Repaso...Último Contenidos NM 4

Transcripción

1 Cetro Educacioal Sa Carlos de Aragó. Sector: Matemática. Prof.: Ximea Gallegos H. 1 Fucioes y relacioes. Diagrama Sagital. Sea A = { a,b, c} y B = { 1, 2, 3, 4} Repaso...Último Coteidos NM 4 A: Cojuto de Partida B: Cojuto de llegada o Codomiio. Domiio: Cojuto formado por aquellos elemetos del cojuto A que tiee ua image e el cojuto B. Recorrido: Cojuto formado por aquellos elemetos del coj. B que so imágees de algú elemeto del coj. A Fució Iyectiva: A diferetes elemetos del domiio le correspode diferetes imágees e el codomiio

2 Fució Sobreyectiva (epiyectiva o sobre): Todo elemeto del domiio es image de por lo meos u elemeto del domiio. 2 Fució Biyectiva: Cumple las dos propiedades ateriores.(1 1 y sobre.) Parte II Fucioes y Propiedades Domiio: Cojuto de valores que se le puede asigar a la variable x (Posibles valores por los que se puede reemplazar x) Ejemplos: 1) f x ( ) = 2x +1...Dom f =! e este tipo de fucioes, x puede tomar cualquier valor. 2) f( x) = x 2...Dom f =!... x puede tomar cualquier valor. 3) f( x) = x 3...Dom f =!... x puede tomar cualquier valor. 4) f( x) = 1 x...dom f =! { 0 } x puede tomar cualquier valor, meos el cero

3 Recorrido: Cojuto de valores que se le puede tomar a la variable y (Posibles valores que se puede obteer al reemplazar) 3 Cuado ua fució se represeta e el plao cartesiao; se aaliza de la maera siguiete: Cuál es la image de 1? Cuál es la pre-image de 1? Cuál es el recorrido de la fució? Cuál es el recorrido de la fució?

4 4 Desplazamieto de ua fució: Geeralizado...

5 5 Cómo recoocer ua fució e el plao cartesiao? Se traza rectas verticales. Si al meos ua de ellas toca (itersecta) e dos putos la gráfica, etoces esta o represeta ua fució. Itersecta sólo ua vez... Etoces es fució. Cómo saber cuado ua fució tiee iversa e el plao cartesiao? Se traza rectas Horizotales Si al meos ua de ellas toca Itersecta sólo ua vez... Etoces (itersecta) e dos o más putos la esta fució SI tiee iversa gráfica, etoces esta fució NO tiee iversa.

6 6 Fució Compuesta: Sea f( x) = 2x +1 ; g( x) = x 2 Determiar: ( g o f) ( x) = g f( x) ( f o g) ( x) = f g( x)

7 III) Alguas Observacioes sobre estadística. 7 Població... Muestra: Coceptos Básicos. Dato: a) Variable Cualitativa: b) Variable Cuatitativa: Variable cotiua: y Variable discreta: Clasificació de datos Tipos de parámetros estadísticos Hay tres tipos parámetros estadísticos: De cetralizació, De posició y De dispersió. Medidas de cetralizació Media aritmética ; Mediaa ; Moda: Defiició de media aritmética La media aritmética es el valor obteido al sumar todos los datos y dividir el resultado etre el úmero total de datos. Datos o agrupados x = x 1 + x x = k=1 x k Datos agrupados Mc f + Mc f Mc f x = = k= 1 Mc k f k Ejemplo: Edad de u grupo de 50 persoas. I Mc fi fiac X = = = 45, Iterpretació. La edad promedio del grupo es 45,6 años

8 Observacioes sobre la media: 1. La media se puede hallar sólo para variables cuatitativas. 2. La media es muy sesible a las putuacioes extremas, e cuyo caso puede ser ua medida de cetralizació poco represetativa de la distribució. 3. La media es idepediete de las amplitudes de los itervalos, pero o se puede determiar si hay u itervalo co amplitud idetermiada 4. Si a todos los valores de la variable se les suma u mismo úmero, la media aritmética queda aumetada e dicho úmero. 5. Si todos los valores de la variable se multiplica por u mismo úmero la media aritmética queda multiplicada por dicho úmero. 8 Media Poderada: X = f i p i i=1 p i i=1 Ejemplo: U alumo que postula a la Uiversidad tiee los siguietes putajes e la PSU y e su NEM. Uiv. - 1 Uiv. -2 Uiv. - 3 Putaje Pod. (%) - 1 Pod(%) - 2 Pod(%) - 3 NEM Rak Leg Mat Ciecias E cuál de las 3 uiversidades tiee ua mejor Media Poderada? X 1 = = = 688,4 putos. Tambié se puede determiar así: X1 = 680 0, , , , ,2 = 688,4 putos. X 2 =? X 3 =?

9 Defiició de moda: La moda es el valor que tiee mayor frecuecia absoluta. 9 Se represeta por M o. Se puede hallar la moda para variables cualitativas y cuatitativas. Puede ocurrir que al distribució sea: *Amodal: Nigú dato tiee mayor frecuecia que otro. *Uimodal: U solo dato es el que más se repite. * Bimodal: Dos datos tiee la misma frecuecia. * Polimodal: Más de dos datos tiee la misma frecuecia. Datos Agrupados: M o = Lím If + f ( i f i 1 ) ( f i f i 1 ) + ( f i f i+1 ) Δ Ejemplo: Edad de u grupo de 50 persoas. I Mc fi fiac M o ( ) ( ) + ( ) = = = ,58 = 52, Observacioes respecto de la Moda. 1. Si e u grupo hay dos o varias putuacioes co la misma frecuecia y esa frecuecia es la máxima, la distribució es bimodal o multimodal, es decir, tiee varias modas. 2. Cuado todas las putuacioes de u grupo tiee la misma frecuecia, o hay moda. Ej: 5, 5, 5, 5, 5,5 3. Si dos putuacioes adyacetes tiee la frecuecia máxima, la moda es el promedio de las dos putuacioes adyacetes. ( Ej. 0, 1, 3, 3, 5, 5, 7, 8; Mo = 4)

10 Mediaa: M e La mediaa de u cojuto de datos uméricos ordeados e forma creciete o decreciete, es el dato que se ecuetra al cetro de dicha ordeació, o la media aritmética de los datos cetrales (e caso que la muestra tega u úmero de datos pares) Datos NO Agrupados: 10 Número impar de datos x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 M e = x 3 Número par de datos x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 M e = x 3 + x 4 2 Datos Agrupados: M e = Lím If + 2 F i 1 Ejemplo: Edad de u grupo de 50 persoas. M e I Mc fi fiac ( 25 12) = = ,7 = 48,7 15 Δ ; f F : frec. acum i 1. at -. i Iterpretació: La persoa ubicada e el lugar 25, tiee aprox. 48,7 años La mediaa es idepediete de las amplitudes de los itervalos.

11 Diagrama de barras Gráficos Estadísticos. 11 U diagrama de barras se utiliza para de presetar datos cualitativos o datos cuatitativos de tipo discreto. Se represeta sobre los ejes de coordeadas, e el eje de abscisas se coloca los valores de la variable, y sobre el eje de las ordeadas las frecuecias absolutas o relativas o acumuladas. Los datos se represeta mediate barras de ua altura proporcioal a la frecuecia.

12 Polígoos de frecuecia 12 U polígoo de frecuecias se forma uiedo los extremos de las barras mediate segmetos. Tambié se puede realizar trazado los putos que represeta las frecuecias y uiédolos mediate segmetos. Gráfico Circular. U diagrama de sectores se puede utilizar para todo tipo de variables, pero se usa frecuetemete para las variables cualitativas. Los datos se represeta e u círculo, de modo que el águlo de cada sector es proporcioal a la frecuecia absoluta correspodiete. α = 360º N f i El diagrama circular se costruye co la ayuda de u trasportador de águlos.

13 Histograma. 13 U histograma es ua represetació gráfica de ua variable e forma de barras. Se utiliza para variables cotiuas o para variables discretas, co u gra úmero de datos, y que se ha agrupado e clases. E el eje abscisas se costruye uos rectágulos que tiee por base la amplitud del itervalo, y por altura, la frecuecia absoluta de cada itervalo. La superficie de cada barra es proporcioal a la frecuecia de los valores represetados.

14 14 Medidas de dispersió Las medidas de dispersió os iforma cuá cercaos o lejaos está los datos respecto de u valor cetral (media aritmética). Las medidas de dispersió so: Rago o recorrido El rago es la diferecia etre el mayor y el meor de los datos de ua distribució estadística. Desviació media Variaza Desviació típica o estádar Ejemplo: Se otorgará ua beca uiversitaria, al alumo cuyo bue redimieto se haya mateido por mayor tiempo, durate el último año. Para ello se decide cosiderar sólo 4 asigaturas. Leg. Mat. Hist. Ciecias Hugo 6,2 6,8 5,8 6,4 Paco 6,5 5,8 6,1 6,8 Luis 6, ,3 Si sólo uo puede obteer la beca, quié es el elegido? 1ª Observació: a pesar de todos teer el mismo promedio (6,3), las otas de Hugo so las que se ecuetra + cercaas a la media, e tato las de Luis so más dispersas.

15 15 Paso 1: Aalizar Rago Rago: H:6,8 5,8= 1 ; P:6,8 5,8 = 1 ; L:7,0 5,0 = 2 Obs. 2: Auque el rago o es ua medida sigificativa, si os idica cuá dispersos se ecuetra los datos etre los valores extremos. Por lo aterior, se podría decir que H y P sería los + aptos, por ser sus calificacioes meos dispersas. Paso 2: Aalizar Desviació Estádar o Típica Variaza. 2 σ La variaza es la media aritmética del cuadrado de las desviacioes respecto a la media de ua distribució estadística. La variaza se represeta por. a) Datos No agrupados: σ 2 σ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 x1 X + x2 X x xi X X = = 2 i = 1 Ejemplo 1: Leg. Mat. Hist. Ciecias Hugo 6,2 6,8 5,8 6,4 Paco 6,5 5,8 6,1 6,8 Luís 6, ,3 σ 2 = ( 6,2 6,3) 2 + ( 6,8 6,3) 2 + ( 5,8 6,3) 2 + ( 6,4 6,3) 2 3 = 0,52 4 = 0,13...Hugo H P L σ 2 0,52 0,13 4 = 0,58 0,145 4 = 2,54 0,635 4 =

16 Variaza para datos agrupados σ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 x1 X f1+ x2 X f x X f i 2 i = 1 = = N Putaje de ua prueba. x X f N i 16 I x i f i F i xi X ( x X) 2 x i X i ( ) 2 f i ( x i X ) 2 f i X = 34 σ 2 i=1 = ; σ 2 = = 464 Desviació Estádar o Típica. (s) Esta medida de dispersió expresa el grado de dispersió de los datos respecto a la media. Se desiga co la letra s o tambié co el símbolo σ y queda determiada por Datos No agrupados: s = ( x 1 X ) 2 + ( x 2 X ) ( x X ) 2 = i=1 ( x i X ) 2 Es decir, La desviació típica es la raíz cuadrada de la variaza. Para simplificar el cálculo vamos o utilizar las siguietes expresioes que so equivaletes a las ateriores. s = Variaza... s = 464 = 21,5 Iterpretació: La dispersió del putaje es de 21,5 putos co respecto a la media. Coeficiete de Variació. Compara las desviacioes típicas de dos o más cojutos de datos. Permite aalizar su grado de dispersió si importar las uidades de medida e las que esté expresados.