Resumen de combinatoria

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Laura Franco Lara
hace 6 años
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1 Resume de combiatoria 1. Pricipio básico Ua tupla so símbolos ordeados (! 1 ;! 2 ; :::;! ). La i esima compoete es! i. Dos tuplas distitas tiee al meos ua compoete distita. Se costruye u cojuto de tuplas tomado la compoete! i de u cojuto de N i símbolos distitos. Etoces el úmero de tuplas es N 1 N 2 N. E lo que sigue examiamos alguas aplicacioes importates de este pricipio. 2. Muestreo si reeplazamieto (úmero de variacioes) Supogamos ahora u cojuto co m objetos distitos. Formamos ua tupla así: la primera compoete se elige del cojuto iicial, la seguda de los que resta, y así hasta < m. El úmero de tuplas (grupos ordeados de objetos elegidos si reemplazamieto de etre los iiciales) es V m; m(m 1) [m ( 1)] Observar que resulta grupos co los mismos objetos pero e distito orde. Ejemplo: si C f1; 2; 3g; m 3 y 2, V 3; El cojuto de las variacioes es: f12; 13; 21; 23; 31; 32g. 3. Número de permutacioes Si e la costrucció precedete poemos m, el úmero de grupos ordeados de m objetos es P m m(m 1) [m ( 1)] que se deota! y se llama el factorial de. 1

2 Ejemplo: si C f1; 2; 3g; P permutacioes es: f123; 132; 213; 231; 312; 321g. El cojuto de las 4. Muestreo co reemplazamieto (variacioes co repetició) Si al costruir el cojuto de las variacioes restituimos cada objeto elegido al cojuto iicial (elecció co reemplazamieto) resulta el úmero V 0 m; m : Observar que ahora puede ser > m. Ejemplo: si C f1; 2; 3g; m 3 y 2, V 0 3; El cojuto de las variacioes co repetició es: f11; 12; 13; 21; 22; 23; 31; 32; 33g. 5. Número de combiacioes E el cojuto de las variacioes (apartado 2.) vamos a cosiderar como idéticas las que sólo se distigue por el orde, es decir, vamos a cotar el úmero de grupos de objetos tomados si reemplazamieto de etre m distitos, de modo que u grupo se distigue de otro e al meos u objeto. Tal úmero se llama de combiacioes y se deota C m;. Ejemplo: si C f1; 2; 3g; m 3 y 2, el cojuto de las combiacioes es: f12; 13; 23g. Observar que si tuvieramos formado el cojuto de combiacioes, a partir de él obtedríamos el de variacioes permutado cada ua de las combiacioes. Por lo tato V m; C m; P, es decir: C m; V m; P m!!(m )! El úmero que resulta suele deotarse tambié así: m m!!(m )! Veremos ahora alguas aplicacioes de este úmero. 2

3 6. Fórmula del biomio Para desarrollar (a + b) (a + b)(a + b) ) (a + b) co 0, cosideramos los factores (a + b) umerados de 1 a. geeral es, evidetemete, de la forma a b El térmio co 0. Los factores (a + b) de dode se puede tomar las a puede elegirse de etre los úmeros (posicioes) 1 a de formas distitas. Los factores (a + b) para tomar las b so, obligadamete, los o elegidos ates. Resulta: (a + b) 7. Número de subcojutos X 0 a b Sea u cojuto de elemetos, cuátos subcojutos se puede formar, icluyedo al propio y al vacio?. Cosideremos los elemetos umerados de 1 a. El úmero de subcojutos de elemetos,co 0, es el de eleccioes de úmeros distitos etre, es decir. El úmero total de subcojutos es: X 0 8. Número de particioes (1 + 1) 2 Sea u cojuto de elemetos, y r úmeros eteros r. Cuátas particioes de e r subcojutos, co los tamaños i respectivos, se puede hacer?. Aplicaremos el pricipio básico de 1. Cosideremos los elemetos umerados de 1 a. El úmero de subcojutos de 1 elemetos es el de eleccioes de 1 úmeros distitos etre, es decir 1. Los subcojutos de 2 elemetos se forma ahora eligiedo etre los 1 o elegidos previamete, y hay 1 2, y así sucesivamete. El úmero 3

4 total es: 1 2 1! 1! 2! r! r 1 3 r Observar que el último úmero es 1 (elegidos los r 1 primeros subcojutos, queda r elemetos para el r). 9. Coe cietes multiomiales El resultado aterior suele deotarse así (coe ciete multiomial): y el ombre deriva de que: (a 1 +a 2 + +a r ) 1 2 r X X r! 1! 2! r! X r0 1 2 r a 1 1 a 2 2 ar r para cuya comprobació se razoaría como e 6. resultado de 8. aprovechado el 10. Combiacioes co repetició E el cojuto de las variacioes co repetició (apartado 4.) vamos a cosiderar como idéticas las que sólo se distigue por el orde, es decir, vamos a cotar el úmero de grupos de objetos tomados co reemplazamieto de etre m distitos, de modo que u grupo se distigue de otro e al meos u objeto. Sea del cojuto f1; 2; :::; mg. Cada grupo puede poerse de la forma (! 1 ;! 2 ; :::;! ) co! 1! 2 :::! y establecerse la correspodecia biuívoca (! 1 ;! 2 ; :::;! )! (! 1 + 0;! 2 + 1; :::;! + 1) dode ahora todos los elemetos so diferetes y costituye ua combiació, si repetició, de tomados del cojuto f1; 2; :::; m + 1g. 4

5 Así que el úmero de combiacioes co repetició es C 0 m + 1 m; 4 Ejemplo: si C f1; 2; 3g; m 3 y 2, es C 0 m; 6; el 2 cojuto de las combiacioes co repetició es: f11; 12; 13; 22; 23; 33g. 5

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