al apartado aterior c) Puesto que x > 0 tato x como /x puede tomarse como cuadrados (de úmeros reales), x+ x = ( x x ) + y la igualdad sĺo se alcaza para x = x = Iterpretació geométrica: De etre todos los rectágulos co área igual a el que tiee meor perímetro es el cuadrado d) Si 0 < x < etoces x( x) = (x x) = ( (x ) ) = (x ) Itepretació geométrica: De etre todos los rectágulos co perímetro dado, el que tiee mayor área es el cuadrado Ejercicio 3 Demuestra las siguietes desigualdades: a) Si 0 x y etoces 0 xy x y 4 x b) Si x,y > 0 etoces y y + x x+ y a) La primera desigualdad es clara, xy x y = xy(y x) 0 Para la seguda desigualdad, puesto que 0 y se tiee que 0 y y y por tato ( [ xy x y xy x y = x( x)y x( x) = (x x) = x ] ) 4 4 b) Si x,y > 0, basta aplicar la desigualdad del reordeamieto co ( ) (x,y) y y, x Ejercicio 4 (OME-984) Dados dos úmeros reales positivos p, q tales que p + q =, y sabiedo que todo par de úmeros reales x,y cumple (x y) 0, se pide demostrar 3

4 a) si x,y > 0, etoces x+y xy ( ) b) x +y x+y ( c) si p,q > 0 y p+q =, etoces p+ p) ( + q + ) 5 q a) Medias aritmética y geométrica b) Medias aritmética y cuadrática c) Si p+q = etoces pq (el máximo del producto se alcaza cuado ambos so iguales) 4 Puesto que p+ p +q + q = + pq 5 ( elevado al cuadrado y suamado co la desigualdad p+ q p q) 0 se obtiee el resultado Tambié puede obteerse aplicado la desigualdad de Cauchy-Schwarz - La desigualdad de Cauchy-Schwarz La desigualdad de Cauchy-Schwarz establece que para dos cojutos de úmeros reales, a,a,,a y b,b,,b se verifica que (a b +a b + +a b ) ( a + +a )( b + +b ) La igualdad se cumple si y sólo si las uplas (a,a,,a ) y (b,b,,b ) so ua múltiplo de la otra Podemos supoer que alguo de los a k 0 Puede demostrarse la desigualdad de Cauchy- Schwarz estudiado la gráfica del poliomio de segudo grado dado por p(x) = (a k x+b k ) Puesto que para todo x R se tiee ( 0 p(x) = a k ) ( x + a k b k )x+ b k, la gráfica/parábola y = p(x) = Ax +Bx+C esá por ecima del eje OX, o es tagete a él Por tato, el discrimiate ( ) ( = B 4AC 0 a k b k a k )( b k ) 4

5 El caso B = 4AC, que se correspode co que la parábola sea tagete a OX, es equivalete a que se verifique la igualdad e la desigualdad de Cauchy-Schwarz y se da cuado p(x 0 ) = 0 para algú x 0 R Es decir, cuado existe x 0 R tal que b k = x 0 a k, k =,,, o lo que es lo mismo (b,b,,b ) es u múltiplo de (a,a,,a ) Ejercicio 5 (OME-97) Si 0 < p,0 < q y p+q <, demostrar que (px+qy) px +qy La desigualdad puede obteerse mediate lo siguiete p x +q y +pqxy px +qy = p+q pq(x y) px +qy p+q < Si embargo puede obteerse de maera más atural buscado aplicar la desigualdad de Cauchy-Schwarz (px+qy) = (x p p+y q q) ( x p+y q ) (p+q) < Ejercicio 6 Demostrar que si a,b,x,y so úmeros reales y a,b > 0 etoces (x+y) a+b x a + y b Esta desigualdad se puede reducir a la desigualdad de Cauchy-Schwarz si más que cosiderar lo siguiete: ( ) x ( ) a + y x y b = + a b Aplicado la desigualdad de C-S teemos ( ) x (x+y) y = a+ b b a [ ( ) ( ) ] x y (a + + b ) a b Ejercicio7 (OME-980)Demostrarquesia,a,,a soúmerosrealespositivos, etoces ( (a + +a ) + + ) a a Cuádo es válida la igualdad? Basta aplicar la desigualdad de Cauchy-Schwarz a plas apropiadas 5

6 Ejercicio 8 Demuestra que a a +bc + b b +ca + c c +ab para todos los úmeros reales positivos a,b,c Basta usar la desigualdad de Cauchy-Schwarz Ejercicio 9 Deducir de la desigualdad de Cauchy-Schwarz la desigualdad etre la media aritmética y la media cuadrática: Si a,a,,a so úmeros reales positivos se verifica que a +a + +a a + +a 3- Desigualdades etre Medias Ya hemos cosiderado ates, e iterpretado, las medias de dos úmeros reales positivos Dados úmeros reales positios a,a,,a suele cosiderarse las siguietes medias: Media aritmética A = a + +a Media geométrica G = a a Media armóica H = a + + a a Media cuadrática Q = + +a La mismas desigualdades que vimos para las medias etre dos úmeros se tiee e el caso de úmeros: ) mi k {a k } H G A Q max k {a k }, mi k {a k } a + + a a a + +a a a + +a max k {a k} ) Las igualdades se cumple si y sólo si a = = a Ejercicio 0 (OME-975) Probar que si el producto de úmeros reales y positivos es igual a, su suma es mayor o igual que Se obtiee fácilmete a partir de la desigualdad etre las media aritmética y la media geométrica, a a a a +a + +a 6

7 Ejercicio (OME-978) Se da los úmeros A,A,,A Demostrar, si ecesidad de calcular derivadas que el valor de X que hace míima la suma (X A ) + +(X A ) es precisamete la media aritmética de los úmeros dados Basta completar cuadrados e el desarrollo ( ) 0 X A ) + +(X A ) = X A k X + A k k k Ejercicio Sea x,y,z > 0 tales que x + y + z = Demuestra que xy + yz + zx 3 Qué desigualdad se deduce si la restricció x+y +z =? Usar la desigualdad de Cauchy-Schwarz 7