LOS NÚMEROS COMPLEJOS

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1 º BCT DPTO DE MATEMÁTICAS T4: NÚMEROS COMPLEJOS - LOS NÚMEROS COMPLEJOS.- INTRODUCCIÓN: LAS ECUACIONES DE º GRADO CON SOLUCIONES IMPOSIBLES Desde el siglo XVI al XVIII llamaro la ateció, por la forma de sus solucioes, problemas de euciados ta simples como dividir e dos partes cuyo producto sea 40 x( x) = 40 x x + 40 = 0 x = 6 ± 4 Las dos solucioes 6 ± 4 so imposibles ya que 4 o sigifica ada. A pesar de todo, los algebristas empearo a utiliar uos uevos etes para operar co estas expresioes que teía la forma a ± b -, dode a y b so º reales y b > 0. 6 ± 4 = 6 ± 4 = 6 ± Co objeto de aligerar la escritura se itrodujo el símbolo i para desigar la uidad imagiaria. Por tato: 6 ± 4 = 6 ± 4 = 6 ± = 6 ± i Cuado se estudió la solució de la ecuació de segudo grado ax + bx + c = 0 se aalió el sigo del discrimiate b 4ac y su relació co las solucioes. Si el discrimiate era egativo se dijo que la ecuació o teía raíces reales sio que las raíces era imagiarias o complejas. Vamos ahora a estudiar los úmeros complejos que os dará la idea completa de la solució de la ecuació de segudo grado y ua extesió de los cojutos uméricos. Realiaremos lo que se llama la defiició axiomática del cojuto de los úmeros complejos. Raíces complejas de la ecuació de segudo grado Si el discrimiate de la ecuació ax + bx + c = 0 es egativo, debe sustituirse el sigo egativo por i y de esa forma se obtiee las raíces complejas de la ecuació. Ejemplo. Resolver la ecuació x x + 6 = 0. Aplicado la fórmula de la ecuació cuadrática: ± ± ± x = = = () ( ) ( ) 4()(6) Se puede ver que el discrimiate es 0 lo cual puede escribirse como 0i. Por lo tato: ± 0 ± 0i ± 5 i x = = = = ± 5 i Así, las raíces complejas de la ecuació so: x = 5 i y x = + 5 i.

2 º BCT DPTO DE MATEMÁTICAS T4: NÚMEROS COMPLEJOS -.- EL NÚMERO i Se defie la uidad imagiaria i como el úmero tal que su cuadrado es -, es decir, i = De esta forma, las solucioes imposibles se puede escribir de la forma: O Las potecias de i i = i i = (por defiició de i) a ± bi, dode a y b so º reales y b > 0. i 5 = i 4 i = i = i i 6 = i 4 i = i = i i = i i = -i i 7 = i 4 i = (-i) = -i i 4 = i i = (-) (-) = i 8 = i 4 i 4 = = Las potecias de i se repite de 4 e 4, co lo cual para calcular cualquier potecia de i se divide el expoete etre 4 y se calcula la potecia de i que tiee como expoete el resto: i = i r siedo r el resto de la divisió : 4 a) i 7 = i b) i 5 = i = -i c) i = i 0 = d) i = i = -.- LOS NÚMEROS COMPLEJOS Defiició: Llamamos úmero complejo a toda expresió de la forma a + bi, dode a y b so º reales e i = -. El cojuto de todos los úmeros complejos se desiga por C. La expresió a + bi se deomia forma biómica de u úmero complejo. Todo úmero complejo = a + bi está costituido por dos partes: o o Parte real: a Parte imagiaria: b Todos los úmeros reales so complejos: Si b = 0 = a, co lo cual todo º real es u º complejo ( R C ) Si b 0 se dice que el º complejo es u º imagiario. Si a = 0, = bi, e tal caso, se dice que el º es u º imagiario puro. Igualdad de úmeros complejos: Dos úmeros complejos so iguales si sus partes reales e imagiarias so iguales: Cojugado de u úmero complejo: a + bi = c + di a = b ^ c = d Si = x + yi es u úmero complejo llamaremos cojugado del úmero, al úmero = x yi, es decir, al úmero complejo que tiee la misma parte real que pero la parte imagiaria de sigo opuesto. Ejemplo: Si = + i, etoces = - i y si = i, etoces = + i.

3 º BCT DPTO DE MATEMÁTICAS T4: NÚMEROS COMPLEJOS REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS Como los úmeros complejos so pares de úmeros reales podemos efectuar ua represetació de los mismos mediate el plao R.Así como cada puto de ua recta correspode a u º real, cada puto del plao podría asociarse a u úmero complejo. E u sistema de coordeadas cartesiao represetamos e el eje de abscisas la compoete real del º complejo y e el eje de ordeadas la compoete imagiaria. Eje Imagiario P(a,b) De esta forma, a cada úmero complejo le hacemos correspoder u puto del plao: = a + bi P(a,b) b (0,0) a Eje Real Este puto de coordeadas P(a,b) se le llama afijo del úmero complejo = a + bi. Los afijos de los º reales se sitúa sobre el eje real. Los afijos de los º imagiarios puros se sitúa sobre el eje imagiario. Si uimos el orige de coordeadas co el puto P obteemos u vector orietado llamado radio vector, que represetamos por OP, co lo cual, a cada º complejo le correspode u vector del plao. Eje Imagiario b P(a,b) Co esta idetificació, la suma de úmeros complejos se iterpreta geométricamete co la suma de vectores. a Eje Real P(-a,-b) P(a,-b) Además, se tiee: Los afijos de u º complejo y de su cojugado so simétricos respecto del eje real. Los afijos de u º complejo y de su opuesto so simétricos respecto del orige de coordeadas. Defiició: Se defie el úmero complejo = (a,b) como u par de úmeros ordeados, siedo el primer º la parte real de y el segudo la parte imagiaria de. Esta expresió del º complejo se llama forma cartesiaa del º complejo = a + bi

4 º BCT DPTO DE MATEMÁTICAS T4: NÚMEROS COMPLEJOS OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS 5..- Suma y resta (a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i a) ( + i) + (4 i) = ( + 4) + ( )i = 7 + i b) (4 + 5i) + (-+ i) = (4 ) + (5 + )i = + 6i c) (4 + 6i) (+ i) = (4 ) + (6 )i = + i d) (- + i) (+ 5i) = (- ) + ( 5)i = - i Propiedades de la suma: a) Comutativa b) Asociativa c) Elemeto eutro: 0 = 0 + 0i (a + bi) + (0 + 0i) = (a + 0) + (b + 0)i = a + bi d) Elemeto opuesto de a + bi: a bi (a + bi) + (-a bi) = (a a) + (b b)i = Producto (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (ad + bc)i (a + bi) (c + di) = ac + adi + bci + bdi = ac + adi + bci bd = (ac bd) + (ad + bc)i a) ( + i) (4 i) = ( + ) + (- + 8)i = 4 + 5i b) (4 + 5i) (-+ i) = (-8 5) + (4 0)i = - 6i c) ( + 5i) ( i) = 6 i + 0i + 5 = + 7i d) (4 7i) ( i) = 8i i 4 = - 9i Propiedades del producto: a) Comutativa b) Asociativa c) Elemeto eutro: = + 0i (a + bi) ( + 0i) = (a + 0) + (b + 0)i = a + bi a b d) Elemeto iverso de a + bi: a -b a -b a -bi a -bi a b = = = i a +bi (a +bi)(a -bi) a -b a -b a -b i

5 º BCT DPTO DE MATEMÁTICAS T4: NÚMEROS COMPLEJOS Divisió a +bi ac +bd bc - ad = + i c + di c + d c + d a +bi a +bi c - di ac +bd+(-ad+bc)i ac +bd bc - ad = = = + i c + di c + di c - di c + d c + d c + d Para dividir dos úmeros complejos multiplicamos umerador y deomiador por el cojugado del deomiador a) 0 + 0i 0 + 0i - i 60-0i+90i i = = = = 9 + 7i +i +i - i i - i -- i - - 4i+i i 8 b) = = = = - - i -+ i -+ i -- i (-) +() i -i 4 -i - i - 48i - -5i c) = = = = -i 4 +i 4 +i 4 -i (4) +() 7 -+i -+i +i --i+i - - d) = = = = - -i - i +i (-) +() Ejemplos..- Si = (, ) y = (4, ), halla +,, ( ) ( ) + = (, ) + (4, ) = + i + 4 i = 7 + i = (, )(4, ) = ( + i)(4 i) = i + 8i i = ( + ) + ( + 8) i = 4 + 5i = + i ( + )(4 + ) ( ) + ( + 8) 0 + = i i = i i i = i = i 4 (4 )(4 ) 6 7 i i + i 4 i + k + i.- Determia k para que el cociete sea igual a i. + i k + i + i = (k i)( i) = k ki i = k + k i (+ i)( i) + k + k + i = i Para que dos º complejos sea iguales debe ser iguales sus partes reales e imagiarias. Por tato, debe verificarse las siguietes igualdades: Luego k = k + = k + = 4 k = k = k = - k =

6 º BCT DPTO DE MATEMÁTICAS T4: NÚMEROS COMPLEJOS NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA POLAR Eje Imagiario b P(a,b) Para defiir u sistema de coordeadas polares e el plao, fijamos u puto O, ua semirrecta deomiado eje polar y marcamos u setido de rotació que será positivo si el semieje gira e setido cotrario al movimieto de las agujas del reloj. (0,0) α a Eje Real U úmero complejo = (a,b) = a + bi queda determiado tambié mediate otros dos elemetos que defiimos a cotiuació: Módulo del úmero complejo expresa la distacia de su afijo al orige de coordeadas, es decir, es el módulo del vector OP. = a + bi = a + b Argumeto del úmero complejo, 0, es el águlo que forma su radio vector co el eje positivo de abscisas. Se represeta por arg(). No se defie el argumeto del úmero complejo (0,0). b arctg si a 0 a Si = a + bi arg() = α, siedo α = 90º si a = 0, b > 0 70º si a = 0, b < 0 La expresió α = arctg b o determia uívocamete el argumeto de u º, pues hay a ifiitos águlos que cumple la igualdad. Restrigiedo 0 α < 60º, hay dos águlos que difiere e 80º que tiee la misma tagete. Para saber cuál de ellos es el argumeto hay que teer e cueta los sigos de a y b, de esta forma, se averigua e qué cuadrate está el afijo del º complejo. ) = + i arg() = arctg α = 45º ó α = 5º Como = (,) su afijo está e el primer cuadrate α = 45º = + = = ( ) 45º ) = i arg() = arctg(- ) α = 0º ó α = 00º Como = (, - ) su afijo está e el cuarto cuadrate α = 00º = + = = 00º Cuado el afijo de u úmero complejo viee dado por sus coordeadas cartesiaas se deomia forma cartesiaa. Si el afijo viee dado por sus coordeadas polares, se deomia forma polar de u º complejo. Si = r y arg() = α, el úmero complejo se puede defiir como = r α. Esta es la forma polar de u úmero complejo.

7 º BCT DPTO DE MATEMÁTICAS T4: NÚMEROS COMPLEJOS Paso de forma biómica a polar Si coocemos u úmero e forma biómica, = a + bi, su expresió polar es = r α, dode: r = a + b tg α = b a α = arctg b a Ejemplo:.- Expresar e forma polar el complejo = + i r = + = α = arctg α = 0º ó α = 0º (Como = (, ) su afijo está e º cuadrate α = 0º) Forma polar: = 0º.- Expresar e forma trigoométrica el complejo = (-,-) r = = α = arctg α = 45º ó α = 5º (Como = (-,-) su afijo está e º cuadrate α = 5º) Forma trigoométrica: = ( ) 45º = ( cos 5º + i se 5º).- Expresar e forma polar el complejo = = + i arg() = arctg α = 45º ó α = 5º ( = (, ) su afijo está e º cuad α = 45º) = = = ( ) 6 45º 6..- Paso de forma polar a biómica Si coocemos u úmero e forma polar, = r α, su expresió biómica es = a + bi dode: a = r cos α b = r se α = a + bi = r cos α + i r se α = r (cos α + i se α) = (cos α + i se α) Esta expresió, = (cos α + i se α), se llama forma trigoométrica del º complejo.- Expresar e forma biómica el complejo = 4 60º a = r cos α = 4 cos 60º = 4 0,5 = b = r se α = 4 se 60º = 4 = = + i.- Expresar e forma cartesiaa el complejo = 5º a = r cos α = cos 5º = b = r se α = se 5º = =,

8 º BCT DPTO DE MATEMÁTICAS T4: NÚMEROS COMPLEJOS OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA POLAR La forma polar o se emplea para sumar complejos por resultar mucho más secilla y rápida la forma biómica. Si embargo, el producto y el cociete so más acosejables e esta forma Producto r α r β = (r r ) α + β Sea los º complejos: r α = r(cos α + i se α) r β = r (cos β + i se β) r α r β = r(cos α + i se α) r (cos β + i se β) = (r r )[(cos α + i se α) (cos β + i se β)] = = (r r )[(cos α cos β se α se β) + i (cos α se β + se α cos β)] = = (r r )[cos (α + β) + i se (α + β)] 7..- Divisió r s α r = s β α -β Supogamos que el complejo m β es el iverso de r α, etoces se cumple r α m β = r α m β = (r m) α + β = 0 m r = m = r α +β = 0 α = -β m β = m β = r -α Luego el iverso del complejo r α es r -α r = = = α r rα rα s s s s β β -β α-β 7..- Potecia. ( r α ) = ( rα ) ( rα )... ( rα ) = ( rr... r) α+α+...+α = ( r ) Dados los siguietes úmeros complejos: ( r α ) = ( r ) α α calcula: = 0º ; = 4 4º ; = 55º a) = 0º 4 4º = 8 6º b) = 4 4º 55º = 97º c) = = 55º 0º 5º d) 4 = 4º 0º = º e) ( ) = ( 0º ) = 4 40º f) ( ) = (4 4º ) = 64 6º

9 º BCT DPTO DE MATEMÁTICAS T4: NÚMEROS COMPLEJOS RAÍCES N-ÉSIMAS DE UN NÚMERO COMPLEJO E la forma biómica de u úmero complejo la represetació es úica, mietras que e la forma trigoométrica u mismo úmero complejo tiee ifiitas represetacioes diferetes, = r (cos α + i se α) = r [cos (α + 60º k) + i se (α + 60º k)] co k Z. Para cada valor de k habrá ua represetació diferete del úmero complejo. Defiamos la radicació como la operació iversa de la poteciació, esto es: Raí cuadrada w w = =. Sea = r α, calcular las raíces cuadradas de es buscar los úmeros w tales que w = Llamado w = s β, se tedrá: (s β ) = r α (s β ) = (s ) β = r α s = r s = r α β =α +60ºk β = +80ºk Si k = 0 β = α Si k = β = α + 80º Si k = β = α + 60º = β Por tato hay sólo dos raíces: ( ) α r y ( r ) α + 80º Se puede decir que las raíces cuadradas del º complejo r α so: Ejemplo Calcular las raíces cuadradas de +i = + i = (,) = ( ) 45º r = y α = 45º ( r ) α + 60ºk dode k = 0, Por tato, r = = 4 α = 45º + 60ºk =,5º + 80ºk Si k = 0 α =,5º w = ( 4 ),5º Si k = α = 0,5º w = ( 4 ) 0,5º dode k = 0,

10 º BCT DPTO DE MATEMÁTICAS T4: NÚMEROS COMPLEJOS - 0 Raíces cúbicas Sea = r α, calcular las raíces cúbicas de es buscar los úmeros w tales que w = Llamado w = s β, se tedrá: s = r s = r (s β ) = r α (s β ) = (s ) β = r α α β =α +60ºk β = +0ºk Si k = 0 β = α Si k = β = α + 40º Si k = β = α + 0º Si k = β 4 = α + 60º β Por tato hay sólo tres raíces, se puede decir que las raíces cúbicas del º complejo r α so: Ejemplo Calcular las raíces cúbicas de 8i ( ) = 8i = (0,8) = 8 90º r = 8 y α = 90º r dode k = 0,, α + 60ºk Por tato, r = 8 = α = 90º + 60ºk = 0º + 0ºk dode k = 0,, Si k = 0 α = 0º w = 0º = (cos 0º + i se 0º) = +i = +i Si k = α = 50º w = 50º = (cos 50º + i se 50º) = +i = +i Si k = α = 70º w = 70º = (cos 70º + i se 70º) = (0 i) = i Represetado los afijos de cada ua de las raíces, se obtiee u polígoo regular, e este caso, u triágulo equilátero iscrito e ua circuferecia de radio. + i + i -i

11 º BCT DPTO DE MATEMÁTICAS T4: NÚMEROS COMPLEJOS - Raíces ésimas El cálculo de las raíces -ésimas de u úmero complejo o puede hacerse e forma biómica, pero resulta muy secillo e forma polar. Supogamos que la raí -ésima del úmero complejo = r α es s β r = s β r α = (s β ) = (s ) β, luego: α r = s s = r α+ 60ºk α = β + 60ºk β =, dado valores eteros a k = 0,,, se obtiee los argumetos diferetes que cumple la codició impuesta. U úmero = r α tiee raíces -ésimas: ( ) r r dode k = 0,,, α = α 60º + k Los afijos de las raíces -ésimas de u úmero complejo está sobre ua circuferecia de radio cada cosecutivos forma u águlo 60º. r y Ejemplo Halla las seis raíces sextas de. Represétalas y exprésalas e forma biómica. = + 0i = 0º r = 6 = α = 0º + 60ºk = 60ºk 6 dode k = 0,,,,4,5 Si k = 0 α = 0º w = 0º = cos 0º + i se 0º = Si k = α = 60º w = 60º = cos 60º + i se 60º = + i Si k = α = 0º w = 0º = cos 0º + i se 0º = + i Si k = α 4 = 80º w 4 = 80º = cos 80º + i se 80º = Si k = 4 α 5 = 40º w 5 = 40º = cos 40º + i se 40º = i Si k = 5 α 6 = 00º w 6 = 00º = cos 00º + i se 00º = i Represetació: - + i + i i - i