Otro ejemplo es la tasa de cambio del tamaño de una población (N), que puede expresarse como:

Transcripción

1 SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES Autor: Keith Gregso Traducció: José Alfredo Carrillo Salazar Muchos sistemas diámicos puede represetarse e térmios de ecuacioes difereciales. Por ejemplo, la tasa de cambio de temperatura de u cuerpo (u que pierde calor por covecció atural e u ambiete a temperatura costate (T, puede aproximarse co la siguiete ecuació: du = 0. 55( u T. 5 Otro ejemplo es la tasa de cambio del tamaño de ua població (N, que puede expresarse como: dn = k N k N dode k represeta la tasa de acimieto k la tasa de mortalidad debido a la falta de recursos, etc. Ua ecuació diferecial se dice que es de orde si cotiee derivadas del orde o derivadas de u orde maor. d = f ( x, co la codició dx (x0 = 0 La expresió aterior es ua ecuació diferecial e la cual x es la variable idepediete es la variable depediete. Los matemáticos usa la otació d d para referirse a, para referirse a, etc. E el caso especial dx dx cuado la variable idepediete es el tiempo, etoces se usa la siguiete otació: d d,, etc. Por el mometo, se abordará úicamete las solucioes a ecuacioes difereciales de primer orde. Esta o es ua restricció severa debido a que ecuacioes difereciales de orde maor puede ser expresadas e térmios de u juego de ecuacioes difereciales de primer orde. Por ejemplo:

2 = g(x,, puede ser expresada e dos ecuacioes: z = g(x,,z = z Otra restricció que se hará e este documeto es la solució de ecuacioes e las cuales se cooce las codicioes iiciales; por ejemplo, cuado se sabe que el valor de 0 correspode a x 0. Método de Euler La solució de ecuacioes difereciales puede ser ilustrada de la siguiete maera: Si se cooce el valor de e algú puto, por ejemplo 0 = (x 0, etoces se puede graficar ese puto. Tambié coocemos su derivada e ese puto, por lo que podemos predecir el valor de la fució e x, siempre cuado x o esté mu retirado de x 0., bajo el supuesto que la fució puede ser aproximada mediate ua líea recta. (x, (x, 0 o (x 0, 0 x 0 x x x

3 Se puede repetir el proceso de x a x como se muestra e el diagrama gradualmete costruir ua tabla de valores subsecuetes de i = f(x i. Estos pasos se puede resumir e la siguiete ecuació: d = + dx ( x x Este método se cooce como el método de Euler. Obviamete, este proceso puede ser repetido tatas veces como sea ecesario para poder cubrir el itervalo requerido. Si embargo, aú tomado pasos mu pequeños, la precisió puede o ser mu alta debido a que los valores predichos puede estar subestimados o sobrestimados, lo cual depederá de la curvatura de la fució verdadera. Este proceso ilustra el pricipio geeral de que la precisió de los cálculos computacioales depederá de dos factores: la precisió del cálculo idividual de los pasos de la geeració de errores (estabilidad cuado se procede a calcular muchos pasos. Nótese que e la práctica, o es recomedable utilizar este método. Es ieficiete puede ser impreciso. La solució de ecuacioes difereciales simultáeas, puede ser obteida si se aplica la ecuació aterior a cada ua de las variables e turo, e cada paso, e u tiempo determiado. Método de Euler modificado El proceso ateriormete descrito tiee problemas obvios se puede mejorar si se obtiee ua mejor estimació de la derivada e u itervalo. Eso se puede obteer si se usa el valor de predicho e x para de esta forma obteer ua ueva estimació de la derivada e x. El valor de la derivada e el itervalo x 0 x puede ser calculado como el valor promedio de estas dos derivadas. Si se parte de que el valor de la fució sus derivadas f(x, se cooce e x 0, se quiere calcular el valor de e x=x =x 0 + h (dode h es el tamaño del paso, el proceso se puede describir como a cotiuació: ip = 0 + h (x 0, 0 ic = 0 + (h/ ( (x 0, 0 + (x, p el que predice el que corrige E este proceso, el valor de p calculado se usa para corregir el proceso así obteer u mejor valor de ic. Es obvio que se puede repetir la seguda etapa de éste método idefiidamete e u proceso iterativo; esto es, a través de remplazar el valor predicho de p por el último valor corregido de c. Tambié, se puede usar algú método iterativo para resolver la seguda ecuació así obteer u valor verdadero de c : ( ( x0, 0 + ( x, ic = 0 + h

4 Se debe otar que e geeral, ic o será el valor real de (x u úmero excesivo de cálculos para evaluar ic puede ser cotraproducete. Probablemete dos o tres iteracioes so suficietes. Ua mejor precisió se puede obteer a través de dismiuir el tamaño del paso a la mitad; de esta forma, se hace que el sistema calcule co el doble de pasos. La diferecia etre los valores predichos calculados puede usarse como u idicador de la precisió de los cálculos. Si la diferecia es mu grade, etoces se puede dismiuir el tamaño del paso, si es mu pequeña etoces se puede aumetar el tamaño del paso. Método de Adams-Moulto El método de Euler modificado es u método predictor-corrector simple. Ha varios otros métodos que varía e complejidad aplicabilidad. Aquí se describe el algoritmo del método de Adams Moulto, el cual usa los valores de los cuatro pasos previos para calcular el valor uevo de. Si embargo, tiee la desvetaja de restrigir el tamaño de paso, debido a que cambiar el tamaño del paso requiere de calcular pasos itermedios o mateer muchos más valores. Además, ha problemas e éste método para calcular los valores iiciales. El procedimieto es el siguiete: 0, -, -, -3 dode h= - (para todas las Se calcula el valor uevo de de la siguiete maera:. Se utiliza la ecuació del predictor para geerar p : h = 0 + ( p. Se usa p para obteer ua primera estimació de = f ( x, p 3 3. Se usa la siguiete ecuació correctora para obteer ua mejor estimació: h = + ( c 4. Examie 0.05( p c Si iguo de los dos es mu grade (e caso cotrario, ha que dismiuir el tamaño de paso o mu pequeño (aumetar el tamaño de paso etoces:

5 5. Recalcular co c : f ( x, = c 6. Repetir el proceso desde el paso Métodos de Ruge-Kutta Otra serie de métodos dispoibles para la solució de sistemas de ecuacioes difereciales, so coocidos como Ruge-Kutta. E estos métodos los cálculos se hace u paso a la vez. La obteció de los métodos es complicada e geeral, la estimació del error es difícil. Si embargo, ua modificació al método, coocida como el método Ruge-Kutta-Merso, permite estimar el error e cada paso, es utilizada ampliamete. El algoritmo es el siguiete: k = hf ( x, h k k = hf ( x +, h k k = hf ( x +, h k k4 = hf ( x +, k k5 = hf ( x + h, k4 + ( k + k4 k5 6 + = 4 + Ua estimació del error puede obteerse co la siguiete ecuació: error 30 ( k 9k + k k La solució de ecuacioes simultáeas es ua extesió simple. El procedimieto es como arriba, e dode se calcula primero k para cada variable i ates de ir a calcular las k, etc.