TEOREMAS DE ESPACIO VECTORIAL

Transcripción

1 TEOEMAS DE ESPACIO ECTOIAL 1.-Sea u ojuto o vaío y se ( k,, ) u ampo. Se die que es u espaio vetoial sobe k si está defiidas dos leyes de omposiió, llamadas adiió y multipliaió po ua esala, tales que: i)la adiió asiga a ada paeja odeada ( uv, ) de elemetos de u úio elemeto u v, llamado la suma de u y v ii) u, v, w : u ( v w) ( u v) w iii) 0 tal que 0 v v, v v iv) v v tal que v v 0 v) u, v : u v v u vi) La multipliaió po ua esala asiga a ada paeja asigada (, v ) de elemetos k y v u úio elemeto v, llamado el poduto de po v vii) K : v : ( u v) u v viii), K; v : ( ) v v v ix), K; v : ( v) ( ) v x) Si 1 es la uidad de K: 1 v v, v A los elemetos de se les llama vetoes y a los de K esalaes. 2.- Si es u espaio vetoial sobe K, etoes i) u, v, w : u v u w v w ii)el veto 0 es úio y es tal que v 0 v, v iii)el veto v es úio y es tal que v ( v) 0 iv)la euaió u x v tiee soluió úia e. v) v : ( v) v vi) u, v : ( u v) u ( v) 3.- Sea u espaio vetoial sobe K: i) K : 0 0

2 ii) v : 0v 0, dode 0 e el eo de K iii) K, v : ( ) v ( v) ( v) iv) K, v : v 0 0 o v 0 v) K, u, v : u v y 0 u v vi) K, u, v : v v y v Si es u espaio vetoial sobe K, etoes u v u ( v ) ; u, v Al veto u v se le llama la difeeia u meos v 5.- Sea u espaio vetoial sobe K y sea S u subojuto de. S es u subespaio de si es u espaio vetoial sobe K espeto a la adiió y la multipliaió po u esala defiidas e. 6.- Sea u espaio vetoial sobe K y sea S u subojuto de. S es u subespaio de si y solo si i) u, v S : u v S ii) K, v S : v S 7.- U veto w es ua ombiaió lieal de los vetoes v1, v2,..., v si puede se expesado e la foma w 1vv2... v Dode 1, 2,..., so esalaes. 8.- Sea S v v v 1, 2,..., u ojuto o vaio de vetoes de u espaio vetoial. El ojuto de todas las ombiaioes lieales de los vetoes S, deotado o L(S),es u subespaio de 9.- Sea S v v v 1, 2,..., u ojuto de vetoes: i) S es liealmete depediete si existe esalaes 1, 2,...,, o todos iguales a eo, tales que 1vv2... v 0 ii) S es liealmete idepediete si la igualdad 1vv2... v 0 solo se satisfae o Todo ojuto que otiee al veto 0 es liealmete depediete 11.-

3 Si S es u ojuto liealmete idepediete etoes ualquie subojuto de S es liealmete idepediete Sea u espaio vetoial sobe K, y sea G v v v 1, 2,..., m, u ojuto de vetoes de. Se die que G es u geeado de si paa todo veto x existe esalaes 1, 2,..., m tales que x 1vv2... mvm 13.- Sea u espaio vetoial sobe K y sea G u subojuto de, G es u geeado de si y solo si = L(G) 14.- Se llama base de espaio vetoial a u ojuto geeado de que es liealmete idepediete Sea u espaio vetoial sobe K. Si B v v v 1, 2,..., es ua base de, etoes ualquie ojuto de vetoes de o más de elemetos es liealmete depediete Sea u espaio vetoial sobe K. Si B v v v ualquie ota base de diho espaio está fomada po vetoes Sea u espaio vetoial sobe K. Si B v v v de dimesió, lo ual se deota o dim = E patiula, si 0, dim =0 1, 2,..., es ua base de, etoes 1, 2,..., es ua base de se die que es 18.- Si es u espaio vetoial de dimesió, ualquie ojuto liealmete idepediete fomado po vetoes de es ua base de diho espaio Si es u espaio vetoial de dimesió y W es u subespaio de, etoes dimw E patiula, si dimw 20.- Sea B v v v etoes W = 1, 2,..., ua base de u espaio vetoial sobe K, y sea x. Si x v v v los esalaes 1, 2,..., se llama oodeadas de x e la base B; y el veto de K ( x) (,,..., ) T B Se llama veto de oodeadas de x e la base B.

4 21.- Sea B v v v 1, 2,..., ua base de u espaio vetoial sobe K. Paa ualquie x el veto ( x ) B es úio. A a 22.- Sea ij ua matiz de mx o elemetos e u ampo K, y sea i ( ai 1, ai 2,..., ai ) el i-ésimo egló de A. Si A ( 2, 2,..., m), el ojuto LA ( ) se llama espaio egló de A Dos maties A y B so equivaletes (po egloes), lo ual se deota mediate A B, si algua de ellas puede obteese a pati de la ota mediate ua suesió fiita de tasfomaioes elemetales (po egló) Dos maties equivaletes tiee el mismo espaio egló 25.- Sea A a ij ua matiz de mx o elemetos e u ampo K, y sea ( a, a,..., a ) T la i-ésima oluma de A. Si A,,..., i 1i 2i mi se llama espaio oluma de A., el ojuto de LA ( ) 26.- Paa ualquie matiz A se tiee que dim L( A ) dim L( A ) 27.- Se llama ago de ua matiz A, y se deota o (A), al úmeo ( A) dim L( A ) dim L( A ) 28.- Si A es ua matiz de x, los siguietes euiados so equivaletes i)(a)= ii) A I iii) A 1 iv) dim A 0 v) Los egloes de A so liealmete idepedietes vi) Las olumas de A so liealmete idepedietes 29.- El sistema de euaioes lieales Ax b es ompatible si y solo si ( A) ( A, b) 30.- Sea Ax b u sistema ompatible de m euaioes lieales o iógitas: si (A)= el sistema es detemiado y si ( A) el sistema es idetemiado

5 31.- Sea F el ojuto de todas las fuioes eales de vaiable eal, y sea f, g F. Se die que f y g so iguales, lo ual se deota mediate f = g, uado f ( x) g( x), x 32.- Sea F el ojuto de fuioes eales de vaiable eal, y sea f, g F ; : i) La suma de f y g es ua fuió f+g defiida po ( f g)( x) f ( x) g( x), x ii)el poduto de y f es ua fuió f defiida po ( f ) f ( x), x f1, f2,.., f u ojuto de fuioes eales de vaiable eal. Si existe valoes 33.- Sea x1, x2,..., x tales que el sistema f ( x ) f ( x )... f ( x ) f ( x ) f ( x )... f ( x ) f ( x ) f ( x )... f ( x ) Solo admite la soluió tivial, etoes el ojuto de fuioes es liealmete idepediete f1, f2,.., f u ojuto de fuioes eales de vaiable eal, deivables al meos 34.- Sea -1 vees e el itevalo (a,b) y sea W( x) ` ` ` ( 1) ( 1) ( 1) Si W( x 0 ) 0 paa algú x0 ( a, b), etoes el ojuto de fuioes es liealmete idepediete e diho itevalo.