CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II

Transcripción

1 CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II TEMA 5 (Última modificació ) TEOREMA DEL VALOR MEDIO TEOREMA DEL VALOR MEDIO O DE LAGRANGE O DE LOS INCREMENTOS FINITOS PARA FUNCIONES DE UNA VARIABLE INDEPENDIENTE. Si la fució = f(x) es cotiua e [a,b] derivable e (a,b), etoces : (a,b) / f(b) - f(a) = (b -a). f () Gráficamete: f(b) f() f(a) A D C B = f(x) x 0 a b Co el fi de aclarar el sigificado geométrico de éste teorema de Lagrage, cosideremos la figura aterior. E ella, la magitud (f(b) - f(a)) / (b - a) represeta la tagete del águlo de icliació de la cuerda que pasa por los putos A B de la gráfica cuas abscisas so a b : Tg = f(b) - f(a) (cosiderado el triagulo ADB) b - a Por otra parte, f () represeta, como a sabemos, la tagete del águlo de icliació de la recta tagete a la gráfica de = f(x) e el puto de abscisa : Tg = f () De aquí resulta que f(b) - f(a) = f () que equivale a : f(b) - f(a) = (b - a). f () (1) b a De modo que el sigificado geométrico de la igualdad (1), el Teorema de Lagrage visto, es el siguiete: Si por cada puto del arco AB puede trazarse ua tagete, existirá e este arco AB, etre A B, u puto C tal que e éste la recta tagete sea paralela a la cuerda que ue los putos A B. Ahora, si hacemos h = b - a, será b = a + h, por lo tato : 0 < < 1, / = a +. h Etoces (1) se podrá escribir: f(a +h) - f(a) = h. f (a +. h) () co 0 < < 1 Fialmete, si escribimos = f(a +h) - f(a), resultará de (): = h. f (a + h), co 0 < < 1 1

2 TEOREMA DEL VALOR MEDIO O DE LAGRANGE PARA FUNCIONES DE DOS VARIABLES INDEPENDIENTES. Si la fució z = f(x,) es difereciable e u etoro abierto del puto (a,b), etoces el icremeto z de f(x,) se puede expresar: z = f(a + h, b + k) - f (a,b) = h. f X (a + h, b + k) + k. f Y (a + h, b + k) co 0 < < 1, h k icremetos de las variables x e respectivamete / (a + h, b + k) DEMOSTRACION: Sea A(a,b) R², etoro abierto, circular o rectagular, de A(a, b), z = f(x,) ua fució difereciable e B(a + h, b + k). b +k B P P b A P C a x a +h x Sea ahora P(x,) u puto variable sobre el segmeto AB, el cual está totalmete coteido e obviamete. Por semejaza de los triágulos AP P ACB, ver figura aterior, teemos: AP = AP = PP = t co t [ 0, 1 ] AB AC CB Aquí otamos que t = 0 => P A t = 1 => P B resulta etoces que es: t = AP = AC x - a h t = P P = - b CB k Resolviedo lo aterior e x e, resulta:

3 x = a + h. t = x(t) = b + k. t = (t) t [0,1] Etoces, z = f(x,) podrá escribirse, cuado P(x,) AB, como: z = f(x,) = f(a + h. t, b + k.t) = F (t) co t [0,1], o sea fució compuesta de la variable t. De aquí se sigue que como z = f( x,) es difereciable x(t) e (t) so fucioes derivables, será z = f(x(t), (t)) = F(t) derivable e (0,1) cotiua e [0,1], luego, por el teorema de Lagrage para fucioes de ua variable idepediete aplicado a F(t), obtedremos: F(t) - F(0) = t. F ( t) (1) co 0 < < 1 t [0,1] Notemos aquí que depede de t. Por otra parte, es: F(0) = f(a + h 0, b + k 0) = f(a,b ), F (t) d F(t) df x(t), (t) f x. dx f. d F(t) = f X (a + h. t, b + k. t). h + f Y (a + h. t, b + k. t). k será F ( t) = h. f X (a + h. t, b + k. t) + k. f Y (a + h. t, b + k. t) Haciedo los correspodietes reemplazos e (1), llegamos a: f(a + h.t, b + k.t) - f(a,b) = t.[h.f X (a + h t, b + k t) + k.f Y (a + h t, b + k t)] () Hagamos ahora t = 1 e () : f(a + h, b + k) - f(a,b) = h. f X (a + h, b + k) + k. f Y (a + h, b + k), como z = f(a + h, b + k) - f(a,b ), tedremos fialmete que: z = f(a + h, b + k) - f(a,b) = h. f X (a + h, b + k) + k. f Y (a + h, b + k) co 0 < < 1 TEOREMA DEL VALOR MEDIO O DE LAGRANGE PARA FUNCIONES DE VARIABLES INDEPENDIENTES Si la fució = f(x 1, x,..., x ) es difereciable e u etoro abierto del puto (x 1, x,..., x ), etoces el icremeto total se puede expresar: = f(x 1 + h 1, x + h,..., x + h ) - f(x 1, x,..., x ) = = h 1. f X1 (x 1 + h 1,..., x + h ) h. f X (x 1 + h 1,...,x + h ) = = i=1 h i. f xi (x 1 + h 1,..., x + h ), dode 0 < < 1 siempre que (x 1 + h 1,..., x + h ). 3

4 TEOREMA DE ROLLE Si = f(x) es cotiua e [a,b] derivable e (a,b) f(a) = f(b), etoces (a,b) que cumple f () = 0 Gráficamete: = f(x) f(a) = f(b) 0 x a b Este teorema tiee ua iterpretació geométrica mu secilla. Si ua curva cotíua, co tagete e cada uo de sus putos, corta a ua recta paralela al eje 0x e dos putos de abscisas a b, co a < b, etoces e esta curva existirá por lo meos u puto de abscisa co a < < b, e el cual la tagete es paralela al eje 0x (por ser f () = 0). TEOREMA DE CAUCHY Si f(x) g(x) so fucioes cotiuas e [a,b ], co g(a) g(b), derivables e (a,b ), co derivadas o simultáeamete ulas, etoces: f (x) f (a) f ( ) x (a,b] : a < < x / supuesto g(x) g(a). g(x) g(a) g ( ) O sea que el cociete de los icremetos de f g es igual al cociete de las respectivas derivadas e u puto, iterior al itervalo [a,x]. TEOREMA GENERALIZADO DE CAUCHY Si f(x) g(x) so dos fucioes derivables hasta el orde k e [a,b], tal que: f(a) = f (a) =...= f (k - 1) (a) = 0 (1) g(x), g(x),..., g (k - 1) (x) so ulas úicamete e x = a g (k) (x) 0 x [a,b ], etoces: f (x) f x (a,b ] : a < < x / g(x) g k k ( ) ( ) 4

5 FORMULA GENERALIZADA DE Lagrage Si f(x) es ua fució derivable e [a, b] hasta el orde k se aula juto co sus (k - 1) primeras derivadas e x = a, etoces: x (a,b] : a < < x / f(x) = (x - a) k. f (k) () k! FORMULA DE MAC LAURIN PARA POLINOMIOS Sea P(x) u poliomio de grado e R, digamos: P(x) = a 0 + a 1 x + a x a x x R Queremos determiar los valores de los coeficietes a 0, a 1, a,..., a e fució de los valores que toma el poliomio jutamete co alguas de sus derivadas e el puto x = 0 (0ríge). P(x) = a 0 + a 1 x a S x S a x P(0) = a = a 0 P(x) = a 1 + a x s a S x S a x - 1 P(0) = a = a 1 P(x) = a + 3. a 3 x s. (s - 1) a S x S ( - 1) a x - P(0) = a = a =! a... P () (x) = ( - 1) ( - )...1 a x - =! a P () (0) =! a Por lo tato, los coeficietes de P(x) resulta e fució del valor del poliomio sus primeras derivadas e x = 0, así : a 0 = P(0) a 1 = P(0) a = P(0)!... a = P () (0) Fialmete, P(x) se puede rescribir así:! P(x) = P(0) + P(0) x + P(0) x P () (0) x, x R!! Esta última expresió recibe el ombre de FORMULA DE MAC LAURIN PARA UN POLINOMIO FORMULA DE MAC LAURIN PARA UNA FUNCION f(x) E geeral, la fórmula de Mac Lauri para poliomios o podría aplicarse si más para ua fució cualquiera f(x), derivable hasta el orde e u etoro de x 0 = 0, a que e geeral f(x) o es u poliomio: 5

6 f (0) f (0) f (0) 3 f (0) f (x) f (0).x.x.x....x! 3!! al segudo miembro le faltaría algo para completar la fució f(x). Si llamamos T (x) a ese algo que haría posible la igualdad de ambos miembros, ua fució de la variable x, tedríamos: f (0) f (0) f (0) 3 f (0) f (x) f (0).x.x.x....x T (x) x! 3!! Esta última expresió se deomia Fórmula de Mac Lauri para ua fució f(x) derivable hasta el orde e u etoro de x =0. La fució T (x) recibe el ombre de Térmio Complemetario o Resto, trataremos de ecotrar ua expresió para él mas adelate. FORMULA DE TAYLOR PARA UNA FUNCION f(x) La fórmula de Mac Lauri para fucioes que hemos visto, está desarrollada alrededor de x = 0, esto es, cosiderado los valores de f(x) de f(x) () e x = 0. Es evidete que se podría teer fórmulas similares alrededor de cualquier puto x = a coveiete, es decir, e u etoro de x = a. Gráficamete: E la fórmula de Mac Lauri: x 0 x (I) etoro de x 0 = 0 Tambié, si etoro de x 0 = a, coveietemete: h a a + h (II) Etoces, segú (I) (II), reemplacemos e la fórmula de Mac Lauri para f(x) idicada ates: el puto 0 por el puto a, el puto x por el puto a + h, la logitud x h resultará así la Fórmula de TAYLOR para f(x) siguiete. f (a) f (a) f (a) 3 f (a) f (a h) f (a).h.h.h....h T (a h) x etoro! 3!! abierto de x = a. Ahora, si hacemos a + h = x e (II) x - a a x (III) Tedremos, haciedo los cambios respectivos segú (III) teiedo e cueta (II) f (a) f (a) f (x) f (a).(x a).(x a)! x, etoro abierto de x 0 = a f (a).(x a) 3! Lo aterior es otra presetació de la fórmula de Talor para f(x). 3 f (a)....(x a)! T (x) 6

7 EXPRESION DEL RESTO EN LA FORMULA DE TAYLOR Es obvio que para que ua f(x) pueda expresarse mediate la fórmula de Talor o de Mac Lauri, debe ser derivable por lo meos hasta el orde e u etoro abierto de x = a o bie de x = 0, respectivamete. Supogamos, ahora, que f(x) es derivable hasta el orde + 1 e u etoro abierto de x = a ecotremos ua expresió para el térmio complemetario T (x). Como por la fórmula de Talor para f(x) es: f (a) f (a) f (a) 3 f (a) f (x) f (a).(x a).(x a).(x a)....(x a) T (x)! 3!! resultará que: f (a) f (a) f (a) 3 f (a) T (x) f (x) f (a).(x a).(x a).(x a)....(x a)! 3!! es derivable hasta el orde ( + 1) e. Además: T (a) = f(a) - f(a) = 0 Ahora: T (x)=f (x) - f (a) - f (a) (x-a) _ f (a) (x-a)² _... _ f () (a) (x-a) -1! (-1)! T (a) = f (a) - f (a) = 0 Tambié: T (x) = f (x) - f (a) - f (a) (x - a) -... _ f () (a) (x - a) - T (a) = f (a) - f (a) = 0... Fialmete: () T (x) = f () (x) - f () (a) () T (a) = f () (a) - f () (a) = 0 así: (+1) T (x) = f (+1) (x) (I) ( - )! Por lo tato, T (x) es ua fució derivable hasta el órde ( + 1) e u etoro de x = a, tal que se aula cojutamete co sus primeras derivadas e x = a. Por ello, podemos utilizar la Fórmula geeralizada de Lagrage, etoces: (x a) T (x) ( 1)! Pero: 1 T (1) ( ) co a < < x o bie x < < a (1) (1) 1 T ( ) f ( ) (x a) (1) por (I) e cosecuecia T (x) f ( ) ( 1)! co a < < x o bie x < < a, que es la expresió de Lagrage para el térmio complemetario. Etoces, reemplazado e la fórmula de Talor para f(x), obtedremos: 7

8 f (a) f (a) f (x) f (a).(x a).(x a)! f (a).(x a) 3! 3 f (a)....(x a)! ( (x a) ( 1)! x, co a < < x o bie x < < a, que es la llamada Fórmula de Talor co la expresió de Lagrage para el resto. Observaremos que tambié podemos escribir : = a + h, co 0 < < 1 h = x - a. Fialmete, si hacemos a = 0 e la aterior expresió de f(x), tedremos la Fórmula de Mac Lauri co la expresió de Lagrage para el térmio complemetario: x : ( 1) f (0) f (0) f (0) 3 f (0) (x) ( 1) f (x) f (0).(x).(x).(x)....(x) f ( x)! 3!! ( 1)! co 0 < < 1, pues hemos tomado = x FORMULAS DE TAYLOR Y MAC LAURIN PARA FUNCIONES DE DOS VARIABLES INDEPENDIENTES Dada ua fució z = f(x,) que sea difereciable hasta el orde ( + 1) e u etoro abierto del puto A(a,b), trataremos de aproximar el valor de la fució f(x,) e todo puto B(a + h, b + k) de dicho etoro mediate u poliomio e h k, e meos de u térmio complemetario T. Sea, etoces, A(a,b) R², etoro abierto, circular o rectagular, de A(a,b), z = f(x,) ua fució difereciable hasta el orde ( + 1) e B(a + h, b + k). 1) f ( 1) ( ) b +k P B b A P C 0 a x a +h x Sea P(x,) u puto variable sobre el segmeto de recta AB. Los triágulos APP ACB so semejates, ver figura aterior. Etoces, tedremos: AP = AP = PP = t, co 0 t 1 (1) AB AC CB 8

9 t = 0 => AP = 0 => P A t = 1 => AP = AB ==> P B volviedo a (1), resulta que es: t = AP = x - a AC h t = PP = - b CB k resolviedo esto e x e, obtedremos: x = a + h. t = x(t) = b + k. t = (t) para t [0,1] (ecuacioes paramétricas del segmeto de recta AB ) Así, para P(x,) variable sobre AB, resultará z = f(x,) = f [ x(t), (t) ] = F(t), co t [0,1], fució compuesta de la variable t. Por otra parte, como z = f(x,) es difereciable hasta el orde ( + 1) x(t), (t) so derivables (so lieales), resulta que F(t) = f [ x(t), (t) ] es derivable hasta el orde ( + 1). Etoces, usado la fórmula de Mac Lauri para F(t): F(t) = F(0) + F(0) t + F(0) t² F () (0) t + F (+1) (t) t +1 co 0 < < 1!! ( + 1)! Haciedo t = 1 e lo aterior, teemos: F(1) = F(0) + F(0) + F(0) F () (0) + F ( + 1) () () co 0 < < 1!! ( + 1)! Ahora, aalizado () observamos que: F(1) = f(a + h. 1, b + k. 1) = f(a + h, b + k) F(0) = f(a + h. 0, b + k. 0) = f(a,b) F (t) F (t) df(t) df(t) df df x(t), (t) f x(t), (t) dx f x(t), (t) x.. d x(t), (t) f x(t), (t) f x(t), (t).h. k x F (t) h x k f (a h.t,b kt) df(a h.t,b k.t) Hx(t), (t) 9

10 F (0) F (t) h x h x F (0) F F F 1 1 h x k f (a,b) df(a,b) df (t) dh x(t), (t) (por lo visto cuado obtuvimos F(t) ) k Hx(t), (t) k h x (0) x (t) ( ) h h x h x f (a ht,b kt) k k k k h x f (a,b) 1 1 d f (a, b) d k h x f (a,b) f (a, b) f (a ht,b kt) d f (a h,b k) d haciedo los reemplazos correspodietes e (), llegaremos a: f (a h, b k) 1 h k! x f (a, b) f (a, b) kf (a ht,b kt) 1 1 f (a h.t,b k.t) f (a h.,b k. ) 1 1 h kf (a, b) h k f (a, b)... x! x 1 (3) co 0 < < 1 1 h k f (a h, b.k) x Si e (3), pasamos al primer miembro el primer térmio del segudo miembro, teiedo e cueta que f(a+h, b+k) - f(a,b) = z, podremos escribir: df(a,b) d f (a,b) d f (a,b) d z......!! 1 f (a.h,b.k) ( 1)! (4), co 0 < < 1 Si ahora hacemos e (3) h = x - a, k = - b, resultará que x = a + h, = b + k; Luego, haciedo los correspodietes reemplazos e (3), se tedrá (x,) etoro de A(a,b): 10

11 f (x, ) f (a, b) 1 (x a) x 1 (x a) ( b) x 1 f ( b) f (a, b)... a (x a), b.( b) (5) 1 (x a) ( b)! x f (a, b) (3), (4) (5) costitue tres presetacioes diferetes de la Fórmula de Talor para ua fució de dos variables idepedietes z = f(x,). Fialmete, si e la fórmula de Talor (5) hacemos (a,b) = (0,0), o sea que la desarrollamos a f(x,) e u etoro del orige (0,0), resulta la Fórmula de Mac Lauri para ua fució de dos variables idepedietes z = f(x,). NOTA: Las fórmulas de Talor de Mac Lauri vistas para fucioes de dos variables idepedietes se puede geeralizar, co similar demostració de las mismas, para fucioes de variables idepedietes. La fórmula de Talor para fucioes de varias variables idepedietes permite, al igual que aquella para fucioes de ua variable idepediete, aproximar fucioes e u etoro de u puto establecido, que sea difereciables hasta u orde dado e dicho etoro, mediate poliomios de varias variables. El error que se comete e dicha aproximació está dado por el térmio complemetario. 11