1. (2 puntos) Deducir la fórmula de la mediana para variables agrupadas en intervalos. Respuesta en teoría.

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1 DEPARTAMENTO DE ESTADÍSTICA E INVESTIGACIÓN OPERATIVA Estadística Descriptiva. Primero Ig. Iformática Exame (grupo 4) 1. (2 putos) Deducir la fórmula de la mediaa para variables agrupadas e itervalos. Respuesta e teoría. 2. (2 putos) Defie el ídice de diversidad J y demuestra que se ecuetra e el itervalo [0, 1]. Respuesta e teoría. 3. (2 putos) Eucia y demuestra la desigualdad de Chebyshev, e iterpreta la desviació típica a partir de ella. Respuesta e teoría. 4. (2 putos) E u grupo de 200 persoas, 20 ha elegido la revista iformática PCP, 74 la revista PCW y 106 la revista PCA. E otro grupo de 3000 persoas, 360 elige la revista PCP, 1580 la revista PCW y 1060 la revista PCA. E qué grupo es mayor la divisió de opiioes? Explica tu respuesta. Solució: E el primer grupo existe mayor divisió o diversidad de opiioes, observado que J 1 = > J 2 = Ídice de Diversidad = J = Ídice de Diversidad = J = X i f i N i F i H H max = È i f i log f i log = X i f i N i F i H H max = È i f i log f i log =

2 5. Las siguietes observacioes correspode a los segudos que ua aplicació iformática dura e resolver u tipo de problema matemático sobre u ordeador A. 81,84,84,84,105,105,105,105,105,105, 105,105,124,124,124,124,124,124,124,135, 135,135,135,135,135,143,143,143,333,580 (a) (1 puto) Determia las observacioes outliers por medio del método basado e la iterpretació de la desviació típica (k = 3). (b) (1 puto) Costruye el diagrama de caja y bigotes asociado a estas observacioes. Iterpreta brevemete el diagrama. (c) (1 puto) Calcula la media x T 1 =2, 2 =2 Solució: y variaza S2T 1 =2, 2 =2 recortadas. Apartado (a) Costruimos la tabla de frecuecias o agrupada asociada a estos datos (k = 8 modalidades distitas) X i f i N i F i Calculamos las medidas ecesarias para obteer el itervalo de observacioes iliers: x = i=1 x i i = i=1 x2 i S 2 = ( x) 2 = S = + S 2 = Itervalo para detectar outliers basado e la iterpretació de la Desv. Típica (k=3) cotiee al meos el 88.89% de las observacioes: Luego 580 es ua observació outlier. Apartado (b) Calculamos los cuartiles: [ x 3 S, x + 3 S] = [ , ] Q 2 = Mediaa = 124 Q 1 = Cuartil(1) = 105 Q 3 = Cuartil(3) = 135 2

3 Las vallas iteriores y exteriores (IQR = Q 3 Q 1 = = 30): f 1 = Q IQR = 60 f 2 = Q IQR = 180 F 1 = Q 1 3 IQR = 15 F 2 = Q IQR = 225 De aquí que los valores adyacetes para represetar el diagrama de caja y bigotes sea: 81 y 143, y las observacioes 333 y 580 so far-outsides. El diagrama de caja y bigotes sería: + * * 124 x Cometario: existe dos outliers (far-outsides), la mediaa es 124, preseta ua ligera asimetría. Apartado (c) Medidas de recorte (Trimmig): Elimiamos 2 observacioes a la izquierda, elimiamos 2 observacioes a la derecha Media (Recorte) = Variaza (Recorte) = X Rec i f i N i F i

4 6. Las siguietes observacioes correspode a los segudos que ua aplicació iformática dura e resolver u tipo de problema matemático sobre u ordeador A. 135,157,157,157,157,157,157,157,187,187, 187,187,187,187,187,187,187,187,187,191, 191,191,417,423,434 (a) (1 puto) Determia las observacioes outliers por medio del método basado e la iterpretació de la desviació típica (k = 3). (b) (1 puto) Costruye el diagrama de caja y bigotes asociado a estas observacioes. Iterpreta brevemete el diagrama. (c) (1 puto) Calcula la media x T 1 =2, 2 =2 y variaza S2T 1 =2, 2 =2 recortadas. Solució: Apartado (a) Costruimos la tabla de frecuecias o agrupada asociada a estos datos (k = 7 modalidades distitas) X i f i N i F i Calculamos las medidas ecesarias para obteer el itervalo de observacioes iliers: x = i=1 x i i = i=1 x2 i S 2 = ( x) 2 = S = + S 2 = Itervalo para detectar outliers basado e la iterpretació de la Desv. Típica (k=3) cotiee al meos el 88.89% de las observacioes: Luego o existe observacioes outlier. Apartado (b) Calculamos los cuartiles: [ x 3 S, x + 3 S] = [ , ] Q 2 = Mediaa = 187 Q 1 = Cuartil(1) = 157 Q 3 = Cuartil(3) = 187 4

5 Las vallas iteriores y exteriores (IQR = Q 3 Q 1 = = 30): f 1 = Q IQR = 112 f 2 = Q IQR = 232 F 1 = Q 1 3 IQR = 67 F 2 = Q IQR = 277 De aquí que los valores adyacetes para represetar el diagrama de caja y bigotes sea: 135 y 191, y las observacioes 417,423, 434 so far-outsides. El diagrama de caja y bigotes sería: + ** * x 434 Cometario: existe tres outliers (far-outsides), la mediaa es 187, es ua distribució muy alejada de la simetría. Apartado (c) Medidas de recorte (Trimmig): Elimiamos 2 observacioes a la izquierda, elimiamos 2 observacioes a la derecha Media (Recorte) = Variaza (Recorte) = X Rec i f i N i F i

6 7. La siguiete tabla de frecuecias correspode al úmero de habitates (e miles de habitates) de los pueblos de ua provicia española. I X i (11, 21] 5 (21, 31] 12 (31, 41] 9 (41, 51] (a) (1.5 putos) Represeta el histograma asociado a esta tabla de frecuecias, cometádolo brevemete. Calcula tambié la moda, la mediaa asociada y el úmero de habitates que o supera el 25% de los pueblos. (b) (1.5 putos) Represeta la curva de Lorez. Calcula el ídice de Gii y la mediala. Iterpreta los resultados. Solució: Apartado (a) Completamos la tabla de frecuecias agrupada e itervalos El histograma sería (l i 1, l i ] X i f i N i F i a i h i (11, 21] (21, 31] (31, 41] (41, 51] Observado el histograma podemos decir que existe u mayor úmero de pueblos co poblacioes altas, etre y habitates (todos los itervalos tiee igual amplitud, las alturas so proporcioales a las frecuecias absolutas y relativas). La distribució de habitates e los pueblos de esta provicia o esta repartido de forma simétrica. 6

7 Calculamos la mediaa y la moda, para ua tabla de frecuecias agrupada e itervalos: Me = l i N i a i = 31 + i 9 (N 2 = 17 < 20 = 2 26 = N 3) 10 = Mo = l i 1 + δ a i = = δ 1 + δ (δ 1 = h 4 h 3 = = 0.5, δ 2 = h 4 h 5 = = 1.4) El úmero de habitates que o supera el 25% de los pueblos, es el Q 1 de esta distribució: Q 1 = l i N i 1 a i = i 12 (N 1 = 5 < 10 = 4 17 = N 2) 10 = Apartado (b) (Medidas de Cocetració) Completamos la tabla para el cálculo del ídice de Gii: X i s i S i F i P i q i La curva de Lorez represeta los putos (q i, P i ), i = 0,...,k Calculamos el ídice de Gii y la mediala: i=1 I G = (P i 1q i q i 1 P i ) = (cocetració débil) Ml = l i q i a i = = q i q i ( = q 2 < 50 q 3 = ) 7

8 8. La siguiete tabla de frecuecias correspode al úmero de habitates (e miles de habitates) de los pueblos de ua provicia española. I X i (15, 23] 11 (23, 31] 14 (31, 39] 7 (39, 47] 8 40 (a) (1.5 putos) Represeta el histograma asociado a esta tabla de frecuecias, cometádolo brevemete. Calcula tambié la moda, la mediaa asociada y el úmero de habitates que o supera el 25% de los pueblos. (b) (1.5 putos) Represeta la curva de Lorez. Calcula el ídice de Gii y la mediala. Iterpreta los resultados. Solució: Apartado (a) Completamos la tabla de frecuecias agrupada e itervalos El histograma sería (l i 1, l i ] X i f i N i F i a i h i (15, 23] (23, 31] (31, 39] (39, 47] Observado el histograma podemos decir que existe u mayor úmero de pueblos co poblacioes medias, etre y habitates (todos los itervalos tiee igual amplitud, las alturas so proporcioales a las frecuecias absolutas y relativas). La distribució de habitates e los pueblos de esta provicia o esta repartido de forma simétrica. 8

9 Calculamos la mediaa y la moda, para ua tabla de frecuecias agrupada e itervalos: Me = l i N i a i = 23 + i 14 (N 1 = 11 < 20 = 2 25 = N 2) 8 = Mo = l i 1 + δ a i = 23 + δ 1 + δ = 25.4 (δ 1 = h 2 h 1 = = 0.375, δ 2 = h 2 h 3 = = 0.875) El úmero de habitates que o supera el 25% de los pueblos, es el Q 1 de esta distribució: Q 1 = l i N i 1 a i = i 11 (N 0 = 0 < 10 = 4 11 = N 1) 8 = Apartado (b) (Medidas de Cocetració) Completamos la tabla para el cálculo del ídice de Gii: X i s i S i F i P i q i La curva de Lorez represeta los putos (q i, P i ), i = 0,...,k Calculamos el ídice de Gii y la mediala: i=1 I G = (P i 1q i q i 1 P i ) = (cocetració débil) Ml = l i q i a i = 31 + q i q i = ( = q 2 < 50 q 3 = ) 9