Análisis en Componentes Principales (ACP).

Transcripción

1 Capítulo Aálisis e Compoetes Pricipales (ACP) Como ates se ha dicho, el Aálisis e Compoetes Pricipales, ACP, cosidera ua matriz R de datos iiciales de carácter o simétrico: Sus compoetes, r ij, so valores uméricos que, de maera cotiua, mide la variable j ésima (columas) e el i ésimo idividuo (filas) Veamos a cotiuació cómo el Aálisis Factorial Geeral se adapta a esta situació, de maera que tegamos e cueta que se trata de ua tabla estadística y o de ua mera matriz umérica R que hubiera que reducir o explicar e base a u cojuto meor de úmeros Queda pues cocretada la situació iicial e estos térmios: El espacio de las filas está costituido por idividuos El espacio de las columas está costituido por p variables Así pues, dispoemos de ua tabla de datos R (r ij ); i,, ; j,, p; sobre la que vamos a efectuar e primer lugar el Aálisis e R p, previa cocreció de la matriz X Aálisis e el espacio de las variables R p Segú el AFG, cosideraremos e ua primera fase los putos fila e el espacio vectorial R p de las columas (variables) E primer lugar, y dada la aturaleza estadística de la tabla iicial R, vamos a defiir sobre qué matriz, X, trasformada de la tabla R, vamos a realizar el AFG E realidad, cuado se tiee ua situació práctica del tipo que estamos cosiderado (variables idividuos), l as variables puede ser muy heterogéeas e cuato a sus valores medios Tambié desde luego lo puede ser respecto a su dispersió, provocada por escalas de medida a veces muy diferetes, pero esta otra fuete de heterogeeidad o la cosideramos e ua primera fase Así pues, como elimiar el efecto de la heterogeeidad de medidas? Hagamos ua iterpretació geométrica de la situació No olvidemos que hemos de realizar (Aálisis e R p ) el ajuste e R p (espacio de columas variables) de u subespacio que describa aproximadamete la ube de putos fila (los idividuos), co los criterios defiidos e el AFG Este subespacio, como tal, cotiee siempre al orige e el plateamieto básico del AFG, e dode o se cosidera la aturaleza estadística de la tabla sio meramete su caracter umérico Ahora, si embargo, teemos ua iformació adicioal sobre los valores uméricos, iformació estadística, que permite tratar la heterogeeidad de las medidas de las variables como u factor tato a cosiderar como a elimiar, e su posible efecto o deseado, a la hora de describir la proximidad de los putos fila Gráficamete lo que ocurre es que la posició de la ube de putos fila (idividuos) cambia, respecto del orige, frete a la adoptada e el AFG e dode o se cosidera el efecto de las medias e cada variable E leguaje geométrico, es claro que el espacio afí H es presumiblemete más apropiado para describir la ube de putos fila que el espacio vectorial H 0 (subespacio del R p ) Cosiderar este subespacio afí, o 7

2 8 Aálisis e Compoetes Pricipales (ACP) F R p H 0 h I h j O Figura : Recta afí altera la filosofía geeral del AFG, ya que lo que estadísticamete iteresa es la forma de la ube, o la posició de ésta respecto del orige Técicamete hablado, iteresa pasar el orige al cetro de gravedad (puto medio, cuyas coordeadas so las dadas por las p medias, r j, e las p variables), porque así, la búsqueda de la recta H (subespacio afí, cuado el orige está e 0) puede reducirse a la búsqueda de u H 0 tal como se ha realizado e el AFG, pero respecto de u orige colocado e el cetro de gravedad Aalíticamete, estas cosideracioes geométricas equivale a lo siguiete: Sea h i y h j las proyeccioes de dos putos sobre ua recta H Cosideremos el criterio de maximizar la suma (h i h j ), es decir i,j maximizar la suma de todas las diferecias de proyeccioes de todos los pares al cuadrado Si esta suma se desarrolla, se puede ver que vale: ( hi h ) i e dode h deota la proyecció media, es decir la media aritmética de las proyeccioes de todos los putos sobre la recta H E efecto (h i h j ) i,j [ hi h h j + h ] i,j [( hi h ) ( h j h )] i,j ( hi h ) ( + hj h ) ( hi h ) ( h j h ) i,j i i,j i,j i,j ( hi h ) ( hi h ) ( h j h ) ( hi h ) El último paso, se ha dado e virtud de que: ( hi h ) ( h j h ) i,j i h i h j h i,j h i h j h i,j h i ( j h j ) h i h i,j h i + h i,j h i h j + i,j j h j + h i h i,j ()

3 Aálisis e el espacio de las variables R p 9 ( i h h ) i h + h h h + h 0 cqd Es claro etoces, que si hicieramos h 0, el problema de maximizació plateado, que coducirá a la recta H, sería u caso particular del problema de maximizació plateado e el AFG (maximizar la suma de cuadrados de todas las proyeccioes) Pero qué es hacer h 0? La respuesta es evidete: Es trasladar el orige de coordeadas al cetro de gravedad de la ube Es decir, cosiderar los valores La matriz fial X, o obstate, se defie así: x ij r ij r j x ij r ij r j () trasformació pues que pasa de la matriz iicial R (r ij ) a la X (x ij ) El factor se añade para que, al aplicar el AFG, y teer que cosiderar X X, aparezca la matriz de covariazas muestrales E efecto, X X es la matriz de covariazas muestrales Es decir, de modo que: X p X p X (x ij ) p ( ) ( ) rij r rij r C p p (3) p p r r r p r p r r r r r r r r r r r p r p p r p r p r p r p r r r r p r p r p r p r p (r i r ) (r i r )(r i r ) i i (r i r )(r i r ) i E ua seguda fase, como ates decíamos, tambié debe teerse e cueta la heterogeeidad de las escalas de medida, que produce e muchos casos ua dispersió muy heterogéea e las variables La forma típica de reducir el efecto de la heterogeeidad e las dispersioes de las variables, a la hora de medir la proximidad de los idividuos, es efectuar el paso a ua matriz X dada e la forma: X (x ij ) ( ) rij r ; s s j j p p p (r ij r j ) (4) Dados dos idividuos (i ésimo e i ésimo), la distacia al cuadrado etre ellos será (e setido euclídeo clásico): i

4 0 Aálisis e Compoetes Pricipales (ACP) d (i, i ) p j ( rij r j s j r ) i j r s j p (r ij r i j) s j j p (r ij r i j) s j j y es evidete que, al dividir cada térmio por la variaza muestral s j correspodiete de cada variable (j,, p), se reduce el efecto de la heterogeeidad de las mismas, de modo que cada variable aporta ua cotribució aáloga a la distacia o proximidad etre idividuos E este caso, además, es claro que l a matriz X X o es otra cosa que la matriz de correlacioes muestrales E efecto, obsérvese que, a partir de la matriz C dada e la expresió 3, la expresió 4 puede escribirse matricialmete e la forma V CV, e dode V diag(s, s,, s p) Pero V CV X X R e dode R p p es la matriz de coeficietes de correlació tipo Pearso Resume El ajuste a la ube de putos fila (idividuos) e R p (espacio de las variables), e el Aálisis de Compoetes Pricipales, se efectúa a dos iveles: ( ) rij r j Sobre la matriz trasformada: X (Aálisis e Compoetes Pricipales), de modo p que se aplica el AFG a ( X p X p )p p para ajustar la ube e Rp ( ) rij r j Sobre la matriz trasformada: X (Aálisis e Compoetes Pricipales Normalizado) s j de modo que se aplica el AFG a (X X) que es la matriz de correlacioes muestrales Las coordeadas de los putos fila sobre los ejes factoriales soportes de los autovectores u α de X X so globalmete expresadas como Xu α, y este vector columa tiee e cada compoete la coordeada de u puto fila respecto del α ésimo eje Por otra parte, segú vimos e AFG, Xu α λ α v α, e dode v α es el autovector α ésimo e el otro espacio R ; es decir, autovector de XX Ajuste e R de la ube de putos columa Como e los plateamietos geerales del AFG, tambié e el ACP cabe ajustar a los p putos columa (variables), e R, u subespacio vectorial o afí Lo que ocurre e ACP es que la matriz iicial R, o sus trasformadas X, o so simétricas e i, j Es más, la trasformació que lleva de R a X (e los dos casos ates defiidos) o es simétrica e los ídices i, j, y ha de iterpretarse e u setido muy diferete La trasformació x ij r ij r j implica trasladar el orige e R p, al puto cetro de gravedad de la ube de los putos fila E cambio, iterpretada e R (es decir e j), la trasformació x ij r ij r j equivale a efectuar la operació matricial X P R, e dode i j P (p ij ); p ij i j Comprobemos que, e efecto, es X P R P R r r r p r r r p r r r p p

5 Ajuste e R de la ube de putos columa r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r p r p r r r r X r r r r r p r p Esta trasformació que tambié aparece, como es sabido, e el estudio de los Modelos Lieales sigifica geométricamete algo bie distito de ua traslació del orige e R p : Equivale a ua proyecció paralela a la primera bisectriz e R E el caso del ACP ormalizado, cuado se efectúa además el cambio de escala r ij r e R p, dividiedo s j cada coordeada de u puto fila por s j, se realiza ua deformació de la ube de putos columa (p e total) de tal maera que se lleva los p putos a ua distacia uidad del orige E efecto: d (j, 0) i s j ( ) rij r 0 s j ( (r ij r j ) i ) (r ij r j ) i Y la distacia etre dos putos columa, j y j, será: s j d (j, j ) (r ij r j ) + i s j s j s j ( rij r r ) r ij j s j s j i (r ij r j ) s j i i + s j s j ρ jj ( ρ jj ) (r ij r j )(r ij r j ) s j s j e dode ρ jj es el coeficiete de correlació empírico etre las variables j y j Si este coeficiete es muy alto, aproximadamete, los putos columas está próximos Si ρ jj es mucho meor que, etoces está alejados E virtud de lo visto e AFG, las coordeadas de los putos columas e el eje factorial α, so las compoetes de X v α que so iguales a u α λα, e dode, e el caso de ACP ormalizado, λ α, so los autovalores de X X, la matriz de correlacioes C Recuérdese tambié que u α so los autovalores de X X Fialmete cabe observar que e el caso de la matriz cosiderada e ACP ormalizado, la matriz de correlació X X, es claro que: Ejemplo x ij r ij r j tr(x X) p α λ α i,j x ij p (5) { X P R p ij i j i j P ( ) I ( ) v ( ) v ( ) v (,, )

6 Aálisis e Compoetes Pricipales (ACP) r j R ; j P r j r j v (v r j ) v r j r ij r j i P r j r j v r j x ij r ij r j ( ) ( ) 3 / / A (, 4) B (3, ) ; R (A, B ) ; P ; r 4 / / j (,5, ) ( ) ( ) ( ) ( ) / / 3 3/,5 3 (A / / 4 3/ 4,5, B ) ( ) ( ) r r (A, B ) r r 3/ r r r r 3/ x ij r ij r j s j s j (,5, ) ; X P R / / / / d(a 3, B 3 ) radio (A 3, B 3 ) XPR 4 A (,4) R v A (-5,5) A (-07,07) 3 3 B (3,) 3 4 B (,-) B (07,-07) 3 Figura : hiperesfera de radio 3 Variables e idividuos suplemetarios e ACP Suele ocurrir e la práctica que, ua vez realizado u ACP co ua determiada matriz R de datos iiciales, se coozca los datos e las p variables correspodietes a uevos idividuos (Nuevos idividuos que se icorpora al estudio, u grupo de idividuos cotrol, etc) U caso frecuete e las aplicacioes se

7 3 Variables e idividuos suplemetarios e ACP 3 produce cuado el úmero de idividuos es muy grade e ecuestas, por ejemplo y etoces se clasifica e grupos co arreglo a algua o alguas características de los mismos (itervalos de igresos familiares, por ejemplo) que sea de iterés Icluso, a veces, iteresa más estas características de los idividuos que ellos mismos E este caso, se cosidera los cetros de gravedad de las clases de idividuos cosideradas y estos cetros se cosidera idividuos uevos (o suplemetarios) y se icorpora y preseta gráficamete como si fuera uos idividuos más Tambié puede darse el caso de icorporar uevas variables cuyos valores so coocidos para los idividuos estudiados, pero que e ua primera etapa o se ha cosiderado Posiblemete, e muchos casos es así, porque o costituye u cojuto homogéeo de características juto a las que se ha seleccioado para realizar el ACP e ua primera etapa El problema, por tato, es cómo icorporar estos uevos putos idividuos (filas) y putos columa (variables) al ACP Cosideremos los idividuos suplemetarios, e primer lugar Estos costituye u borde o caja matricial R + de la matriz R, costituida por las filas correspodietes a los idividuos añadidos Es claro que al icremetar el úmero de filas de R e la forma [ ] R p R p R + p (+ ) p estas filas idividuos de R + ha de ser comparables co las aalizadas e el ACP Es decir, hay que efectuar sobre las filas de R + las trasformacioes que se ha efectuado para realizar el ACP sobre las filas de R Si deotamos por r +i las filas suplemetarias de R +, sería: x +ij r +ij r j s j de modo que tedríamos así defiida la matriz trasformada X + E tal situació, etoces, las coordeadas de los idividuos suplemetarios sobre los α ejes factoriales ya calculados sobre X se toma como las dadas por X + u α Aálogamete procederemos co las variables suplemetarias itroducidas E este caso, R se icremeta co ua caja matricial R + de la forma ] R p [R p R + p (p+p ) y e este caso, para hacer comparables las uevas columas (variables) e R, co las previamete cosideradas, hay que llevarlas a la esfera uidad de R, lo que se cosigue defiiedo para R +, la matriz X + (x + ij ), defiida por x + ij r+ ij r+ j s + j e dode r + j so las medidas de las columas añadidas de R+, y s + j las desviacioes típicas correspodietes Ua vez defiida X +, las coordeadas de estos uevos putos columa, respecto del α eje previamete calculado co X, vedrá dadas por (X + ) v α Cometario 3 Nótese la filosofía que se ha empleado para calcular las coordeadas X + u α y (X + ) v α de los putos fila y putos columa suplemetarios respectivamete: Se matiee la estructura factorial obteida a partir de la matriz iicial R si orlar; por tato se matiee los vectores uitarios u α y v α cuyos soportes so los respectivos ejes factoriales F α y G α e R p y R y, respecto de estos ejes ya obteidos, se ubica los uevos putos fila y putos columa Esta metodología o filosofía de actuació respecto de los idividuos suplemetarios, se repetirá e otras técicas, por ejemplo e Aálisis de Correspodecias, como se verá posteriormete