Series de funciones en C z n z. f n (z) converge puntualmente en D C, entonces
|
|
- Agustín Calderón Revuelta
- hace 5 años
- Vistas:
Transcripción
1 Series de fucioes e C. Defiició. Sea f : D C;, ua sucesió de fucioes. Sea S : D C la sucesió defiida por S (z) = f (z). La serie f (z) se dice covergete e z D si la sucesió {S (z)} es k= covergete e z D. La fució límite S(z) de {S (z)} se deomia la suma de la serie f (z) e el puto z. Escribiremos S(z) = lim S (z) = f (z). Ejemplo. Determiar la suma de la serie ( + z ) + z + para z. Tedremos ( S(z) = lim S (z) = lim + z ) + z + = + + z + z si z <, si z >. Puesto que las series de fucioes so sucesioes de fucioes, los coceptos de covergecia putual, campo de covergecia putual y covergecia uiforme para series de fucioes o precisa ua ueva defiició. El siguiete resultado es codició ecesaria para la covergecia. Proposició. Supogamos que la serie f (z) coverge putualmete e D C, etoces la sucesió {f (z)} coverge putualmete a cero e D. Defiició. Ua serie f (z) se dice absolutamete covergete e u puto z 0 D si la serie umérica f (z 0 ) es covergete. Como sucede co las series de úmeros complejos, la covergecia absoluta de ua serie de fucioes implica la covergecia putual. El campo de covergecia absoluta se defie como el cojuto {z 0 D : f (z 0 ) coverge}. Defiició 3. Ua serie f (z) se dice uiformemete covergete e D si la sucesió de las sumas parciales {S (z)} es uiformemete covergete e D. El siguiete criterio proporcioa codicioes suficietes para la covergecia uiforme y absoluta de ua serie de fucioes; se deomia Criterio de Weierstrass.
2 Proposició. Sea f (z) ua serie de fucioes defiidas e D C. Supogamos que existe ua sucesió {α } de úmeros reales positivos tal que: f (z) α z D, la serie α es covergete. Etoces la serie f (z) coverge absoluta y uiformemete e D. Ejemplo. Determiar la regió de covergecia de la serie e cos(z). La covergecia solo será posible para aquellos z tales que lim e cos(z) = 0. Observemos que e cos(z) = e (eiz + e iz ) = e ( e i(x+iy) + e i(x+iy)) = ( e (+y) e ix + e ( y) e ix). Luego, será suficiete impoer que < y < para que el térmio geeral tieda a cero cuado. Aalicemos ahora si la serie coverge e el cojuto D = {z C : Im (z) σ, σ > 0 arbitrariamete pequeño}. Usaremos el criterio de Weierstrass. Para ello, observemos que e cos(z) e (e y + e y) e e y e e ( σ) = e σ z D. Como la serie e σ es covergete (es ua serie geométrica de razó e σ < ), la serie e cos(z) coverge absoluta y uiformemete e D. Ejemplo 3. Probar que la serie ( ) + z coverge uiformemete para todo z C. Comecemos observado que o coverge absolutamete para igú z C, pero la serie es alterada; por el criterio de Leibiz, coverge putualmete para todo z C, diverge para todo z C; por lo tato, o habrá covergecia absoluta e C, + z para todo z C, + z, pero como diverge, o podremos aplicar el criterio de Weierstrass para determiar la covergecia uiforme.
3 Utilizaremos etoces la defiició de covergecia uiforme. Sea S(z) la suma de la serie. Como es ua serie alterada, tedremos S(z) S (z) = k= ( ) + z ( ) = + z k= Luego, la covergecia es uiforme e C. k=+ ( ) + z + + z + z C. Defiició 4. Sea z 0 C y {a } 0 ua sucesió de úmeros complejos. La serie asociada a la sucesió de fucioes f (z) = a (z z 0 ) ; 0, se deomia serie de potecias e C. Escribiremos a (z z 0 ). 0 Observemos que siempre será covergete e z 0. El cojuto c = {z C : z z 0 < R} se deomia disco de covergecia de la serie. Proposició 3. El radio de covergecia, R, de la serie de potecias 0 a (z z 0 ) puede calcularse de la siguiete maera: R = lim siempre que el límite exista (Criterio de la raíz o de Cauchy), a si a 0 a partir de cierto e adelate, R = lim (Criterio del cociete o de D Alembert), R = lim sup a (Fórmula de Cauchy - Hadamard), a, siempre que el límite exista a + co los coveios, R = si el límite es igual a 0 y R = 0 si el límite es igual a. Sobre el borde del disco c ; es decir, e los putos z : z z 0 = R, la serie puede coverger o diverger. Ejemplo 4. Ecotrar la regió de covergecia de la serie de potecias E este caso, tedremos { a = + ( ) 3 si es par, = si es impar. ( + ( ) ) z. Luego, lim sup a = 3; por lo tato, R =. Etoces, la serie coverge absolutamete e el 3 disco D : {z : z < /3} y coverge uiformemete e cualquier cerrado coteido e D.
4 Ejemplo 5. Calcular el radio de covergecia de la serie de potecias (i) z. El coeficiete geeral a k será distito de cero si, y solo si, k = y, e este caso, tedremos = k. Etoces, { (i) k si k = a k =, 0 si k. Aplicado la Fórmula de Cauchy - Hadamard, Luego la serie coverge e el disco z <. R = lim sup k ( ) /k a k = lim k = lim k k k k / =. Ejemplo 6. Calcular el radio de covergecia de la serie de potecias + z ; s. Estudiar s el comportamieto de la serie e el borde del disco de covergecia e los casos s = y s =. Como a 0 para todo, utilizaremos el criterio del cociete. Tedremos Ahora, si z =, tedremos R = lim a + a ( ) s = lim =. + * para s =, coverge; luego + z coverge absolutamete para todo z e el borde. * para s =, diverge; luego + z ( ) coverge; luego + Qué sucede e los otros putos del borde? diverge si z =, z coverge si z =. Haciedo z = e iθ, obtedremos + cos(θ) y si(θ) que correspode, respectivamete, a la parte real e imagiaria de la serie origial. Se puede probar que ambas series coverge para 0 < θ < π, pero usado criterios más sofisticados que los estudiados e este curso.
5 Aquí seguiremos otro camio. Cosideremos la serie z +. Por el criterio de Weierstrass, esta serie coverge absoluta ( + ) y uiformeete e z. Su eésima suma parcial será Ŝ (z) = z + z3 6 + z4 + + z+ ( + ). Sea S (z) la eésima suma parcial de la serie z. Etoces, (z )S (z) = (z ) (z + z + z z ) = z + Ŝ (z) + z+. Obsevemos que, si z, lim ( z + Ŝ (z) + z+ ) = z + z + ( ( + ) = z z ). ( + ) Luego, para todo z perteeciete al disco cerrado z, lim S (z) existe. Por lo tato, lim S (z) = z = z ( z z ). ( + ) Cocluimos que, co excepció de z =, la serie coverge e todo puto del borde del disco de covergecia.
una sucesión de funciones de A. Formemos una nueva sucesión de funciones {S n } n=1 de A de la forma siguiente:
Tema 8 Series de fucioes Defiició 81 Sea {f } ua sucesió de fucioes de A Formemos ua ueva sucesió de fucioes {S } de A de la forma siguiete: S (x) = f 1 (x) + f 2 (x) + + f (x) = f k (x) Al par de sucesioes
Más detallesPráctica 4 Series de funciones y de potencias
MATEMATICA 4 - Aálisis Matemático III Primer Cuatrimestre de 208 Práctica 4 Series de fucioes y de potecias. (*) Aalizar la covergecia putual y uiforme de las siguietes sucesioes de fucioes e los cojutos
Más detallesPráctica 4. Re(z n ) y Im(z n ) n=1 convergen (absolutamente). z n. n=1. n=1. n αn? Demostrarlo. n=0 converge si z < 1 diverge si z > 1. para z < 1.
MATEMATICA 4 er Cuatrimestre de 205 Práctica 4. Sea (z ) ua sucesió de úmeros complejos. Probar a) z coverge (absolutamete) si y sólo si las series Re(z ) y Im(z ) coverge (absolutamete). b) si z coverge
Más detallesMATEMATICA 4 Segundo Cuatrimestre Práctica 4 A = R
MATEMATICA 4 Segudo Cuatrimestre 2007 Práctica 4. Hallar el límite putual de la sucesió (f ) defiida sobre A R, e los siguietes casos: a) f (x) = x A = (, ] b) f (x) = x + x 2 A = R c) f (x) = 2 x( x 2
Más detallesSeries de números reales
Tema 6 Series de úmeros reales 6. Series de úmeros reales. Defiició 6. Sea {a } ua sucesió de úmeros reales y cosideremos la sucesió {S }, defiida por S = a + a + + a, para cada IN, que llamaremos sucesió
Más detalles(a n a n+1 ) n(n + 1) = Comprobar que las siguientes series no son convergentes. ( 1) n. 2 n+2 3 n 2,
FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES COMPLEMENTOS DE ANÁLISIS MAESTRíA EN ESTADíSTICA MATEMÁTICA SEGUNDO CUATRIMESTRE 2007 PRÁCTICA 4. Probar que si la serie es covergete,
Más detallesSeries de potencias Introducción. Temas Series de potencias. Intervalo y radio de convergencia de una serie de potencias.
Sesió 27 Series de potecias Temas Series de potecias. Itervalo y radio de covergecia de ua serie de potecias. Capacidades Coocer y compreder el cocepto de serie de potecias. Determiar el itervalo y el
Más detallesHoja de Problemas Tema 3. (Sucesiones y series)
Depto. de Matemáticas Cálculo (Ig. de Telecom.) Curso 23-24 Hoja de Problemas Tema 3 (Sucesioes y series) Sucesioes de úmeros reales. Sea {a } N, {b } N sucesioes de úmeros reales. Demostrar o refutar
Más detallesEJERCICIOS DE SERIES DE FUNCIONES
EJERCICIOS DE SERIES DE FUNCIONES. Campo de covergecia. Covergecia uiforme. Determiar el campo de covergecia de la serie 2 se x. Aplicado el criterio de la raíz, la serie es absolutamete covergete cuado:
Más detallesTEORÍA DE CÁLCULO I. Para Grados en Ingeniería. Capítulo 3: Sucesiones y series. Domingo Pestana Galván José Manuel Rodríguez García
TEORÍA DE CÁLCULO I Para Grados e Igeiería Capítulo 3: Sucesioes y series Domigo Pestaa Galvá José Mauel Rodríguez García Figuras realizadas co Arturo de Pablo Martíez TEMA 3. Sucesioes y series 3. Sucesioes
Más detallesAnálisis Matemático IV
Aálisis Matemático IV Relació 4. Ejercicios resueltos Ejercicio : Estudiar la covergecia putual y uiforme de las siguietes series fucioales e los cojutos que se idica (i) Σ x =! e x e [0, ] Primero, estudiamos
Más detallesSeries alternadas. n n. Es decir sus términos son alternadamente positivos y negativos. Se analiza su comportamiento utilizando el siguiente teorema:
So series de la forma Series alteradas + ( ) a o ( ) a co a > = =. Es decir sus térmios so alteradamete positivos y egativos. Se aaliza su comportamieto utilizado el siguiete teorema: Teorema de Leibiz
Más detallesSesión 8 Series numéricas III
Sesió 8 Series uméricas III Defiició Serie de Potecias Si a 0, a, a,, a so úmeros reales y x es ua variable, ua expresió de la forma a x, se llama Serie de Potecias. Lo abreviaremos co SP. Alguos ejemplos
Más detallesDepartamento de Matemáticas
MA5 Clase 5: Series de potecias. Operacioes co series de potecias. Series de potecias Elaborado por los profesores Edgar Cabello y Marcos Gozález Cuado estudiamos las series geométricas, demostramos la
Más detallesUniversidad Simón Bolıvar. Departamento de Matemáticas puras y aplicadas. Autoevaluación No. 1 MA2115 Enero 2009
Uiversidad Simó Bolıvar. Departameto de Matemáticas puras y aplicadas. Autoevaluació No. MA25 Eero 2009 I. Evaluació Teórica.. Diga la defiició de ua sucesió covergete, la defiició de ua sucesió divergete
Más detallesSerie de Potencias. Denición 1. A una serie de la forma. a n (x c) n. a n x n
Uidad 5 Covergecia Uiforme 5.1 Series de potecias y radio de covergecia. Serie de Potecias Deició 1. A ua serie de la forma a () dode a 1, a 2,..., a,... so costates y c R es jo, se le llama serie de potecias
Más detallesSucesiones y series de números reales
38 Matemáticas : Cálculo diferecial e IR Capítulo Sucesioes y series de úmeros reales Sucesioes Defiició 37- Llamaremos sucesió de úmeros reales a cualquier aplicació f: N R y la represetaremos por { a,
Más detallesPráctica 8: Series - Convergencia Uniforme - Espacios de Funciones
Cálculo Avazado Segudo Cuatrimestre de 2005 Práctica 8: Series - Covergecia Uiforme - Espacios de Fucioes Ejercicio. i) E cada uo de los casos siguietes, hallar el límite putual de la sucesió (f ) N deida
Más detallesSERIES POTENCIALES. 1.- Hallar el campo de convergencia de la serie potencial: 3 2 n. n n. 2 n = = ( ) ( 1)
Escuela de Igeieros de Bilbao Departameto Matemática Aplicada SERIES POTENCIALES.- Hallar el campo de covergecia de la serie potecial: ( + ) 3 y Realizado el cambio de variable, + 3 = y, teemos la serie:
Más detallesTEMA 4. Series de números reales. Series de Potencias.
TEMA 4 Series de úmeros reales. Series de Potecias.. Sucesió de úmeros reales Las sucesioes de úmeros reales so ua buea herramieta para describir la evolució de ua magitud discreta, y el ite surge al estudiar
Más detallesS7: Series numéricas II
Dada la serie S = k= a k, si la suma es fiita diremos que es ua serie covergete y e caso cotrario ua serie divergete. A la siguiete sucesió de úmeros la llamaremos la sucesió de sus sumas parciales: S
Más detallesEXAMEN TEMA 1. Sucesiones, series, dos variables
GRUPO Ma 4-5) CÁLCULO Facultad de Iformática UPM) 5-Juio - 05 Tiempo: horas º º 3º 4º 5º suma EXAMEN TEMA. Sucesioes, series, dos variables. ptos.) Determiar el valor que ha de teer a R para que se cumpla
Más detallesEste documento es de distribución gratuita y llega gracias a El mayor portal de recursos educativos a tu servicio!
Este documeto es de distribució gratuita y llega gracias a Ciecia Matemática www.cieciamatematica.com El mayor portal de recursos educativos a tu servicio! Cálculo: Series Fucioales. Taylor y Fourier Atoio
Más detallesSucesiones. f : {1,2,...,r} S. Por ejemplo, la sucesión finita, (de longitud 4) de números primos menores que 10: 2,3,5,7
Sucesioes. Defiició Sucesió Matemática Ua sucesió fiita (a k ) (de logitud r) co elemetos perteecietes a u cojuto S, se defie como ua fució y e este caso el elemeto a k correspode a f(k). f : {,,...,r}
Más detallesCriterios de Convergencia
Semaa - Clase 3 7/09/08 Tema : Series. Itroducció Criterios de Covergecia Sólo podremos calcular la suma de alguas series, e la mayoría os será imposible y os tedremos que coformar co saber si coverge
Más detalles) = Ln(1 + 1 n ) 1 n. Ln( n ) n tiene términos positivos y si 0 < lím n n bn. < entonces ambas series divergen o bien ambas series convergen
Criterio de Comparació Si a 0 y b 0. Si existe ua costate C > 0 tal que a Cb etoces la covergecia de b implica la covergecia de a. Ejemplo.- Sabemos que la serie coverge a, pero como (+), etoces la serie
Más detallesSeries infinitas de números reales. Series convergentes
Series ifiitas de úmeros reales. Series covergetes Series ifiitas de úmeros reales. Series covergetes Las sucesioes de úmeros reales se itrodujero co la iteció de poder cosiderar posteriormete sus sumas
Más detallesS6: Series Numéricas (I)
S6: Series Numéricas (I) Aprederemos como hacer sumas co u úmero ifiito de térmios. U ejemplo de suma ifiita es: 0 + + + + 4 + 5 + Para sumarla primero sumaremos térmios y después haremos +. Notació: S
Más detalles4. Sucesiones de números reales
4. Sucesioes de úmeros reales Aálisis de Variable Real 2014 2015 Ídice 1. Sucesioes y límites. Coceptos básicos 2 1.1. Defiició de sucesió... 2 1.2. Sucesioes covergetes... 2 1.3. Sucesioes acotadas...
Más detallesSeries alternadas Introducción
Sesió 26 Series alteradas Temas Series alteradas. Covergecia absoluta y codicioal. Capacidades Coocer y aplicar el criterio para estudiar series alteradas. Coocer y aplicar el teorema de la covergecia
Más detallesCriterios de Convergencia
Semaa - Clase 3 0/0/0 Tema : Series Criterios de Covergecia La preguta que os plateamos es la siguite: Si hacemos que N etoces la suma N k= a k, tiee u límite? Existe alguas formas de averiguarlo, a pesar
Más detallesTALLER DEL CENTRO DE APRENDIZAJE DE MATEMÁTICAS
TALLER DEL CENTRO DE APRENDIZAJE DE MATEMÁTICAS Series Ifiitas de Números y Fucioes Guillermo Romero Melédez Departameto de Actuaría, Física y Matemáticas ü 1. SERIES DE NÚMEROS ü La serie =0 a = a 0 +
Más detallesSeries de potencias. Desarrollos en serie de Taylor
Capítulo 9 Series de potecias. Desarrollos e serie de Taylor E la represetació (e icluso e la costrucció) de fucioes, desempeña u papel especialmete destacado cierto tipo de series, deomiadas series de
Más detallesPrograma de Acceso Inclusivo, Equidad y Permanencia PAIEP. Universidad de Santiago de Chile. Series
Programa de Acceso Iclusivo, Equidad y Permaecia PAIEP Uiversidad de Satiago de Chile Series Sea {a } N ua sucesió de úmeros reales, etoces a la expresió a + a 2 + a 3 + + a + se le deomia serie ifiita
Más detallesFunciones de variable compleja
Tema 10 Fucioes de variable compleja 10.1 Fucioes complejas de variable compleja Defiició 10.1 Ua fució compleja de variable compleja es ua aplicació f: A C dode A C. Para cada z A, fz) C, luego fz) =
Más detallesSeries de números reales
Series de úmeros reales Covergecia de series uméricas Ejercicio. series: a) ) + b) 3 3 ) c) +) Aplicar el criterio de la raíz para estudiar la posible covergecia de las siguietes Solució. a) Aplicamos
Más detallesFACULTAD de INGENIERÍA Análisis Matemático A. TRABAJO PRÁCTICO N 6: Series numéricas - Series de potencias
FACULTAD de INGENIERÍA Aálisis Matemático A TRABAJO PRÁCTICO N 6: Series uméricas - Series de potecias a se sabe que su sucesió de sumas parciales {S } está dada por = ) De la serie + N. Calcule el carácter
Más detallesSeries Numéricas. Una forma de definir e es a través de la suma: 1. 1 0! + 1 1! + 1 2! + 1 3! + 1 4! + + 1 n. cuyo límite es e, es decir:
Capítulo Series Numéricas Las series uméricas so sucesioes muy particulares ya que se defie (o se geera) a partir de otra sucesió. Dos ejemplos secillos aparece e la defiició de e y el la Paradoja de Zeó.
Más detallesNOTA: En todos los ejercicios se deberá justificar la respuesta explicando el procedimiento seguido en la resolución del ejercicio.
E.T.S.I. Idustriales y Telecomuicació Asigatura: Cálculo I Pág. Grado Ig. Tec. Telecomuicació NOTA: E todos los ejercicios se deberá justificar la respuesta eplicado el procedimieto seguido e la resolució
Más detallesSUCESIONES Y SERIES DE FUNCIONES
CAPÍTULO XV. SUCESIONES Y SERIES DE FUNCIONES SECCIONES A. Campo de covergecia. Covergecia uiforme. B. Series de potecias. Itervalos de covergecia. C. Desarrollo de fucioes e series de potecias. D. Aplicacioes
Más detallesSucesiones de números reales
Sucesioes de úmeros reales Defiició y propiedades Sucesioes de úmeros reales 4 4 Defiició y propiedades 47 4 Sucesioes parciales 49 43 Mootoía 50 44 Sucesioes divergetes 53 45 Criterios de covergecia 54
Más detallesUniversidad Nacional Autónoma de México Licenciatura en Economía Cálculo Diferencial e Integral Series Infinitas
Uiversidad Nacioal Autóoma de México Liceciatura e Ecoomía Cálculo Diferecial e Itegral Series Ifiitas El ifiito! Nigua cuestió ha comovido ta profudamete el espíritu del ser humao. David Hilbert Defiició
Más detalles3.2. Teoremas de Dini
3.2. TEOREMAS DE DINI 63 3.2. Teoremas de Dii Defiició 3.11. Sea X u espacio métrico y {f } ua sucesió e C(X). Decimos que la sucesió {f } es moótoa e si para todo x X se cumple f (x) f +1 (x), 1, o bie
Más detallesTeoremas de convergencia. Integral sobre... Convergencia... Convergencia...
covergecia este capítulo teemos como objetivo demostrar las propiedades más importates de la Itegral de Lebesgue. teemos que demostrar todavía las propiedades fudametales de liealidad y aditividad respecto
Más detalles6. Sucesiones y Series numéricas Series numéricas DEFINICIONES Y PROPIEDADES
6. Sucesioes y Series uméricas 6.2. Series uméricas 6.2.. DEFINICIONES Y PROPIEDADES Series de úmeros reales Se llama serie umérica o de úmeros reales a la suma idicada de los ifiitos térmios de ua sucesió:
Más detallesEjemplos de análisis de varios tipos de convergencia
Ejemplos de aálisis de varios tipos de covergecia Objetivos Apreder a aalizar varios tipos de covergecia Requisitos Varios tipos de la covergecia, descripció e térmios de los cojutos auxiliares Se propoe
Más detallesListado para la Evaluación 2 Cálculo II (527148)
Uiversidad de Cocepció Facultad de Ciecias Físicas y Matemáticas Departameto de Matemática Área, Volume y Logitud de arco. Listado para la Evaluació Cálculo II (5748). Calcular el área ecerrada por la
Más detallesSERIES NUMÉRICAS. SECCIONES A. Series de términos no negativos. B. Ejercicios propuestos.
CAPÍTULO IX. SERIES NUMÉRICAS SECCIONES A. Series de térmios o egativos. B. Ejercicios propuestos. 40 A. SERIES DE TÉRMINOS NO NEGATIVOS. Dada ua sucesió {a, a 2,..., a,... }, se llama serie de térmio
Más detalles1. SUCESIONES Y SERIES
1. SUCESIONES Y SERIES Objetivo: El alumo aalizará sucesioes y las series para represetar fucioes por medio de series de potecias 1.1 Defiició se sucesió. Límite y covergecia de ua sucesió qué es ua sucesió?
Más detallesRESUMEN DE RESULTADOS IMPORTANTES ACERCA DE SUCESIONES Y SERIES
RESUMEN DE RESULTADOS IMPORTANTES ACERCA DE SUCESIONES Y SERIES MATE 3032 - DR. UROYOÁN R. WALKER. Sucesioes Teorema.. Sucesioes mootóicas acotadas coverge. Ejemplo.2. Sea {a } la sucesió deida recursivamete
Más detallesSucesiones de números reales
Sucesioes de úmeros reales Sucesioes Ejercicio. Prueba que si x
Más detalles1.1. SERIES NUMÉRICAS Y FUNCIONALES.
.. SERIES NUMÉRICAS Y FUNCIONALES. Dado el cojuto de los úmeros reales, ua sucesió de úmeros reales es ua aplicació de la forma: + a : Z verificado que a () = a, (2),, ( ), a = a 2 a = a. Usualmete e lugar
Más detallesExamen de Febrero de 2005 de Cálculo I. Soluciones.
Eame de Febrero de 5 de Cálculo I Solucioes Sea la fució f() = e sh + co domiio R a) Hallar los tres primeros térmios o ulos de su desarrollo de Taylor e = b) Probar que eiste su fució iversa f y calcular
Más detallesMAT2715 VARIABLE COMPLEJA II Ayudantia 8 Rodrigo Vargas
PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE FACULTAD DE MATEMÁTICAS MAT2715 VARIABLE COMPLEJA II Ayudatia 8 Rodrigo Vargas 1. Si Ω es u domiio e C. Demuestre que existe ua sucesió K } de subcojutos compactos
Más detallesvalor absoluto de sus términos, se tiene la serie: que si es convergente, entonces también es convergente la serie alternada.
(Aputes e revisió para orietar el apredizaje) CONVERGENCIA ABSOLUTA TEOREMA. Si e la serie alterada ( ) valor absoluto de sus térmios, se tiee la serie: a + a + + a + a se toma el = que si es covergete,
Más detalles1. Serie de Potencias
. Serie de Potecias Recordemos que dada ua sucesió {b } N, podemos defiir ua serie: E el caso particular e que b = a (x c) b la serie tedría la forma b = a (x c) y es llamada serie de potecias cetrada
Más detallesCAPÍTULO XIV. SERIES NUMÉRICAS ARBITRARIAS
CAPÍTULO XIV. SERIES NUMÉRICAS ARBITRARIAS SECCIONES A. Series de térmios de sigo variable. B. Series depedietes de parámetros. C. Ejercicios propuestos. 193 A. SERIES DE TÉRMINOS DE SIGNO VARIABLE. E
Más detallesAN ALISIS MATEM ATICO B ASICO.
AN ALISIS MATEM ATICO B ASICO. CRITERIOS DE CONVERGENCIA DE SERIES. E geeral, repetimos, o vamos a poder ecotrar la suma de ua serie covergete. Pero si su caracter, es decir si es covergete o o lo es.
Más detallesCapítulo 2. Series de números reales. 2.1 Convergencia de una serie de números reales.
Capítulo 2 Series de úmeros reales Defiició 2.0. Dada ua sucesió a, a 2, a 3,,, de úmeros reales, la sucesió S, S 2, S 3,, S, dode: S = a S 2 = a + a 2 S 3 = a + a 2 + a 3 S = a + a 2 + a 3 + + se dice
Más detalles4.- Series. Criterios de convergencia. Series de Taylor y Laurent
4.- Series. Criterios de covergecia. Series de Taylor y Lauret a) Itroducció. Series de fucioes reales. b) Covergecia de secuecias y series. c) Series de Taylor. d) Series de Lauret. e) Propiedades adicioales
Más detallesR. Urbán Introducción a los métodos cuantitativos. Notas de clase Sucesiones y series.
R. Urbá Itroducció a los métodos cuatitativos. Notas de clase Sucesioes y series. SUCESIONES. Ua sucesió es u cojuto umerable de elemetos, dispuestos e u orde defiido y que guarda ua determiada ley de
Más detallesUNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA FACULTAD DE INGENIERIA DEPARTAMENTO DE MATEMATICA APLICADA. Temas 5 y 6 Sucesiones y Series. Series de Potencias
Temas 5 y 6 Sucesioes y Series. Series de Potecias SUCESIONES E los siguietes problemas determie si la sucesió { } ecuetre el límite e caso de ser covergete..- { }.- { } = 5 a.- { } a 5.- { a} = + 9 a
Más detallesConstrucción de los números reales.
B Costrucció de los úmeros reales. E el cojuto C de las sucesioes de Cauchy de úmeros racioales defiimos la relació siguiete: si (x ) =1 e (y ) =1 so dos sucesioes de C etoces (x ) =1 (y ) =1, si lím (x
Más detallesSemana 10 [1/24] Sucesiones (II) 2 de mayo de Sucesiones (II)
Semaa 0 [/24] 2 de mayo de 2007 Sadwich de sucesioes Semaa 0 [2/24] Límites y Orde. Teorema Sea u ) y w ) sucesioes covergetes a u y w, respectivamete. Si 0 tal que para 0 se cumple que etoces u w. u w
Más detallesConvergencia de variables aleatorias
Capítulo Covergecia de variables aleatorias El objetivo del presete capítulo es estudiar alguos tipos de covergecia de variables aleatorias. Iiciaremos co la defiició de los distitos modos de covergecia...
Más detallesDepartamento de Matemáticas
MA5 Clase 3: Series de térmios positivos. Criterios de covergecia. Series de térmios positivos Elaborado por los profesores Edgar Cabello y Marcos Gozález La característica fudametal de ua serie cuyos
Más detallesACTIVIDADES NO PRESENCIALES
E.T.S.I. Idustriales y Telecomuicació Asigatura: Cálculo I Grado e Igeiería Mecáica Este documeto cotiee las actividades o preseciales propuestas al termiar la clase del día que se idica. Se sobreetiede
Más detallesSeries de potencias. Desarrollos en serie de Taylor
Capítulo 9 Series de potecias. Desarrollos e serie de Taylor E la represetació (e icluso e la costrucció) de fucioes, desempeña u papel especialmete destacado cierto tipo de series, deomiadas series de
Más detallesDefinición 13.1 Llamamos serie trigonométrica a una serie de funciones reales, de la forma. + n +ib n
ema 3 Series de Fourier. Hemos visto, e el tema 8, que alguas fucioes reales puede represetarse mediate su desarrollo e serie de potecias, lo que sigifica que puede aproximarse mediate poliomios. Si embargo,
Más detallesCriterios de convergencia para series.
Criterios de covergecia para series. Para series e geeral, existe ua serie de criterios de covergecia:. Primer criterio de comparació.- Si ( ) y (b ) so dos sucesioes de úmeros reales tales que m N, tal
Más detallesMATEMÁTICA D Módulo I: Análisis de Variable Compleja
MATEMÁTICA D Módulo I: Aálisis de Variable Compleja Uidad 4 Series Mag. María Iés Baragatti - Sucesioes Sea A u cojuto o vacío, ua sucesió defiida e A es simplemete u cojuto de elemetos de A escritos e
Más detalles( ) 1.8 CRITERIOS DE CONVERGENCIA PARA SERIES (1.8_CvR_T_061, Revisión: , C8, C9, C10) INTRODUCCIÓN. Forma general de una serie: + a 1
.8 CRITERIOS DE COVERGECIA PARA SERIES (.8_CvR_T_6, Revisió: -9-6, C8, C9, C).8.. ITRODUCCIÓ. Forma geeral de ua serie: S = = a = a + a + a +...+ a Suma de térmios. Si es fiito, la suma (S ) tambié es
Más detallesbc (b) a b + c d = ad+bc a b = b a
1 Cojutos 1 Describa los elemetos de los siguietes cojutos A = { x x 1 = 0 } D = { x x 3 x + x = } B = { x x 1 = 0 } E = { x x + 8 = 9 } C = {x x + 8 = 9} F = { x x + 16x = 17 } Para los cojutos del ejercicio
Más detalles1. a) Mostrar que los siguientes conjuntos están acotados. x b) Mostrar que los siguientes conjuntos no están acotados superiormente
FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES COMPLEMENTOS DE ANÁLISIS MAESTRíA EN ESTADíSTICA MATEMÁTICA SEGUNDO CUATRIMESTRE 2007 PRÁCTICA 3 1. a) Mostrar que los siguietes cojutos
Más detallesTema 6. Sucesiones y Series. Teorema de Taylor
Nota: Las siguietes líeas so u resume de las cuestioes que se ha tratado e clase sobre este tema. El desarrollo de todos los tópicos tratados está recogido e la bibliografía recomedada e la Programació
Más detalles1. Entrar en la página de Lemat
PRÁCTICA SUCESIONES Prácticas Lemat Práctica 6: Sucesioes uméricas Objetivos Ayudar a compreder los coceptos de sucesió, mootoía, acotació y límite de ua sucesió utilizado las herramietas gráficas y de
Más detallesTema 1.4: Series de potencias. Concepto de función analítica
Tema 1.4: Series de potecias. Cocepto de fució aalítica Facultad de Ciecias Experimetales, Curso 2008-09 E. de Amo Este tema está dedicado a la itroducció de u método expeditivo de creació de fucioes holomorfas
Más detalles2.- Pruebe, la convergencia de las siguientes sucesiones: b n. 4.- Investigar la convergencia de la sucesión dada por la formula recursiva :
UNIVERSIDAD SIMON BOLIVAR DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS APLICADAS MATEMATICAS IV TRIMESTRE Eero- Abril 004 PRACTICA DE SUCESIONES Y SERIES.- Ivestigue si las siguietes sucesioes so o o covergete. Si coverge,
Más detallesSucesiones de números reales Sucesiones convergentes: límite de una sucesión
Sucesioes de úmeros reales Sucesioes covergetes: límite de ua sucesió Tato e la educació secudaria obligatoria como e el bachillerato se habla poco de las sucesioes de úmeros reales. Si acaso se dedica
Más detalles1. (7 puntos)encuentre el área de la región acotada por la curva en el intervalo 0.
Uiversidad de Puerto Rico. Recito Uiversitario de Mayagüez Departameto de Ciecias Matemáticas Tercer Exame Departametal Mate 3032 4 de abril de 206 Nombre. Secció Número de Estudiate Profesor Número de
Más detallesTrabajo Práctico Nro. 9 ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALES Y SERIES DE FOURIER
F.I.U.B.A AÁLISIS AEÁICO III rabajo Práctico ro. 9 rabajo Práctico ro. 9 ECUACIOES DIFERECIALES E DERIVADAS PARCIALES Y SERIES DE FOURIER I.- Itroducció a las Ecuacioes Difereciales e Derivadas Parciales
Más detallesMATEMÁTICAS 2. GIE. El cuerpo de los números complejos.
MATEMÁTICAS. GIE. El cuerpo de los úmeros complejos.. Expresar los siguietes úmeros complejos e forma biómica: (a) ( + i) 3 (c) +3i 3 4i (e) i 5 + i 6 (g) + i + i + i 3 (b) i (d) (+i 3) 3 (f) π/ (h) π/4.
Más detallesUna sucesión es un conjunto infinito de números ordenados de tal forma que se puede decir cuál es el primero, cuál el segundo, el tercero, etc.
Sucesioes Sucesi o. Ua sucesió es u cojuto ifiito de úmeros ordeados de tal forma que se puede decir cuál es el primero, cuál el segudo, el tercero, etc. Los térmios de ua sucesió se desiga mediate a 1,
Más detallesLOS NUMEROS REALES. Conjunto no vacío designado como R y denominado conjunto de los números reales. En
LOS NUMEROS REALES Cojuto o vacío desigado como R y deomiado cojuto de los úmeros reales. E él se defie ua relació de igualdad = y dos operacioes algebraicas + y. Relació de igualdad Defiició: R = (a,b)
Más detallesFUNDAMENTOS MATEMÁTICOS DE LA INGENIERÍA. Práctica nº 3: Sucesiones y series numéricas.
INGENIERÍA TÉCNICA INDUSTRIAL - ESP. ELECTRÓNICA INDUSTRIAL CURSO 2003-2004 FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS DE LA INGENIERÍA Práctica º 3: Sucesioes y series uméricas. Abordamos e esta práctica el tratamieto co
Más detallesMás sobre límites de sucesiones Sucesiones parciales. Sucesiones monótonas.
Más sobre límites de sucesioes Sucesioes parciales. Sucesioes moótoas. E u artículo aterior habíamos hablado de las sucesioes de úmeros reales y del cocepto de límite de ua sucesió. Tambié, e otro artículo,
Más detalles1. INTRODUCCIÓN AL CONCEPTO DE LÍMITE
1. INTRODUCCIÓN AL CONCEPTO DE LÍMITE 1. Cocepto de límite 1.1 Defiició de etoro o vecidad: Si a es u úmero real (supógase que a está e el eje X), etoces, u etoro o vecidad de a de radio es u itervalo
Más detalles2x 8 x 2 1 = 4. = 2x 8 + 4x 2 4 x 2 1. Estamos calculando un límite cuando x está cerca de 3. Esto quiere decir que. x
ALGUNOS PROBLEMAS PROCEDENTES DE EXÁMENES PRECEDENTES.. problemas de ites y series. Pruebe, usado la defiició, que: x 3/ x 8 x = 4. Solució. Dado ɛ > 0 queremos que x 8 ( 4 x, sea meor que ɛ cuado x esté
Más detallesConvergencia absoluta y series alternantes
Istituto Politécico Nacioal Escuela Superior de Cómputo Covergecia absoluta y series alterates Uidad de apredizaje: Cálculo aplicado Grupo: CM6 Autores: Morales López Laura Adrea Otiveros Salazar Ala Erique
Más detallesEvaluación NOMBRE APELLIDOS CURSO Y GRUPO FECHA CALIFICACIÓN. 9. Límite y continuidad
Evaluació NOMBRE APELLIDOS CURSO GRUPO FECHA CALIFICACIÓN Calcula el térmio geeral de ua progresió geométrica que tiee de térmio a y por razó /. a) b) c) El 6 es: a) b) 0 c) / 6 7 El es: a) b) c) 0 El
Más detallesTRABAJO DE GRUPO Series de potencias
DPTO. MATEMÁTICA APLICADA FACULTAD DE INFORMÁTICA (UPM) TRABAJO DE GRUPO Series de potecias CÁLCULO II (Curso 20-202) MIEMBROS DEL GRUPO (por orde alfabético) Nota: Apellidos Nombre Este trabajo sobre
Más detalles1. Sucesiones y series numéricas
ITINFORMÁTICA GESTIÓN BOLETÍN DE PROBLEMAS CÁLCULO INFINITESIMAL CURSO 00- Sucesioes y series uméricas Escribir ua expresió para el -ésimo térmio de la sucesió: +, + 3 4, + 7 8, + 5 6, 3, 3 4, 3 4 5, c),,
Más detallesSucesiones. Límite de una
Capítulo 3 Sucesioes. Límite de ua sucesió 3.. Itroducció La oció de sucesió es u istrumeto importate para el estudio de u gra úmero de problemas relativos a las fucioes. Ua sucesió es, simplemete, ua
Más detallesPROPIEDADES DE LAS SUCESIONES. Un tipo importante de sucesiones son las llamadas sucesiones monótonas.
ANÁLISIS MATEMÁTICO BÁSICO. PROPIEDADES DE LAS SUCESIONES. U tipo importate de sucesioes so las llamadas sucesioes moótoas. Defiició.. a: Ua sucesió de úmeros reales ( ) = se llama moótoa creciete si +
Más detallesIngeniería Industrial. Curso 2009-2010. Departamento de Matemática Aplicada II. Universidad de Sevilla. Lección 5. Series.
CÁLCULO Igeiería Idustrial. Curso 2009-200. Departameto de Matemática Aplicada II. Uiversidad de Sevilla. Lecció 5. Series. Resume de la lecció. 5.. Sucesioes y series. Sucesió covergete. Se de e ua sucesió
Más detallesPráctica 3 Sucesiones y series
Práctica 3 Sucesioes y series El programa Mathematica os sirve de ayuda para estudiar el comportamieto de sucesioes y series de úmeros reales, mediate las istruccioes Limit y Sum que os permitirá, e la
Más detallesMATEMÁTICA LIC. Y PROF. EN CS. BIOLÓGICAS
Defiició de límite de ua fució (segú Heie) Sea f : D R ua fució y a R (D R) Diremos que se cumple que f() L R a f( ) L si para cualquier sucesió { } D { a} tal que a Ejemplos: ) Probar que Demostració:
Más detallesSucesiones. Liceo Nº 35 - IAVA
Liceo Nº 35 - IAVA Como ya lo hemos hablado e clase, este material NO sutituye el estudio e los libros recomedados NI es el teórico del curso, simplemete es u ordeamieto de alguos coceptos y teoremas que
Más detallesEXAMEN FINAL 15 de enero de Titulación: Duración del examen: 2 horas 30 Fecha publicación notas: Fecha revisión examen:
CÁLCULO I EXAMEN FINAL 15 de eero de 16 Apellidos: Titulació: Duració del exame: horas 3 Fecha publicació otas: -1-16 Fecha revisió exame: -1-16 Todas las respuestas debe de estar justificadas acompañádolas
Más detalles